Файл: Е.Е. Дадонова Решение уравнений средствами Excel.pdf

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра вычислительной техники и информационных технологий

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СРЕДСТВАМИ EXCEL

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Информатика» для студентов специальностей

230500 «Социально–культурный сервис и туризм»,

061000 «Государственное и муниципальное управление»

Составители Е.Е. Дадонова А.Г. Пимонов М.А. Тынкевич

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 9 от 8 апреля 2002 г.

Рекомендованы к печати учебно–методической комиссией специальности 230500 Протокол № 4 от 12 апреля 2002 г.

Электронная копия хранится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

КЕМЕРОВО 2002

1

1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Часто в классической математике многое выглядит элементарно. Так, если нужно найти экстремум некоторой функции, то предлагается взять ее производную, приравнять нулю, решить полученное уравнение и т.д. Вне сомнения, что первые два действия в состоянии выполнить многие школьники и студенты. Что касается третьего действия, то позвольте усомниться в его элементарности.

Пусть после взятия производной мы пришли к уравнению tg(x)=1/x. Проведем следующие преобразования:

tg(x)=1/x x tg(x)=1 x2 tg=1 x2= 1 / tg(x) x = ±

Если в приведённой здесь цепочке преобразований ничто не взволновало вашу мысль, то может быть лучше обучение на этом прекратить и заняться чем-нибудь другим, не требующим уровня знаний выше церковноприходской школы начала XX века.

Всамом деле, мы прекрасно решаем квадратные и биквадратные уравнения, наипростейшие тригонометрические и степенные. Еще водятся «мастодонты», знающие о существовании формул Кардано для кубических уравнений. В общем же случае надежд на простое аналитическое решение нет. Более того, доказано, что даже алгебраическое уравнение выше четвертой степени неразрешимо в элементарных функциях. Поэтому решение уравнения проводят численно в два этапа (здесь разговор идет лишь о вещественных корнях уравнения). На первом этапе производится отделение корней – поиск интервалов, в которых содержится только по одному корню. Второй этап решения связан с уточнением корня в выбранном интервале (определением значения корня с заданной точностью).

1.1.Отделение корней

Вобщем случае отделение корней уравнения f(x)=0 базируется на известной теореме, утверждающей, что если непрерывная функция f(x) на кон-

2

цах отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, т.е. f(a)×f(b)≤0, то в указанном промежутке содержится хотя бы один корень. Например, для уравнения f(x)= x3-6x+2=0 видим, что при x→∞ f(x)>0, при x→ -∞ f(x)<0, что уже сви-

детельствует о наличии хотя бы одного корня.

В общем случае выбирают некоторый диапазон, где могут обнаружиться корни, и осуществляют «прогулку» по этому диапазону с выбранным шагом h для обнаружения перемены знаков f(x), т.е. f(x)×f(x+h)<0.

При последующем уточнении корня на обнаруженном интервале не надейтесь никогда найти точное значение и добиться обращения функции в нуль при использовании калькулятора или компьютера, где сами числа представлены ограниченным числом знаков. Здесь критерием может слу-

жить приемлемая абсолютная или относительная погрешность корня. Если корень близок к нулю, то лишь относительная погрешность даст необходимое число значащих цифр. Если же он весьма велик по абсолютной величине, то критерий абсолютной погрешности часто дает совершенно излишние верные цифры. Для функций, быстро изменяющихся в окрестности корня,

может быть привлечен и критерий: абсолютная величина значения функции

не превышает заданной допустимой погрешности.

3

отрезка [a,b] имеет значения разных знаков, т.е. f(a)×f(b) ≤ 0 (рис. 1), тогда на отрезке имеется хотя бы один корень.

Возьмем середину отрезка с=(a+b)/2. Если f(a)×f(с)≤ 0, то корень явно принадлежит отрезку от a до (a+b)/2 и в противном случае от (a+b)/2 до b.

Рис. 2. Блок-схема метода половинного деления

Поэтому берем подходящий из этих отрезков, вычисляем значение функции в его середине и т.д. до тех пор, пока длина очередного отрезка не окажется меньше заданной предельной абсолютной погрешности (b-a)<ε.

Так как каждое очередное вычисление середины отрезка c и значения функции f(c) сужает интервал поиска вдвое, то при исходном отрезке [a,b] и предельной погрешности ε количество вычислений n определяется условием (b-a)/2n<ε, или n~log2((b-a)/ε). Например, при исходном единичном ин-

тервале и точности порядка 6 знаков (ε 10 -6) после десятичной точки достаточно провести 20 вычислений (итераций) значений функции.

С точки зрения машинной реализации (рис. 2) этот метод наиболее прост и используется во многих стандартных программных средствах, хотя существуют и другие более эффективные по затратам времени методы.

4

1.3.Уточнение корней методом хорд

Вотличие от метода дихотомии, обращающего внимание лишь на знаки значений функции, но не на сами значения, метод хорд использует пропорциональное деление интервала (рис. 3).

1.4. Уточнение корней методом касательных (Ньютона)

Обширную группу методов уточнения корня представляют итерационные методы – методы последовательных приближений. Здесь в отличие от метода дихотомии задается не начальный интервал местонахождения корня, а его начальное приближение.

жений лишь при выполнении некоторых условий (например при непрерывности и знакопостоянстве первой и второй производной функции в окрестности корня) и при их нарушении либо дает расходящийся процесс (рис. 5), либо приводит к другому корню (рис. 6).

Очевидно, что для функций, производная от которых в окрестности корня близка к нулю, использовать метод Ньютона едва ли разумно.

Если производная функции мало изменяется в окрестности корня, то можно использовать видоизменение метода