Файл: ОЗО-лекции комп мм.doc

Изобразимсхему поэтапного процесса компьютерного математического моделирования:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЕЙ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Огрубление объекта (ранжирование)

Поиск математического описания

Выбор метода исследования

Уточнение модели

Разработка алгоритма и программы для ЭВМ

Отладка и тестирование программы

Расчеты на ЭВМ

Рис. 2.

III. Третий этап – поиск математического описания. На этом этапе необходимо перейти от абстрактной формулировки модели к математической формулировке. В этот момент модель предстает перед нами в виде уравнения, системы уравнений, системы неравенств, дифференциального уравнения или системы таких уравнений и т.д.

IV. Четвертый этап – выбор метода исследования.

Когда математическая модель сформулирована, выбираем метод ее исследования. Как правило, для решения одной и той же задачи есть несколько конкретных методов, различающихся эффективностью, устойчивостью и т.д. От верного выбора метода часто зависит успех всего процесса моделирования.

---

V. Пятый этап – разработка алгоритма и составление программы – это творческий и трудно формализуемый процесс. В настоящее время при реализации компьютерной математической модели наиболее распространенными являются приемы процедурно-ориентированного (структурного-Turbo-pascal) и объектно-ориентированного программирования(Delphi) .

VI. Шестой этап – отладка и тестирование программы.

После составления программы решаем с ее помощью простейшую тестовую задачу (желательно, с заранее известным ответом) с целью устранения грубых ошибок. Это – лишь начало процедуры тестирования, которую трудно описать формально исчерпывающим образом. По существу, тестирование может продолжаться долго и закончиться тогда, когда пользователь по своим профессиональным признакам сочтет программу верной.

VII. Седьмой этап – расчеты на ЭВМ – численный эксперимент.

Затем следует собственно численный эксперимент, и выясняется, соответствует ли модель реальному объекту (процессу). Модель считается адекватной реальному процессу, если некоторые характеристики процесса, полученные на ЭВМ, совпадают с экспериментальными с заданной степенью точности. В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаемся к одному из предыдущих этапов – ранжированию (отбрасываем или вводим в рассмотрение один или несколько исходных параметров) или уточним выбор метода решения.

Классификация математических моделей

К классификации математических моделей можно подходить по-разному, положив в основу классификации различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук, т.е. рассматривать математические модели в:

• физике,

• биологии,

• экологии,

• социологии и т.д.

Эта классификация естественна, если к этому подходит специалист в какой-то одной науке.

Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату , т.е. модели, основанные на применении:

• обыкновенных дифференциальных уравнений,

• дифференциальных уравнений в частных производных,

• стохастических методов,

• дискретных алгебраических преобразований и т.д.

Эта классификация естественна для математика, занимающегося аппаратом математического моделирования.

---

Если же человек интересуется общими закономерностями моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, то он поставит на первое место цели моделирования. Тогда получится следующая классификация:

• дескриптивные (описательные) модели;

• оптимизационные модели;

• многокритериальные модели;

• игровые модели;

• имитационные модели.

Остановимся на этом чуть подробнее и поясним на примерах:

1. Моделируя движение кометы, вторгшейся в Солнечную систему, мы описываем (предсказываем) траекторию ее полета, расстояние, на котором она пройдет от Земли и т. д., т. е. ставим чисто описательные цели. У нас нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то изменить. Дескриптивными будет в нашем курсе:

• модель падения парашютиста,

• модель распространения тепла в стержне,

2. В некоторых случаях мы можем воздействовать на процесс, пытаясь добиться какой-то цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных нашему влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, мы можем стремиться подобрать такой, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т. е. оптимизируем процесс. В нашем курсе мы будем использовать оптимизационные модели при решении экономических задач.

3. Часто приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам сразу, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, организовать питание больших групп людей (в армии, летнем лагере и др.). С одной стороны питание должно быть как можно полезнее, с другой стороны – как можно дешевле. Ясно, что эти цели, вообще говоря, совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет несколько критериев, между которыми надо искать баланс.

4. Игровые модели могут иметь отношение не только к детским играм (в том числе и компьютерным), но и к вещам весьма серьезным. Например, полководец перед сражением в условиях наличия неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и при этом учитывать возможную реакцию противника. При этом используется довольно сложный раздел современной математики – теория игр. Она изучает методы принятия решений в условиях неполной информации.

5. Имитационные модели. Часто бывает, что модель в большой мере подражает реальному процессу, т.е. имитирует его. Например – моделирование движения молекул в газе. Каждая молекула представляется в виде шарика, и задаются условия поведения этих шариков при столкновении друг с другом и со стенками (например, абсолютно упругий удар); при этом не нужно использовать никаких уравнений движения. В данном случае имитационное моделирование применяется для описания свойств большой системы при условии, что поведение составляющих ее объектов очень просто сформулировано. Тогда математическое описание сводится к статистической обработке результатов моделирования. В нашем курсе мы будем рассматривать метод Монте-Карло, основанный на моделировании случайных величин.

---

---

Моделирование физических процессов Физика и моделирование

В физике математическое моделирование является чрезвычайно важным методом исследования. Наряду с традиционным делением физики на экспериментальную и теоретическую сегодня уверенно выделяется третий фундаментальный раздел – вычислительная физика. Причину этого в целом можно сформулировать так: при максимальном проникновении в физику математических методов, порой доходящем до фактического сращивания этих наук, реальные возможности решения возникающих математических задач традиционными методами очень ограниченны. Из многих конкретных причин выделим две наиболее часто встречающихся:

• нелинейность многих физических процессов и отсюда нелинейность описывающих их математических моделей

• необходимость исследования совместного движения многих тел, для которого приходится решать системы большого числа уравнений.

Численное моделирование в физике называют вычислительным экспериментом, поскольку оно имеет много общего с лабораторным экспериментом.

Таблица 1

Аналогии между лабораторным и вычислительным экспериментами

Лабораторный эксперимент	вычислительный эксперимент
Образец Физический прибор Калибровка прибора Измерение Анализ данных	Модель Программа для компьютера Тестирование программы Расчёт Анализ данных

Численное моделирование (как и лабораторные эксперименты) чаще всего является инструментом познания качественных закономерностей природы. Важнейшим его этапом является анализ результатов, представление их в максимально наглядной и удобной для восприятия форме. Получение распечатки чисел еще не означает окончания моделирования (даже если эти числа верны). Важно представить результаты в виде графиков, диаграмм, траекторий движения динамических объектов для получения качественной информации. Здесь необходима помощь компьютера – возможность визуализации абстракций.

---