ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.04.2024
Просмотров: 134
Скачиваний: 0
4.3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. В заданиях 41 60 найти общее решение системы линейных уравнений методом
Гаусса и произвольное частное решение этой системы.
4x1 − 2x2 + x3 − x4 = 2,
41.x1 − x3 + 4x4 = 7,
3x1 + 2x3 − x4 = 2.
x1 + x2 + x3 + x4 = 0,
43.2x1 − 2x2 + 3x3 + 4x4 = −1,
3x1 − x2 + 4x3 + 5x4 = −1.
−x1 + 2x2 + 3x3 = 5,
45.x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 5,
3x1 + x2 − x3 − x4 = 2.
x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 1,
47.x1 + x2 − x3 + 4x4 = 0,
3x1 + x3 − x4 = 3.
x1 + 2x2 + x4 = 7,
49.x1 − 2x2 − x3 + 4x4 = 0,
4x2 + x3 − 3x4 = 7.
4x1 + x2 − x3 − x4 = −2,
51.x1 − x2 + 4x4 = 1,
3x1 + x2 − 2x3 = 3.
x1 + 2x2 + x3 − x4 = −4,
53.x1 + 3x2 − x3 + 4x4 = 2,
3x1 + 2x3 − x3 = 7.
x1 − 2x2 + x3 − x4 = 0,
55.4x1 − 2x2 + 3x3 − 2x4 = 2,
3x1 + 2x3 − x4 = 2.
4x1 − 2x2 − 4x3 − x4 = −3,
57.2x1 − x2 + 4x4 = 0,
x1 + 2x3 − x4 = −2.
x1 − 2x2 − x4 = 0,
59.x1 + 3x2 − x3 + 4x4 = 1,
3x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0.
x1 − 3x2 − x3 + 2x4 = 0,
42.x1 − x3 − 4x4 = 3,
2x1 − 2x2 − x4 = −1.
x1 − 5x2 + x3 = 3,
44.x1 + x2 − 4x3 − 3x4 = 5,
3x1 + 2x3 − x4 = 0.
x1 + 6x3 − x4 = 0,
46.x1 + x2 − x3 + x4 = 1,
5x1 + 2x3 − 3x4 = 2.
x1 − 2x2 + x3 − x4 = 6,
48.x1 − x3 + 4x4 = 0,
3x1 + 2x2 − x4 = 2.
4x1 − x2 + x3 + x4 = 1,
50.x1 − x3 + 4x4 = −5,
3x1 − x2 − x4 = 0.
2x1 + x3 − x4 = 1,
52.x2 − x3 + 4x4 = −1,
3x1 − x2 + 2x3 − x4 = 0.
7x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = 5,
54.x1 − x3 + 4x4 = 0,
2x1 + x3 − x4 = −2.
2x1 − 3x2 + x3 + x4 = 1,
56.x1 − x2 + 3x4 = 2,
3x1 + 2x2 − x4 = −1.
2x1 + x2 + x3 − x4 = 5,
58.2x1 − 4x3 + 4x4 = 3,
3x1 + 2x2 − x4 = 2.
2x1 − 2x2 + x3 = 6,
60.x1 − x3 + 4x4 = 1,
5x1 + 2x3 − 5x4 = 1.
4.4. Векторные пространства. Базис. Разложение вектора по базису. Решение невырожденных систем линейных уравнений метода-
ми Крамера и обратной матрицы. В заданиях 61 80 в трехмерном про-
− − − −
странстве заданы своими координатами векторы a1, a2, a3, b. Докажите,
46
− − −
что векторы a1, a2, a3 образуют базис в этом пространстве и разложите
−
по этому базису вектор ных уравнений, сделав это двумя способами: методом обратной матрицы и методом Крамера.
61. |
− |
= {3; −4; 1}, |
− |
= {2; −3; 6}, |
− |
= |
{0; 5; −2}, |
− |
|||
a1 |
a2 |
a3 |
b= {8; −11; 8}. |
||||||||
62. |
− |
= {4; −2; 1}, |
− |
= {3; 2; −1}, |
− |
= |
{3; −5; 2}, |
− |
|||
a1 |
a2 |
a3 |
b= {0; −14; 5}. |
||||||||
63. |
− |
= {7; 8; −1}, |
− |
= {2; 0; −3}, |
− |
= |
{3; 6; 1}, |
− |
|
||
a1 |
a2 |
a3 |
b= {8; 14; 3}. |
||||||||
64. |
− |
− |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
a1 |
= {3; 2; 2}, a2= {2; −1; 1}, |
a3= {4; 3; 3}, |
b= {−12; −10; −8}. |
||||||||
65. |
− |
= {2; −1; 1}, |
− |
= {3; 2; 2}, |
− |
|
|
|
|
− |
|
a1 |
a2 |
a3= {1; −1; 4}, |
b= {9; 3; 2}. |
||||||||
66. |
− |
= {1; −1; 7}, |
− |
= {2; 3; −3}, |
− |
= |
{3; 2; 5}, |
− |
|
||
a1 |
a2 |
a3 |
b= {7; 8; 1}. |
||||||||
67. |
− |
|
− |
|
− |
= |
{1; 1; 1}, |
− |
|
||
a1 |
= {2; −3; −1}, a2= {3; 4; 3}, |
a3 |
b= {3; 9; 6}. |
||||||||
68. |
− |
= {2; −2; 1}, |
− |
= {1; 3; −1}, |
− |
= |
|
|
|
− |
|
a1 |
a2 |
a3 |
{2; −1; −2}, b= {9; 20; −9}. |
||||||||
69. |
− |
− |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
a1 |
= {1; 4; 6}, a2= {−2; 7; 4}, |
a3= {3; 2; 2}, |
b= {5; 5; −2}. |
||||||||
70. |
− |
− |
− |
= {1; 2; 2}, |
− |
|
|
||||
a1 |
= {10; 1; 3}, a2= {3; 4; 9}, a3 |
b= {−3; −15; −38}. |
|||||||||
71. |
− |
= {2; −1; 2}, |
− |
= {1; 1; 2}, |
− |
|
|
|
− |
|
|
a1 |
a2 |
a3= {4; 1; 4}, |
b= {2; −7; 2}. |
||||||||
72. |
− |
− |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
a1 |
= {2; 3; 2}, a2= {7; 1; −7}, |
a3= {3; 8; 4}, |
b= {13; −16; −31}. |
||||||||
73. |
− |
= {2; 3; −2}, |
− |
= {1; 2; 1}, |
− |
|
|
|
− |
|
|
a1 |
a2 |
a3= {3; 4; 2}, |
b= {3; 3; 12}. |
||||||||
74. |
− |
− |
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
a1 |
= {1; 3; 4}, a2= {7; 4; 8}, a3= {3; 2; 5}, b= {9; 3; 9}. |
||||||||||
75. |
− |
= {4; 1; −3}, |
− |
= {8; 3; −6}, |
− |
= |
{1; 1; −1}, |
− |
|||
a1 |
a2 |
a3 |
b= {−16; −7; 12}. |
||||||||
76. |
− |
− |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
a1 |
= {2; 1; 1}, a2= {1; −1; 1}, |
a3= {1; 1; 2}, |
b= {−5; −3; 1}. |
||||||||
77. |
− |
− |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
a1 |
= {8; 4; 3}, a2= {2; 6; −2}, |
a3= {3; 10; 1}, b= {17; −8; 20}. |
|||||||||
78. |
− |
− |
|
|
|
− |
= |
{−3; 5; 6}, |
− |
||
a1 |
= {3; 1; 1}, a2= {1; −4; −2}, |
a3 |
b= {−4; 8; 15}. |
||||||||
79. |
− |
= {1; −2; 2}, |
− |
= {2; 1; −1}, |
− |
= |
{1; −5; 2}, |
− |
|||
a1 |
a2 |
a3 |
b= {7; 6; −6}. |
||||||||
80. |
− |
− |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
a1 |
= {4; 9; 2}, a2= {7; 1; −4}, |
a3= {8; 3; 1}, |
b= {−20; 0; −1}. |
||||||||
4.5. Элементы аналитической геометрии на плоскости. В заданиях
81 100 даны координаты вершин треугольника ABC. Найти:
1)длины сторон треугольника ABC;
2)уравнения сторон треугольника ABC и угловые коэффициенты этих сторон ;
3)доказать, что угол C треугольника ABC прямой;
4)уравнение медианы AM;
5)уравнение высоты CH;
6)координаты точки H основания высоты CH;
47
7)уравнение окружности с центром в точке M, проходящей через вершины B и C треугольника;
8)построить на чертеже треугольник ABC, медиану AM, высоту CH и окружность из пункта 7).
81.A(−9; 10), B(15; 17), C(3; 1).
82.A(−10; 12), B(14; 19), C(2; 3).
83.A(−13; 4), B(11; 11), C(−1; −5).
84.A(−11; 5), B(13; 12), C(1; −4).
85.A(−13; 8), B(11; 15), C(−1; −1).
86.A(−11; 8), B(13; 15), C(1; −1).
87.A(−13; 5), B(11; 12), C(−1; −4).
88.A(−10; 10), B(14; 17), C(2; 1).
89.A(−12; 11), B(12; 18), C(0; 2).
90.A(−9; 7), B(15; 14), C(3; −2).
91.A(−11; 11), B(13; 18), C(1; 2).
92.A(−15; 8), B(9; 15), C(−3; −1).
93.A(−17; 7), B(7; 14), C(−5; −2).
94.A(−18; 6), B(6; 13), C(−6; −3).
95.A(−8; 8), B(16; 15), C(4; −1).
96.A(−12; 9), B(12; 16), C(0; 0).
97.A(−11; 7), B(13; 14), C(1; −2).
98.A(−9; 8), B(15; 15), C(3; −1).
99.A(−10; 11), B(14; 18), C(2; 2).
100.A(−9; 5), B(15; 12), C(3; −4).
4.6. Системы линейных неравенств. В заданиях 101 120 постройте
множество точек на плоскости |
Oxy, координаты которых удовлетворяют |
||||||||||||||
указанным системам неравенств. |
|
y > 0, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
101. |
y > 0, |
|
|
|
|
102. |
|
x > 0, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2y x 6 |
|
|
0, |
||||
|
|
|
3 |
|
0. |
|
|
− − |
|
6 |
|
||||
|
y + 3x |
− |
6 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y + 4x − 12 6 0. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > 0, |
|
|
|
|
|
y > 0, |
|
|
|
|
|
||
103. |
y > 0, |
|
|
|
|
104. |
x + y |
− |
2 > 0, |
||||||
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
0, |
||||
|
y 2x + 2 |
> |
|
y x + 4 |
> |
||||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2y − x − 2 6 0. |
|
y 6 1. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48
x > 1,
105.y 6 3,
3y − x − 3 > 0.
y > 3,
107.y − x + 1 > 0,
5y − 2x − 13 6 0.
x > 0,
109.y > 0,
3x + 2y − 6 6 0.
x > 0,
111.3x + y − 5 6 0,
2y − x − 2 > 0.
x > 1,
113.3y − x − 6 > 0,
x + y − 6 6 0.
x > 0,
115.3y > x,
2x + y − 4 6 0.
y > 0,
117.5x > 2y,
5x − y − 5 6 0.
y > 4,
119.2x − y + 3 > 0,
x + y − 7 6 0.
y > 0,
106.y + 3x − 9 6 0,
y − 3x + 3 6 0.
x 6 y,
108.y 6 4,
y − 2x + 2 6 0.
x 6 5y,
110.y 6 2,
y + 2x − 4 > 0.
x > 0,
112.y > 0,
4x + y − 4 6 0.
x + y − 7 > 0,
114.y 6 6,
2y − x − 5 > 0.
x > 0,
y > 0,
116.x − y + 1 > 0,
3x + y − 9 6 0.
x > 0,
118.y > x,
3x + 2y − 6 6 0.
x > 0,
y > 0,
120.x − 2y + 5 > 0,
x 6 4.
4.7. Собственные значения и векторы матрицы. В заданиях 121 140
найдите собственные значения и собственные векторы матрицы.
−1 |
4 |
|
−5 |
3 |
||
121. |
2 |
−3 . |
122. |
2 |
0 . |
|
−1 |
3 |
|
|
1 |
−3 |
|
123. |
9 |
−7 . |
124. |
−3 |
4 . |
|
|
7 |
4 |
|
|
5 |
−5 |
125. |
−9 |
−6 . |
126. |
−7 |
3 . |
|
49