Файл: Mikro_ch6.pdf

Скачать файл (1,51Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.04.2024

Просмотров: 100

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

− 2λ = 0 X1 = 2λ;

128	Часть VI.

	Отсюда Y2 = 127.3, X2 = 127.3.

7.6. Индивид 1 максимизирует свою полезность при наличии бюджетного ограничения. Используем метод Лагранжа.

L = U1(X1,Y1) + λ(I1 − PX X1 − PY Y1),

где I1 — бюджет индивида 1. Он находится умножением

цен на количество соответствующих благ у индивида 1 при изначальном их размещении. Таким образом: I1 = 1 ∙ 30 +

+ 2 ∙ 120 = 270. ∂L = ∂U1 − λ = 0 Y1 = λ;

∂X1 ∂X1

∂L = ∂U1

∂Y1 ∂Y1

∂∂λL = 270 − X1 − 2Y1 = 0 4λ = 270 λ = 67.5. Отсюда: Y1 = 67.5; X1 = 135.

Индивид 2 также максимизирует свою полезность при наличии бюджетного ограничения. Используем метод Лагранжа.

количество соответствующих благ у индивида 2 при изначальном
их размещении. Таким образом: I2 = 1 ∙ 180 + 2 ∙ 90 = 360.
				∂L		= ∂U2 − λ = 0 Y = λ;
				∂X2		= ∂U2 − λ = 0 Y = λ;
				∂X2		∂X2
							2
			∂L		=	∂U2 − 2λ = 0 X = 2λ;
					=	∂U2 − 2λ = 0 X = 2λ;
			∂Y2			∂Y2	2
							2
	∂L	= 360 − X − 2Y = 0 4λ = 360 λ = 90.
		= 360 − X − 2Y = 0 4λ = 360 λ = 90.
	∂λ					2	2
						2	2
Отсюда: Y2 = 90; X2							= 180.
В итоге получаем X1							+ X2 = 257.5 и Y1 + Y2 = 157.5. Таким
образом, благо X окажется в дефиците, а благо Y — в избытке.
Заказанная комбинация благ не будет эффективной, так
		L = U2(X2,Y2) + λ(I2 − PX X2 − PYY2),
где I2 — бюджет индивида 2. Он находится умножением цен на

как не лежит на контрактной кривой. Уравнение контрактной кривой X1 = Y1 (X2 = Y2) предполагает, что количество единиц блага X в распоряжении любого из индивидов должно быть равно находящемуся в его же распоряжении количеству единиц блага Y.

Общее равновесие и общественное благосостояние.	129

7.7. Проводим аналогичные расчеты при PX	= 2.
Индивид 1 максимизирует свою полезность при наличии
бюджетного ограничения. Используем метод Лагранжа.

L = U1(X1,Y1) + λ(I1 − PX X1 − PY Y1),

где I1 — бюджет индивида 1. Он находится умножением цен на

количество соответствующих благ у индивида 1 при изначальном
их размещении. Таким образом: I1 = 2 ∙ 30 + 2 ∙ 120 = 300.
				∂L	=	∂U1	−2λ = 0 Y = 2λ;
				∂X	=	∂X	−2λ = 0 Y = 2λ;
				∂X		∂X	1
				∂L1	=	∂U11− 2λ = 0 X = 2λ;
			∂Y1		=	∂U11− 2λ = 0 X = 2λ;
			∂Y1			∂Y1	1
							1
	∂L	= 300 − 2X − 2Y = 0 300 = 4X .
	∂λ	= 300 − 2X − 2Y = 0 300 = 4X .
	∂λ					1	1	1
						1	1	1

Отсюда: X1 = 75, Y1 = 75.

L = U2(X2,Y2) + λ(I2 − PX X2 − PYY2),

где I2 — бюджет индивида 2. Он находится умножением цен на

количество соответствующих благ у индивида 2 при изначальном
их размещении. Таким образом: I2 = 2 ∙ 180 + 2 ∙ 90 = 540.
				∂L	=	∂U2	− 2λ = 0	Y = 2λ;
				∂X	=	∂X	− 2λ = 0	Y = 2λ;
				∂X		∂X		2
				∂L2	=	∂U22− 2λ = 0 X = 2λ;
			∂Y2		=	∂U22− 2λ = 0 X = 2λ;
			∂Y2			∂Y2		2
								2
	∂L	= 540 − 2X − 2Y = 0 4X = 540.
		= 540 − 2X − 2Y = 0 4X = 540.
	∂λ					2	2	2
						2	2	2
Отсюда: X2 = 135, Y2							= 135.
В итоге получаем X1							+ X2 = 210 и Y1 + Y2 = 210. Таким

образом, нет ни избытка, ни дефицита. Рынок «расчищается», и обеспечивается общее экономическое равновесие. Одновременно заказанные комбинации благ находятся на контрактной кривой, следовательно, достигается парето-эф- фективная комбинация благ.

В последнем легко убедиться, обратившись к условию эффективности в обмене:

130 Часть VI.

MUX

MRSXY

= MRSXY

= 1.

Это равенство MRS1XY и MRS2XY

на рис. 7.1 представлено

в точке касания кривых безразличия U* и U* .

При ценах, заданных «секретарем рынка» в п. 7.7:

MRSXY

= MRSXY =

= 1 = p*,

где

= p * — относительная равновесная цена. На рис.

7.1 луч, представляющий эту цену, проходит через точку

касания кривых безразличия U*

и U* .

7.8. U* = 75 ∙ 75 = 5625; U*

= 135 ∙ 135 = 18 225. При

изначальном размещении благ U0 = 3600, U0

= 16 200.

Отсюда: ∆U1 = 5625 − 3600 = 2025; ∆U2 = 18 225 – 16 200 =

= 2025. Очевидно, что это изменение является парето-улуч- шением (оба индивида повысили свое благосостояние).

Суммарная полезность индивидов в п. 7.7 составляет U1* + U2* = 23 850. Суммарная полезность в исходном состоянии U10 + U20 = 19 800. Следовательно, общий прирост полезности ∆U = 23 850 – 19 800 = 4050.

Полезность, полученная в п. 7.7, отвечает парето-эффек- тивному состоянию «экономики обмена». Это означит, что ее нельзя повысить за счет изменения размещения благ.

Решение задачи № 8

8.1. Находим, что

MUX

∂UX /∂X

MRSXY

∂U /∂Y

;

MRS2

MUX

∂UX /∂X

∂U /∂Y

Условие парето-эффективности:

10 − Y1

MRS1XY = MRS2XY

10 − X1

Общее равновесие и общественное благосостояние.	131

После перемножения получаем:

10Y1 − Y1X1 = 10X1 – X1Y1 X1 = Y1.

Отсюда: U1 = X10.5X10.5 = X1 U1 = 10 − X2.

Аналогично можно показать, что U2 = X2. В результате получаем уравнение границы возможных полезностей:

U1 = 10 − U2

Эта граница представлена на рис. 8.1

Рис. 8.1. Граница возможных полезностей

8.2. U10 = 20.5 20.5 = 2; U20 = 80.5 80.5 = 8.

Легко догадаться, что уравнение контрактной кривой

есть X1 = Y1, или, что то же самое, X2 = Y2.

См. рис. 8.2. Диагональ квадрата (коробки Эджуорта) 0102 есть контрактная кривая. Точка А — точка изначального размещения благ.

	1	2		Y1		Y2		PX		*
8.3.	MRSXY	= MRSXY	=		=		=		= p		= 1.
8.3.	MRSXY	= MRSXY	=	X	=	X	=	P	= p		= 1.
				1		2		Y

Следовательно, относительная равновесная цена (p*) есть

любой луч, пересекающий контрактную кривую под прямым углом. На рис. 8.2 эти лучи проведены через точку А и точку желаемого «секретарем рынка» размещения (точку В), где индивид 1 имеет X1 = 6, Y1 = 6; индивид 2, в свою очередь, обладает X2 = 4, Y2 = 4. Исходя из заданных нам функций полезностей индивидов можно заметить, что в точке В U1 = 6, U2 = 4 (что и нужно «секретарю рынка»).

132	Часть VI.

Используя рис. 8.2, нетрудно заметить, что для достижения нового распределения полезностей между индивидами «секретарю рынка» надо передать индивиду 2 от индивида 1 либо 8 единиц Y1, либо 8 единиц X1. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно из точки А провести прямые горизонтальную и вертикальную линии до соединения с лучом, представляющим относительную равновесную цену и пересекающему под прямым углом контрактную кривую в точке В. После указанного перераспределения относительная равновесная цена (р*) обеспечит автоматический переход в точку В — к желаемому «секретарем рынка» распределению полезностей.

Рис. 8.2. Коробка Эджуорта и перераспределение

Решение задачи № 9

9.1.См. рис. 9.1.

9.2.a) Точка I не является точкой оптимума, так как она не является точкой касания изоквант. Напротив, изокванты

X1 и Y3 пересекаются в точке I. В точках касания изоквант соблюдается условие парето-эффективности для производства

|(MRTSXLK = MRTSYLK ).

б) 22.5 + 25 = 47.5. Отсюда ∆K = 70 − 47.5 = 22.5 50LY отвечает 10LX. Следовательно, ∆L = 55 − 10 = 45.