Файл: metod_Lin-Algebra_zo.pdf

Обнулим все элементы первого столбца, кроме первого элемента. Для этого последовательно умножим первую строку на 2 è (−3), затем прибавим ее ко второй и третьей строке, соответственно:

Обнулим третий элемент второго столбца. Для этого сложим вторую строку, умноженную на (−1) с третьей:

Вычеркнем третью строку, все элементы которой нулевые:

Матрица приведена к ступенчатому виду. Этой матрице, эквивалентной матрице Aр соответствует следующая система, равносильная исходной:

(

Система (32) состоит из двух уравнений с четырьмя неизвестными и имеет

бесконечное множество решений, зависящее от двух ( 4 − 2 = 2) параметров. Для их нахождения разделим переменные на основные и свободные. Возьмем переменные x1 è x2, стоящие "на ступеньках" системы (32), в качестве основ- ных. Тогда переменные x3 è x4 будут свободными (параметрами):

x3 = C1, x4 = C2 C1, C2 произвольные действительные числа .

Двигаясь по системе (32) "снизу вверх", последовательно находим переменные x2 è x1:

x2 = −6x3 + 11x4 + 7 = −6C1 + 11C2 + 7;

x1 = −2x2 − 4x3 + 9x4 + 1 = −2(−6C1 + 11C2 + 7) − 4C1 + 9C2 + 1 =

= 12C1 − 22C2 − 14 − 4C1 + 9C2 + 1 = 8C1 − 13C2 − 13.

Èòàê,

x1 = 8C1 − 13C2 − 13; x2 = −6C1 + 11C2 + 7; x3 = C1; x4 = C2 (33)

(C1, C2 не зависящие друг от друга произвольные постоянные) общее решение исходной системы. Для нахождения какого-нибудь частного решения

55

выберем произвольным образом значения C1 è C2 и подставим их в формулы (33). Полагая, например, C1 = C2 = 0, получим:

x1 = −13; x2 = 7; x3 = x4 = 0

частное (базисное) решение исходной системы.

ОТВЕТ: x1 = 8C1 − 13C2 − 13, x2 = −6C1 + 11C2 + 7, x3 = C1, x4 = C2 (C1,

C2 не зависимые друг от друга произвольные постоянные) общее решение системы; x1 = −13, x2 = 7, x3 = x4 = 0 частное решение системы.

Пример 6. Найти общее решение системы линейных уравнений методом Гаусса и произвольное частное решение этой системы.

−2x1 − 3x2 − 2x3 + 7x4 = 5,

x1 + 2x2 + 4x3 − 9x4 = 1,

3x1 + 7x2 + 18x3 − 38x4 = 11

(сравните эту систему с системой из примера 5).

Решение. Запишем расширенную матрицу системы:

37 18 −38 11

Выполняя элементарные преобразования над матрицей подобно тому, как это делалось в примере 5, получим:

Последняя строка матрицы справа может быть записана как уравнение

0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 1,

которое не имеет решений, так как при любых x1, x2, x3 è x4 его левая часть

равна нулю, а правая единице. Это означает, что исходная система не имеет решений.

ОТВЕТ: система не имеет решений.

5.4. Векторные пространства. Базис. Разложение вектора по базису. Решение невырожденных систем линейных уравнений методами Крамера и обратной матрицы.

−

Пример 7. В трехмерном пространстве заданы векторы a1= {2, 4, −3},

−

a3 образуют базис в этом пространстве и разложите по этому базису вектор

−

b. Разложение осуществить, решая систему линейных уравнений, сделав это двумя способами: методом обратной матрицы и методом Крамера.

56

Решение. 1) Три вектора образуют базис в трехмерном пространстве тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, не равен нулю. Составим определитель и вычислим его разложением по первой строке:

Найдем x1, x2 è x3. Для этого запишем равенство (35) в кординатной форме, а затем преобразуем его в систему линейных уравнений:

−4 −3 1 −2 −4 −3x1 + 1x2 − 2x3

5

B = 3 матрица-столбец свободных коэффициентов . (38)

−4

Так как = |A| = −70 6= 0 (см. формулу (34)), поэтому система (36) имеет единственное решение, находящееся по формуле

57

Здесь A−1 матрица, обратная матрице A, которая находится так:

ãäå Aij (i, j = 1, 2, 3) алгебраические дополнения к элементам матрицы A. Найдем Aij:

A11 = (−1)1+1 8 5 = 8 · (−2) − 5 · 1 = −21;

1 −2

A21 = (−1)2+1 0 −1 = −(0 · (−2) − (−1) · 1) = −1;

1 −2

A12 = (−1)1+2 4 5 = −(4 · (−2) − 5 · (−3)) = −7;

−3 −2

A22 = (−1)2+2 2 −1 = 2 · (−2) − (−1) · (−3) = −7;

−3 −2

A23 = (−1)2+3 2 0 = −(2 · 1 − 0 · (−3)) = −2;

−3 1

A33 = (−1)3+3 2 0 = 2 · 8 − 0 · 4 = 16.

4 8

Таким образом,

и, подставляя найденную матрицу A− в формулу (39), получаем:

58

Здесь i (i = 1, 2, 3) определитель матрицы, полученной из матрицы A заменой i-ого столбца столбцом свободных коэффициентов B (см. формулу (38)).

Найдем i (i = 1, 2, 3):

5 0 −1

1 = 3 8 5 =

−4 1 −2

= 5 · (8 · (−2) − 5 · 1) + 0 − 1 · (3 · 1 − 8 · (−4)) = 5 · (−21) − 35 = −140;

2 5 −1

= 2 · (3 · (−2) − 5 · (−4)) − 5 · (4 · (−2) − 5 · (−3)) − 1 · (4 · (−4) − 3 · (−3)) =

= 2 · 14 − 5 · 7 − 1 · (−7) = 0;

2 0 5

3 = 4 8 3 =

−3 1 −4

= 2 · (8 · (−4) − 3 · 1) + 0 + 5 · (4 · 1 − 8 · (−3)) = 2 · (−35) + 5 · 28 = 70.

Èòàê, x1 = 2, x2 = 0, x3 = −1 решение системы (36).

5) Подставляя найденное решение системы (36) в формулу (35), получим

59