Вопросы к экзамену по дисциплине

«Теория вероятностей и математическая статистика»

для студентов гр. ПИ-112

1. Алгебра событий

Классификация событий: невозможные, случайные, достоверные, несовместные события, равновозможные. Полная группа событий. Элементарные исходы. Благоприятные исходы. Алгебра событий: сумма, разность и произведение событий.

2. Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности

Вероятность события. Основные свойства вероятности. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты.

3. Комбинаторика

Правило суммы. Основной принцип комбинаторики. Размещения из n элементов по m без повторений и с повторениями. Перестановки из n элементов: без повторений и с повторениями. Сочетание из n элементов по m: без повторений и с повторениями.

4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема о вероятности суммы двух несовместных событий. Теорема о сумме вероятностей событий, образующих полную группу событий. Противоположные события. Независимость событий. Определение условной вероятности. Теорема о вероятности совместного появления двух событий, нескольких событий. Теорема о вероятности суммы двух совместных событий.

5. Формула полной вероятности, формула Байеса

Вероятность появления хотя бы одного из n независимых в совокупности событий. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.

.6. Повторение испытаний

Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

6. Дискретные случайные величины и их характеристики

Определение случайной величины. Классификация случайных величин. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Способы задания закона распределения. Многоугольник распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин.

8. Предельные теоремы и закон больших чисел

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева для дискретных и непрерывных случайных величин. Закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин. Теоремы Чебышева и Бернулли. Центральная предельная теорема для суммы одинаково распределенных случайных величин. Теоремы Лапласа.

---

9. Непрерывные случайные величины и их характеристики

Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства. Вероятность попадания случайной величины в данный интервал. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Свойства числовых характеристик, их вероятностный смысл.

10. Некоторые законы распределения случайных величин

Законы распределения непрерывных случайных величин. Показательный закон, его числовые характеристики и функция распределения. Закон равномерного распределения вероятностей, его числовые характеристики и функция распределения. Нормальный закон распределения. Кривая Гаусса и ее исследование. Влияние параметров нормального распределения на вид кривой Гаусса. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа и ее свойства. Вероятность заданного отклонения. Правило трех сигм. Распределения « квадрат» и Стьюдента.

11. Выборочный метод

Организация случайного отбора: случайная безвозвратная выборка, выборка с возвратом, механическая выборка, способ моментальных наблюдений, типическая (районированная) выборка, серийная (гнездовая) выборка. Погрешности выборочного метода при изучении рынка информационных ресурсов и особенностей его использования.

Понятие генеральной и выборочной (выборка) совокупности. Характеристики выборки: объем, репрезентативность. Табличное представление эмпирических данных: ранжирование, дискретная, интервальная и комбинационная группировка. Графическое изображение эмпирических данных: полигон распределения, гистограмма вариационного ряда, кумулятивная кривая. Эмпирическая функция распределения выборки.

12. Числовые характеристики выборки

Показатели, характеризующие количественную вариацию признака: размах выборки, среднее линейное отклонение, генеральная и выборочная дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент ассиметрии. Основные свойства показателей вариации.

Структурные меры центральной тенденции: мода, антимода, медиана. Суммарные меры центральной тенденции: средняя арифметическая (выборочная средняя), средняя гармоническая, средняя геометрическая. Выбор и использование мер центральной тенденции при анализе информационных ресурсов.

---

13. Статистические оценки параметров распределения

Точечные оценки параметров и их свойства: несмещенность, эффективность, состоятельность. Методы нахождения точечных оценок: моментов (Пирсона), максимального правдоподобия, наименьших квадратов. Интервальное оценивание параметров. Доверительная вероятность (надежность). Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии. Доверительный интервал для среднего квадратичного отклонения нормального распределения.

14. Элементы теории корреляции

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Уравнения регрессии. Основные задачи теории корреляции. Линейная регрессия и ее параметры. Отыскание параметров методом наименьших квадратов. Теснота связи и ее оценка по коэффициенту корреляция. Линейная, криволинейная (нелинейная), ранговая, множественная корреляция.

15. Статистические гипотезы

Понятие гипотезы. Основная и конкурирующая гипотезы. Простые и сложные гипотезы. Статистический критерий. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости. Мощность критерия. Схема статистической проверки гипотезы. Критерии согласия. Выбор вида и оценка параметров эмпирического закона распределения.

16. Дисперсионный, корреляционный и регрессионный анализ

Основные понятия дисперсионного анализа. Модели: случайная, детерминированная, смешанная. Формула разложения дисперсии. Однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ. Понятие о трехфакторном анализе.

Предпосылки корреляционного анализа. Модель корреляционного анализа. Двумерная модель и точечная оценка ее параметров. Проверка значимости и интервальные оценки коэффициентов связи. Трехмерная модель. Точечная оценка частных и множественных коэффициентов корреляции и детерминации. Проверка их значимости и интервальная оценка для значимых коэффициентов. Статистическая интерпретация коэффициентов связи.

Предпосылки регрессионного анализа. Модель регрессионного анализа. Оценка генеральных коэффициентов регрессии методом наименьших квадратов. Оценка дисперсии выборочных коэффициентов уравнения регрессии. Уравнение регрессии для двумерного нормального закона распределения.

---

Проверка значимости уравнения регрессии и отдельных коэффициентов уравнения. Интервальные оценки коэффициентов регрессии и зависимой переменной. Прогнозирование с помощью регрессионной модели. Понятие о нелинейной регрессии. Требования к исходным данным.

17. Моделирование случайных величин

Сущность метода Монте-Карло. Оценка погрешности метода Монте-Карло. Разыгрывание дискретной случайной величины, противоположных событий, полной группы событий, непрерывных случайных величин. Метод обратных функций, суперпозиций. Приближённое разыгрывание нормальной случайной величины. Комплексные случайные величины и их характеристики.

18. Случайные функции

Основные понятия. Характеристика случайных функций. Корреляционная функция случайной функции. Характеристики суммы случайных функций, производной и интеграла от случайной функции. Комплексные случайные функции и их характеристики.

Список литературы

1. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель. – М.: Высшая школа, 2006. – 575 с.

2. Вентцель,  Е.  С. Задачи и уп­ражнения по теории вероятностей [Текст] / Е.С. Вентцель, Л. А.Овчаров - М.: Академия, 2005. - 448 с.

3. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике [Текст] / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2000. - 400 с.

4. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2007. - 480 с.

5. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / Н.Ш. Кремер - М: ЮНИТИ, 2002. – 543 с.

---

Смотрите также файлы

• Глава 3.Математическая статистика(практика по ТВиМС).doc

• Глава 1.Случайные события(практика по ТВиМС).doc

• Лекция_3.5.Статистические гипотезы.doc

• Лекция_3.4.Элементы теории корреляции.doc

• Лекция_3.3.Статистические оценки параметров распределения.doc