Файл: Mikro_ch6.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.04.2024

Просмотров: 101

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Общее равновесие и общественное благосостояние.

123

 

 

∂V1/∂Ex1 = Ey1 + 2 − λPx = 0; ∂V1/∂Ey1 = Ex1 + 83 − λPy = 0; ∂V1/∂λ = − ( PxE x1 + Py Ey1) = 0.

Решаем систему уравнений и получаем функции избыточного спроса для индивида 1:

λ = (Ех1 + 83)/Py = (Ey1 + 2)/Px;

− Ex1P1 − Ey1P2 = 0;

Ey1Py + 2Py = Ех1Px + 83Px;

Ex1 = − Ey1Py/Px;

Ey1 = (Ех1Px + 83Px − 2Py)/Py;

Ex1 = − (Ех1Px + 83Px − 2Py)/Px;

Ex1 = Py/Px − 41.5;

Ey1 = 41.5 Px / Py − 1.

Таким образом, избыточный спрос представлен как функции от соотношения цен. Увеличение Px относительно Py уменьшит Ex1 и увеличит Ey1. Увеличение Py относительно

Px увеличит Ex1 и уменьшит Ey1.

Аналогичным образом поступаем с функцией полезности индивида 2.

В итоге решения новой системы уравнений получаем следующие функции избыточного спроса для индивида 2:

 

 

Ex2 = 84 Py /Px − 1;

 

 

 

Ey2 = Px

/Py − 84.

 

В соответствии с требованиями «очищения» рынка мож-

но записать:

 

 

= 85 Py /Px − 42.5 = 0;

Ех

= Ex1

+ Ex2

Ey

= Ey1

+ Ey2

= 42.5 Px / Py − 85 = 0.

При решении первого из уравнений имеем Py/Px = 0.5, а при

решении второго — Px /Py

= 2, что, как видно, одно и то же.

Подставляем соотношения цен в индивидуальные фун-

кции избыточного спроса и получаем:

 

Ex1 = − 41;

Ex2 = 82;

Ey1 = 41;

Ey2 = − 82.

Индивид 1 отдает 41 единицу блага X индивиду 2 в

обмен на 82 единицы блага Y.

 

Следовательно, парето-эффективная комбинация благ:

X1= 37;

X2 = 41;

Y1 = 82;

Y2 = 82.

124

Часть VI.

 

 

Решение задачи № 6

 

6.1. Фиксируем полезность индивида 1 и составляем

соответствующее уравнение Лагранжа:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L = U (X ,Y) + λ[U (X ,Y) – U

 

] = X2/3 Y

1/3

 

+ λ[X1/3Y2/3

−U

].

2

2

2

 

 

1

 

 

 

 

 

1

1

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

1

Поскольку то, что получает индивид 2, не получает

индивид 1, и наоборот, то, следовательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X2

= 1000 − X1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y2

= 1000 − Y1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате уравнение Лагранжа становится функцией

только двух переменных — X1 и Y1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L = (1000 − X )2/3 (1000 − Y)1/3

+ λ[X1/3 Y2/3

– U

].

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

Условия максимума первого порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂L

= −

1

 

 

1000 − Y

2/3

+

2λ

Y

 

1/3

= 0 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂X1

3

1000

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− X1

 

 

 

X1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂L

= −

2

 

1000 − X

1/3

+

λ

 

X

2/3

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂Y2

3

 

1000 − Y1

3

Y1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перенося члены с λ в правую часть и производя деление

верхних уравнений на нижние, получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1000 − Y

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

=

2

 

 

1

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

 

2

 

 

1000 − X1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1

 

 

 

=

 

4Y1

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1000 − X

1000 − Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

что представляет условие эффективности в обмене (равенство

MRS1XY и MRS2XY ).

Теперь можно заполнить таблицу и по значениям X1 и Y1 (или X2 и Y2) построить контрактную кривую (см. рис. 6.1).

6.2. В результате указанного размещения благ индивиды 1 и 2 получают по 500 единиц полезности каждый (точка S в коробке Эджуорта). На контрактной кривой можно найти такую точку (точка О в коробке Эджуорта), где, например,

X1 = 660, Y1 = 327; X2 = 340, Y2 = 673. В этом случае U1 = 522 и U2 = 536.

Общее равновесие и общественное благосостояние.

125

 

 

Рис. 6.1. Коробка Эджуорта для «экономики обмена» и контрактная кривая

 

1

=

∂U1 /∂X1

=

2Y1

2

=

∂U2 /∂X2

=

Y2

6.3.

MRSXY

∂U /∂Y

 

и MRSXY

∂U /∂Y

 

.

X

2X

 

 

 

1

1

 

1

 

 

2

2

 

2

 

Индивид 1, таким образом, готов отдавать Y за X, а индивид 2 — наоборот. На рис. 6.1 видно, что при перемещении из точки S в точку А приобретает больше X и меньше Y, а индивид 2 — наоборот.

126

Часть VI.

 

 

Решение задачи № 7

 

7.1. Строим квадрат со сторонами 21×21 (рис. 7.1). 7.2. Из условий задачи находим U10 = 3600 и U20 = 16 200.

Легко представить кривые безразличия индивидов 1 и 2,

например, через X1

и X2.

 

 

 

 

Y1 = 3600/X1;

Y2 = 16 200/X2

 

Задавая различные значения X1 и X2 в интервале от 0

до 210, можно получить соответствующие им значения Y1

и Y2. Например, X1

= 40, Y1

= 90; X1

= 50, Y1

= 72; X1

= 60,

Y1 = 60; X1 = 80, Y1

= 45; X1

= 90, Y1

= 40; X1

= 100, Y1

= 36.

По данным точкам можно построить кривую безразличия для индивида 1 (U10). Аналогичным образом строится кривая безразличия для индивида 2 (U20) .

Рис. 7.1. Коробка Эджуорта: общее равновесие и паретоэффективность

7.3. Область внутри кривых безразличия индивидов, включая сами кривые от одной точки их пересечения до другой (см. заштрихованную область на рис. 7.1).

Общее равновесие и общественное благосостояние.

127

 

 

7.4. Для нахождения уравнения контрактной кривой надо помнить, что в любой точке этой кривой имеет место эффективность в обмене, т. е. MRS1XY = MRS2XY .

 

1

 

 

 

MUX

 

 

 

 

∂UX /∂X

Y1

MRSXY

=

 

 

 

=

 

∂U /∂Y

=

 

 

;

 

MU

X

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

Y

 

1

 

 

MRS2

 

=

MUX

 

=

 

∂UX /∂X

=

Y2

.

 

 

 

∂U /∂Y

 

 

 

 

XY

 

 

 

MU

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

Y

 

2

 

 

Далее можно записать следующую систему уравнений:

 

 

 

 

 

 

Y1

 

 

=

 

Y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X + X = 210;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X + X = 210

 

 

 

 

 

Отсюда получаем:

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1(210 − Y1)

 

 

 

Y =

X1Y2

 

Y =

 

1

 

X2

 

 

1

 

 

 

 

(210 − X1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

210 Y1 − X1Y1 = 210 X1 − X1Y1 X1 = Y1

Получили уравнение контрактной кривой (на рис. 6.1 − диагональ квадрата, представляющего коробку Эджуорта).

Аналогичный результат получился бы, если бы записали выражение не для Y1, а для Y2. Контрактная кривая также представляла бы диагональ квадрата (уравнение X2 = Y2).

7.5. Найдем координаты точек, в которых кривые безразличия индивидов 1 и 2, проходящие через точку изначального размещения благ, пересекают контрактную кривую.

Для этого составим следующую систему уравнений:

X = Y ;

 

1

1

 

 

 

3600

 

Y =

.

 

 

1

X1

Получаем Y12 = 3600 Y1 = 60, X1 = 60.

Аналогично:

X = Y ;

 

 

2

 

2

 

 

 

 

=

 

16 200

 

 

Y

 

.

 

 

 

 

2

 

 

X2

Смотрите также файлы