ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.04.2024
Просмотров: 135
Скачиваний: 0
Решая эту систему методом Гаусса, получаем x1 = 2159 x3, x2 = 4459 x3, x3 любое действительное число. Полагая x3 = 59c, находим собственный вектор:
21c X = 44c .
59c
Это означает, что сбалансированность торговли тр¼х стран достигается при соотношении торговых бюджетов этих стран 21 : 44 : 59.
2. Содержание практических занятий
2.1.Занятие 1.
Задача 1. Даны точки A(3, −1) è B(−5, 5) и прямая l1, задаваемая уравне- íèåì 4x + 3y − 9 = 0. Требуется: 1) найти расстояние между точками A è B;
2) найти координаты точки C середины отрезка AB; 3) проверить, лежат ли точки A è B на прямой l1; 4) построить на координатной плоскости (на одном рисунке) точки A, B è C, а также прямую l1.
Задача 2. Даны прямые l1 : 2x − 3y − 1 = 0 è l2 : 3x + 2y − 8 = 0. Требуется: 1) найти угловые коэффициенты прямых l1 è l2; 2) доказать, что эти прямые перпендикулярны ; 3) найти точку пересечения прямых l1 è l2; 4) построить эти прямые на координатной плоскости (на одном рисунке).
Задача 3. Доказать, что прямые l1 : 2x−3y −7 = 0 è l2 : −4x+6y −1 = 0 являются параллельными.
Задача 4. Даны точки A(−9; 5), B(15; 12), C(3; −4) è M, причем M середина отрезка AB. Написать уравнение прямых AB è CM.
Задача 5. Даны точка A(−9; 5) и прямая l1 : 2x − 3y − 7 = 0. Написать уравнение прямой l2, проходящей через точку A параллельно прямой l1.
Задача 6. Даны точка A(−9; 5) и прямая l1 : 2x − 3y − 7 = 0. Написать уравнение прямой l3, проходящей через точку A перпендикулярно прямой l1.
Задача 7. Написать уравнение окружности радиуса 5 с центром в точке (3, −1). Построить окружность на координатной плоскости.
Задача 8. Даны точки A(−9; 5) è B(−1; 11). Написать уравнение окруж-
ности, для которой отрезок AB служит диаметром. Построить окружность на координатной плоскости.
2.2. Занятие 2.
Задача 9. Даны матрицы
A = |
0 |
−1 2 |
1 |
, |
B = |
−1 |
3 |
4 |
−3 . |
|
|
−2 |
3 |
3 |
2 |
|
|
2 |
1 |
5 |
−6 |
|
3 |
4 |
−3 |
5 |
|
|
1 |
5 |
−3 7 |
|
Найти 2A, A + B, 3A − B.
38
Задача 10. Перемножить матрицы:
|
|
4 3 |
|
2 |
|
6 |
|
|
|
0 |
3 |
5 |
|
− |
|
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|||||||||
a) |
|
1 −2 |
|
5 −1 ; |
|
á) 1 −1 2 |
|
|
|
2 3 |
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
1 |
|
|
−1 |
|
|
|
0 |
3 |
1 |
− |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
2 |
|
0 |
|
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
â) |
|
|
|
6 |
9 |
|
; |
ã) |
|
|
− |
|
|
|
5 |
|
|
. |
|
||
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 11. Найти A2, åñëè
3 |
1 |
−1 |
|
2 |
4 |
5 |
. |
A = 3 |
0 |
1 |
Задача 12. Найти матрицу At, транспонированную к матрице A из задачи
9.
Задача 13. Привести матрицу к ступенчатому виду и указать ее ранг:
a) |
|
2 |
4 |
1 |
|
; |
á) |
|
|
3 |
6 |
2 |
1 |
|
; |
â) |
|
|
− |
|
−1 |
|
; |
||||
|
|
3 |
|
1 0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
1 0 |
1 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|||||||
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
− |
|
|
− |
|
|
|
3 |
1 |
|
4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
1 |
|
||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
6 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
4 |
2 |
1 |
|
|
4 . |
|
|
|
− |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ã) |
4 |
|
; |
|
|
ä) 1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
−5 |
|
|
|
|
|
3 |
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
5 |
9 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2.3. Занятие 3.
Задача 14. Вычислить определители 2-ого порядка:
a) |
3 |
5 |
|
; |
á) |
|
|
|
|
√a |
; |
â) |
|
|
cos α |
sin α |
. |
||||
a |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 15. Вычислить определители третьего порядка, разложив их по элементам первой строки:
a) |
5 −2 |
1 |
; |
á) |
−1 a |
1 . |
||||
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
a |
1 |
a |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
a |
|
1 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 16. Вычислить определители, разложив их по элементам ряда, который содержит наибольшее число нулей:
a) |
0 b |
0 |
; |
á) |
0 |
−x |
1 . |
|||
|
1 b |
1 |
|
|
|
−x |
1 |
x |
|
|
|
b 0 |
|
b |
|
x |
1 |
−x |
|||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39
Задача 17.
−2 1 5
0 −1 3 .
4 5 1
Вычислить определитель тремя способами (разлагая по элементам трех различных рядов).
Задача 18. При каких значениях λ матрица
|
λ |
4 |
1 |
|
A = |
2 |
5 |
−1 |
|
|
0 |
λ |
1 |
будет вырожденной?
Задача 19. Решить уравнения:
|
|
|
6 |
3 |
λ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
λ |
|
|
|
a) |
|
2 − |
λ −1 |
|
= 0; |
|
á) |
10 − |
λ 9 |
|
= 0. |
||||
|
|
|
− − |
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|||
Задача 20. |
|
|
|
|
|
− |
1 |
, обратную |
к матрице |
|
|
|||||
Найти |
матрицу A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
|
−3 |
1 . |
|
|
|
|
|
|
||
Задача 21. |
Найти матрицу A−1 |
, обратную к матрице |
|
|
||||||||||||
1 |
2 |
−3 |
|
2 |
5 |
0 |
. |
A = 4 |
−3 |
7 |
2.4. Занятие 4.
Задача 22. Решить систему линейных уравнений
|
x1 |
|
2x2 |
+ 3x3 |
= 2, |
||
|
2x1 |
+ 5x2 |
− x3 |
= 21, |
|||
|
− |
|
|
= |
− |
24 |
|
|
5x1 + 4x2 + 7x3 |
− |
|||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a)методом обратной матрицы; б) методом Крамера.
Задача 23. Методом Крамера решить систему линейных уравнений
5x 2y + 3z |
= 23, |
||||||
|
3x + |
y − 2z |
= 10, |
||||
|
− |
|
9z |
= |
|
1. |
|
2x |
|
− |
− |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 24. Методом Крамера решить систему линейных уравнений
(
3x1 + 8x2 = −2, 5x1 − 2x2 = 12.
40
2.5. Занятие 5.
Методом Гаусса решить системы линейных уравнений:
a) |
|
2x1 + 5x2 − x3 |
= 21, |
á) |
|
x1 − 4x2 + 8x3 |
= −1, |
||||
x1 |
− |
2x2 + 3x3 |
= 2, |
3x1 + 2x2 |
− |
5x3 |
= 12, |
||||
|
|
|
|
− |
|
|
5x1 + 6x2 |
11x3 |
= 18, |
||
|
|
5x1 + 4x2 + 7x3 |
= 24; |
|
|
− |
|||||
|
− |
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
â) |
|
2x1 − 5x2 − 2x3 |
= 0, |
4x1 + 9x2 + 2x3 |
= 6, |
||
|
|
|
|
|
2x1 + x2 + 2x3 |
= 8. |
|
|
|
|
|
Задача 26. Методом Гаусса решить системы линейных уравнений:
a) |
|
2x + y |
− |
3z |
= 0, |
á) |
3x1 |
+ 7x2 |
+ 7x3 |
|
x4 |
= 3, |
||
|
|
4x + 3y 5z |
= 11, |
|
− |
x1 |
− 2x2 |
+ 4x4 |
= 9, |
|||||
|
− |
|
− |
2z |
= 11; |
|
x1 + 3x2 |
|
− |
|
− |
|||
|
|
6x + 2y |
− |
|
|
− |
+ 14x3 + 7x4 |
= 15. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для каждой из систем найти общее и какое-нибудь частное решение.
2.6. Занятие 6.
Задача 27. Построить множества точек на плоскости, заданные системой неравенств
|
a) 2x> |
|
y + 3 > 0, |
|
|
á) |
y < 6,− |
7 > 0, |
|||||||||||
|
|
y |
|
4, |
|
|
|
|
|
|
x + y |
|
|||||||
|
|
− |
|
7 |
|
0; |
|
|
|
|
|
x |
|
|
5 |
|
0. |
||
|
x + y |
− |
6 |
|
|
|
2y |
− |
− |
> |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 28. |
Даны векторы |
a= (0, 3, −1) и b= (2, −5, 1) в трехмерном про- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−, |
− |
− |
− |
− |
− |
|
|
− |
|
|
|
|
странстве. Найти векторы 3 a |
a + b, |
a |
− b, 2 a |
−3 b. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
− |
|
|
|
||
Задача 29. |
Доказать, что векторы |
a= (2, 3, −4) è b= (−4, −6, 8) в трехмер- |
|||||||||||||||||
ном пространстве являются коллинеарными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Задача 30. |
Доказать, что точки A(2, 3), B(3, 5) и C(5, 9) лежат на одной |
||||||||||||||||||
прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 31. Даны пары векторов на плоскости. Указать в каких парах векторы линейно зависимы.
a) |
− |
− |
− |
− |
a= (−2, 3), b= (4, −7); |
á) a= (1, −3), b= (−2, 6). |
|||
Задача 32. Даны тройки векторов в трехмерном пространстве. Указать в каких тройках векторы линейно зависимы.
− − −
a)a= (−2, 4, 3), b= (4, −7, 0), c= (2, −3, 3);
|
á) |
− |
− |
− |
|
|
|
a= (1, 5, −3), b= (2, −2, 6), c= (4, 0, 0). |
|
− |
|||
|
|
|
|
|
− |
|
− |
Задача 33. Доказать, что тройка векторов |
a= (3, −4, 1), |
b= (2, −3, 6), |
|||
c= (0, 5, −2) образует базис в трехмерном пространстве и разложить вектор |
||||||
− |
= (8, −11, 8) |
по этому базису. |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
41