Файл: МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА.pdf

Рис. 5

Пример выполнения задания 3

Исходные данные: расчетная схема балки (рис. 6), численное значение приложенной нагрузки F = 8 кН, М = 17 кН·м, q = 3 кН/м, [σ] = 160 МПа.

Решение:

1. Построим эпюры. Разобьём балку на участки (см. рис. 6). Границами участков являются сечения, в которых приложена внешняя нагрузка. С помощью метода сечений найдем величину поперечной силы QУ и изгибающего момента МZ на каждом участке.

Участок I

Рассекаем балку на две части так, чтобы сечение находилось в пределах первого участка, на расстоянии x от правого края балки (особенность данной задачи в том, что необходимо указывать, в

17

каком месте балки проведено сечение). Очевидно, должно выполняться условие 0 м x 2 м. Иначе сечение окажется за

пределами первого участка. Рассмотрим равновесие правой части балки.

QУ FУвнеш F 8 кН, МZ mZ F внеш F x.

Правило знаков для построения эпюр при изгибе: а) для поперечной силы:

внешние силы, поворачивающие рассматриваемую часть балки относительно сечения по часовой стрелке, считаются положительными, против часовой стрелки – отрицательными.

б) для изгибающего момента:

внешняя нагрузка (силы или моменты) считается положительной, если она пытается загнуть свободный конец балки вверх относительно сечения (балка изгибается выпуклостью вниз), если внешняя нагрузка пытается загнуть

свободный конец балки вниз относительно сечения (балка изгибается выпуклостью вверх), то внешняя нагрузка считается отрицательной.

Правило знаков понять и запомнить удобнее с помощью рисунка. На рисунке показан только вариант, когда внешняя нагрузка считается положительной. Если внешняя нагрузка противоположна направлению на рисунке – она считается отрицательной. Если в задаче рассматривается, например, левая относительно сечения часть балки, то и в правиле знаков надо рассматривать левую часть балки.

18

При соблюдении правила знаков эпюра изгибающего момента получается построенной на сжатых волокнах.

Величина QУ на первом участке постоянна. Отложив – 8 кН, построим эпюру QУ на первом участке (см. рис. 6). Величина изгибающего момента МZ на первом участке переменна. Так как x в выражении для МZ стоит в первой степени, то зависимость линейная. Линейную зависимость легко построить по двум точкам. Найдем величину МZ на границах первого участка.

При x 0 м MZ 0 , при x 2 м M Z 16 кН м.

19

Откладывая найденные значения момента на эпюре и соединяя полученные точки прямой линией, строим эпюру МZ на первом участке (см. рис. 6).

Участок II

Рассекаем балку на две части так, чтобы сечение находилось в пределах второго участка, на расстоянии x от правого края балки. Очевидно, должно выполняться условие 2 м x 3 м. Иначе сечение

окажется за пределами второго участка. Рассмотрим равновесие правой части балки.

QУ FУвнеш F 8 кН, МZ mZ F внеш F x М.

Величина QУ на втором участке также постоянна. Поэтому эпюра QУ на втором участке строится как продолжение эпюры первого участка (см. рис. 6). Величина изгибающего момента МZ на втором участке переменна. Зависимость линейная. Для построения эпюры найдем величину МZ на границах второго участка.

При x 2 м M Z 7 кН м, при x 3 м M Z 1 кН м.

Откладывая найденные значения момента на эпюре и соединяя полученные точки прямой линией, строим эпюру МZ на втором участке (см. рис. 6).

Участок III

Рассекаем балку на две части так, чтобы сечение находилось в пределах третьего участка. Может показаться, что в данном случае удобнее рассмотреть равновесие левой части балки. Однако при этом необходимо к действующим активным силам добавить реакции связей (реакции жесткой заделки R и М см.

рисунок). Величины данных реакций неизвестны. Для их определения необходимо предварительно решить задачу теоретической механики (задачу статики). Чтобы этого не

20

делать, рассмотрим, как и на предыдущих участках, равновесие правой части балки. Сечение проведем на расстоянии x от правого края балки. Должно выполняться условие 3 м x 10 м. На

рассматриваемую часть балки действует распределенная нагрузка интенсивностью q. Заменим ее сосредоточенной силой G q l , где l –

длина участка, на котором действует распределенная нагрузка.

участке

QУ FУвнеш G F ,

МZ mZ F внеш F x М G x 3 2

или

Откладывая найденные значения поперечной силы на эпюре и соединяя полученные точки прямой линией, строим эпюру QУ на третьем участке (см. рис. 6).

Эпюру МZ построить несколько сложнее – зависимость квадратичная. То есть графиком является парабола. Для ее

21

построения необходимо несколько точек. Например, можно просчитать величины МZ через каждые 0,5 м (x = 3 м, x = 3,5 м и т.д.

до x = 10 м). Однако точный вид параболы при построении эпюры неважен, поэтому рассмотрим приближенный способ построения эпюры. Известно, что ветви параболы смотрят вверх, если коэффициент при x2 положительный, и вниз, если коэффициент отрицательный. В нашем примере ветви параболы смотрят вниз. Следовательно,

параболу необходимо нарисовать выпуклостью вверх. К данному выводу можно прийти другим путем. Изгиб эпюры момента и направление распределенной нагрузки q связаны «правилом зонтика» (см. рисунок) (распределенная нагрузка – дождь, а эпюра момента – зонтик). Найдем величину МZ на границах третьего участка.

При x 3 м МZ 8 3 17 3 3 23 2 7 кН м,

Таким образом, парабола проходит через две найденные точки и должна быть нарисована выпуклостью вверх. Однако ее можно нарисовать плавно убывающей от значения 7 кН·м до –10,5 кН·м, или сначала парабола возрастает до максимума и лишь затем убывает. Иными словами, необходимо определить, имеется на эпюре момента экстремум (минимум или максимум) или эпюра монотонно убывает (возрастает). Для этого надо вспомнить математический анализ – исследование функций на экстремум. Экстремум функции достигается в тех точках, где первая производная обращается в нуль.

То есть необходимо найти производную dMdxZ и проверить,

обращается ли она в нуль, при каком-либо x в пределах третьего участка 3 м x 10 м. Задача упрощается, если вспомнить известные

дифференциальные зависимости при изгибе

22