Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 862

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

8.5. теыеойс

 

 

209

ÒÁÚ.

 

 

 

k + q

 

k + q

 

a:

 

b:

 

k

 

 

 

q

q

k

k

 

 

k − q

 

k − k + q

q

 

 

 

k

 

k − q

 

òÉÓ. 8.10

 

 

 

йНРХМШУЩ ОБ ТЙУ. 8.10 ŒЩВТБОЩ ФБЛЙН ПВТБЪПН, ЮФПВЩ ВЩМП ХДПВОП ПВ ЕДЙОЙФШ

ŒЛМБДЩ a Й b. уХННЙТПŒБОЙЕ РП " Й " ŒЩРПМОСЕФУС У РПНПЭША ФПЦДЕУФŒБ (7.85). œ

ТЕЪХМШФБФЕ РТЙИПДЙН Л ФБЛПНХ ŒЩТБЦЕОЙА ДМС ´˙(a)+(b):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ËÏÒ

 

 

 

 

 

 

 

´˙(a)+(b) =

T

!

 

nF (‰k) − nF (‰k+q)

·

nF (‰k ) − nF (‰k −q)

×

ËÏÒ

2

i!

−

‰k + ‰k+q

i!

−

‰k

−

‰k

−

q

 

 

 

 

 

 

d3k d3k d3q

−

 

 

 

 

× 2Vq2

− Vq Vk−k +q

;

 

 

 

 

 

 

(8.105)

(2ı)9

 

 

 

 

 

 

 

ЗДЕ РЕТŒЩК ЮМЕО Œ УЛПВЛБИ УППФŒЕФУФŒХЕФ ДЙБЗТБННЕ a), Б ŒФПТПК | ДЙБЗТБННЕ b). оБУ ЙОФЕТЕУХЕФ УМХЮБК ОХМЕŒПК ФЕНРЕТБФХТЩ. рПЬФПНХ ЪБНЕОЙН УХННЙТПŒБОЙЕ РП ! ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕН. рТЙ ЬФПН

 

 

∞

 

 

 

 

 

 

 

= „(‰ ) − „(−‰) :

 

 

 

 

 

 

 

 

2ı(i!

 

d!

 

 

‰ )

 

 

 

 

(8.106)

 

 

−

‰)( i!

 

‰ + ‰

 

 

 

 

 

рПМХЮБЕН

−∞

 

 

−

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

´˙ËÏÒ(a)+(b) =

1

nF (‰k) − nF (‰k+q)

nF (‰k ) − nF (‰k −q) ×

 

 

 

2

 

 

 

 

„(‰k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k−k +q

3

3

3

 

 

×

 

‰k −q)

 

„(‰k+q − ‰k)

2V 2

−

V

q

V

d

k d

k d

q

: (8.107)

‰k−

‰k+q +−‰k

−

‰k

−q

 

q

 

 

 

(2ı)9

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рТПБОБМЙЪЙТХЕН ПВМБУФШ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС Œ (8.107). пДОБ ЙЪ ДŒХИ „-ЖХОЛГЙК Œ ЬФПН ŒЩТБЦЕОЙЙ ДПМЦОБ ВЩФШ ТБŒОБ 1, Б ДТХЗБС | 0. рХУФШ ПФ ОХМС ПФМЙЮОБ РЕТŒБС „-

ЖХОЛГЙС. фПЗДБ, РПУЛПМШЛХ Œ (8.107) ŒИПДЙФ ФБЛЦЕ НОПЦЙФЕМШ nF (‰k ) − nF (‰k −q), ÔÏ |k | > p0, Á |k − q| < p0. бОБМПЗЙЮОП РПМХЮБЕН |k| < p0, |k + q| > p0. еУМЙ ЦЕ ПФ ОХМС ПФМЙЮОБ ДТХЗБС „-ЖХОЛГЙС, ФП ПФŒЕФ РПМХЮБЕФУС ЪБНЕОПК k → k , q → −q. рПУЛПМШЛХ ŒЩТБЦЕОЙЕ УЙННЕФТЙЮОП ПФОПУЙФЕМШОП ЬФПК ЪБНЕОЩ, ДПУФБФПЮОП РТПУФП

ХДŒПЙФШ ПФŒЕФ. рПЬФПНХ

=

(‰k − ‰k+q + ‰k − ‰k −q)

(2ı)9

(8.108)

´˙ËÏÒ

(a)+(b)

 

(2Vq2 − Vq Vk−k +q)

d3k d3k d3q

 

210 змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй

(ЙОФЕЗТБМ ВЕТЕФУС РП ПВМБУФЙ k Rq , k −q Rq ). ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ УПŒРБДБЕФ У (8.33). пФНЕФЙН, ЮФП ЖПТНХМХ (8.33) НПЦОП РПМХЮЙФШ Й ВЕЪ ДЙБЗТБНН, ŒЩЮЙУМСС ЬОЕТЗЙА ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС ЖЕТНЙ-УЙУФЕНЩ РП ПВЩЮОПК ЛŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛПК ФЕПТЙЙ

ŒПЪНХЭЕОЙК ДП ЮМЕОПŒ ŒФПТПЗП РПТСДЛБ (УН. [6], § 6).

фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН РПŒЕДЕОЙЕ РПДЙОФЕЗТБМШОПЗП ŒЩТБЦЕОЙС Œ (8.108) РТЙ q → 0. пВМБУФЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП k Й k РТЕДУФБŒМСАФ УПВПК Œ ЬФПН УМХЮБЕ УМПЙ ФПМЭЙОЩ РПТСДЛБ q ОБ РПŒЕТИОПУФЙ ЖЕТНЙ-УЖЕТЩ (УН. ТЙУ. 8.1). у ДТХЗПК УФПТПОЩ, ЪОБНЕОБФЕМШ РТЙ ЬФПН ПЛБЪЩŒБЕФУС РПТСДЛБ qvF . рПЬФПНХ РЕТŒЩК ЮМЕО ПЛБЪЩŒБЕФУС РПТСДЛБ q−3, Б ŒФПТПК | РПТСДЛБ q−1. œ ТЕЪХМШФБФЕ ПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП q РЕТŒЩК ЮМЕО ДБЕФ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛХА ТБУИПДЙНПУФШ ОБ НБМЩИ q, Б ŒФПТПК ПУФБЕФУС ЛПОЕЮЕО.

юФПВЩ РПОСФШ РТЙЮЙОХ ОБКДЕООПК ТБУИПДЙНПУФЙ, ТБУУНПФТЙН ЖЙЪЙЮЕУЛЙК УНЩУМ ДЙБЗТБНН ОБ ТЙУ. 8.7. рПМСТЙЪБГЙПООЩЕ РЕФМЙ ОБ ДЙБЗТБННЕ Б | ЬФП ЛПТТЕМСФПТ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ. рПЬФПНХ ЬФБ ДЙБЗТБННБ ПРЙУЩŒБЕФ ŒЛМБД ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЖМХЛФХБГЙК РМПФОПУФЙ Œ ЬОЕТЗЙА УЙУФЕНЩ. еЕ ТБУИПДЙНПУФШ РТЙ q = 0 ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ПУОПŒОПК ŒЛМБД ДБАФ ЖМХЛФХБГЙЙ РМПФОПУФЙ Œ ДБМЕЛЙИ ФПЮЛБИ. оП РПДУЮЙФЩŒБФШ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЖМХЛФХБГЙК Œ ФПЮЛБИ, ТБУРПМПЦЕООЩИ ОБ ТБУУФПСОЙЙ, ВПМШЫЕН ТБДЙХУБ ЬЛТБОЙТПŒБОЙС, ЙУРПМШЪХС ОЕЪБЬЛТБОЙТПŒБООЩК РПФЕОГЙБМ 1=r (ЛБЛ ЬФП Й РТПЙУИПДЙФ Œ (8.108)), УПŒЕТЫЕООП ОЕРТБŒЙМШОП. нПЦОП ПЦЙДБФШ, ЮФП РТЙ РТБŒЙМШОПН ХЮЕФЕ ЬЛТБОЙТПŒБОЙС МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС ТБУИПДЙНПУФШ ПВТЕЦЕФУС ОБ ПВТБФОПН ТБДЙХУЕ ЬЛТБОЙТПŒБОЙС, q ≈ κ.

юФП ЦЕ ЛБУБЕФУС ДЙБЗТБННЩ В, ПОБ ПРЙУЩŒБЕФ ПВНЕООЩК ЬЖЖЕЛФ ŒФПТПЗП РПТСДЛБ. лБЛ Й ŒУЕ ПВНЕООЩЕ ЬЖЖЕЛФЩ, ЬФПФ ŒЛМБД Œ ЬОЕТЗЙА ПРТЕДЕМСЕФУС ТБУУФПСОЙСНЙ РПТСДЛБ ЖЕТНЙЕŒУЛПК ДМЙОЩ ŒПМОЩ 1=p0, Й РПФПНХ Œ ОЕН ОЕ ŒПЪОЙЛБЕФ ТБУИПДЙНПУФЙ ОБ НБМЩИ q.

тЕЫЕОЙЕ 49 Б. тБУИПДЙНПУФШ Œ ДЙБЗТБННЕ a ОБ ТЙУ. 8.7, ОБКДЕООБС Œ ЪБДБЮЕ 48, | УЕТШЕЪОБС ОЕРТЙСФОПУФШ. œ ТБНЛБИ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК ПВТЕЪБФШ ЬФХ ТБУИПДЙНПУФШ ОЕЗДЕ, Й РПЬФПНХ ŒПЪОЙЛБЕФ ОЕПВИПДЙНПУФШ УХННЙТПŒБФШ ДЙБЗТБННЩ ŒЩУЫЙИ РПТСДЛПŒ. у ЖЙЪЙЮЕУЛПК ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС, ФТЕВХЕФУС ŒУЕЗП МЙЫШ ЛПТТЕЛФОП ХЮЕУФШ ЬЛТБОЙТПŒБОЙЕ (УН. ТЕЫЕОЙЕ ЪБДБЮЙ 48 В). ьФП ДПУФЙЗБЕФУС УХННЙТПŒБОЙЕН ĂРХЪЩТШЛПŒЩИĄ ДЙБЗТБНН, РПЛБЪБООЩИ ОБ ТЙУ. 8.8.

пГЕОЙН ЬФЙ ДЙБЗТБННЩ РП РПТСДЛХ ŒЕМЙЮЙОЩ. рТПЙЪŒЕДЕОЙЕ n ŒПМОЙУФЩИ МЙОЙК ЪБŒЙУЙФ ПФ РЕТЕДБŒБЕНПЗП ЙНРХМШУБ q ЛБЛ q−2n Й ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ РЕТЕДБŒБЕНПК ЮБУФПФЩ ! (q Й ! ПДЙОБЛПŒЩ ДМС ŒУЕИ МЙОЙК). рПМСТЙЪБГЙПООБС РЕФМС ˝(i!; q) ≈ ÐÒÉ ! qvF É ÕÂÙŒÁÅÔ ÐÒÉ ! > qvF . йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП 0 < ! qvF ÄÁÅÔ qvF , Й Œ ТЕЪХМШФБФЕ ДЙБЗТБННБ n−ЗП РПТСДЛБ ТБУИПДЙФУС РТЙ НБМЩИ q ЛБЛ 0p0 (q2=q2n−1)dq. юЕН ŒЩЫЕ n, ФЕН УЙОЗХМСТОЕК ДЙБЗТБННБ. рТЙ n = 2 ТБУИПДЙНПУФШ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС, Œ УППФŒЕФУФŒЙЙ У ТЕЫЕОЙЕН ЪБДБЮЙ 48 В. йЪ УДЕМБООПК ПГЕОЛЙ ŒЙДОП, ЮФП ЛПМШГЕŒЩЕ ДЙБЗТБННЩ, ЙЪПВТБЦЕООЩЕ ОБ ТЙУ. 8.8, ПВЕУРЕЮЙŒБАФ НБЛУЙНБМШОХА ТБУИПДЙНПУФШ Œ ЛБЦДПН РПТСДЛЕ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК. хЦЕ УБНП РП УЕВЕ, Й ВЕЪ БРРЕМСГЙК Л ЖЙЪЙЛЕ ЬЛТБОЙТПŒБОЙС, ЬФП ДБЕФ ДПУФБФПЮОЩЕ ПУОПŒБОЙС ДМС ТБУУНПФТЕОЙС ТСДБ ОБ ТЙУ. 8.8.

рТПУХННЙТХЕН РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФШ ЛПМШГЕŒЩИ ДЙБЗТБНН. дМС ЬФПЗП, ЛБЛ ПВЩЮОП, РТПДЙЖЖЕТЕОГЙТХЕН ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ РП ЛПОУФБОФЕ УŒСЪЙ e2. üÔÏ

8.5. теыеойс

211

ХУФТБОСЕФ НОПЦЙФЕМЙ 1=n РЕТЕД ДЙБЗТБННБНЙ, РПУМЕ ЮЕЗП ТСД УХННЙТХЕФУС, ЛБЛ ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛБС РТПЗТЕУУЙС. œЩТБЦЕОЙЕ, ЛПФПТПЕ РТЙ ЬФПН РПМХЮБЕФУС, ЕУФШ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ˝(i!; q) Й ЪБЬЛТБОЙТПŒБООПЗП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Vi!;q, ЙЪ ЛПФПТПЗП ŒЩЮФЕОП ЪБФТБŒПЮОПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ Vq (РПФПНХ ЮФП ТСД ОБЮЙОБЕФУС У n = 2). фБЛЙН ПВТБЪПН,

e2

@

 

1

 

 

 

˝(i!; q)

 

 

d3q

 

 

@e2

˙ËÏÒ = −

2

T

!

Vi!;q − Vq

 

(2ı)3

:

(8.109)

уПЗМБУОП ЪБДБЮЕ 44, ЪБЬЛТБОЙТПŒБООПЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ЕУФШ (8.42). юФП ЛБУБЕФУС РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕТБФПТБ ˝(i!; q), ФП БОБМЙФЙЮЕУЛПЕ РТПДПМЦЕОЙЕ ЖПТНХМЩ (8.47)

ÄÁÅÔ

 

 

:

 

!

 

qv

 

˝(i!; q) = − 1 − qvF

arctg

!F

(8.110)

ъБНЕОСС РТЙ T = 0 УХННЙТПŒБОЙЕ РП ! ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕН, Й РПДУФБŒМСС Vi!;q ÉÚ (8.42), ÐÒÉŒÏÄÉÍ (8.109) Ë ŒÉÄÕ

 

@

 

 

 

1

 

˝2(i!; q) Vq2

d! d3q

 

 

 

 

 

e2 @e2 ˙ËÏÒ = −2

1 − ˝(i!; q) Vq (2ı)4

:

 

 

(8.111)

хДПВОП ŒŒЕУФЙ s = !=qvF Й ПВПЪОБЮЙФШ ˝(i!; q) = − P (s). рПМХЮБЕН

 

 

@

 

 

∞

(4ıe2)2 2 P 2(s) qvF ds 4ı q2 dq

 

 

 

e2 @e2 ˙ËÏÒ = −

q2(q2 + κ2P (s))

2ı

(2ı)3

=

 

 

 

 

 

0

∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

κ4vF

∞

 

P 2(s)

 

 

 

 

 

 

 

4ı3

 

 

q2 + κ2P (s) ds qdq ;

 

 

 

 

(8.112)

 

 

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

ÇÄÅ κ2 = 4ıe2 . йОФЕЗТЙТХЕН РП q, ПВТЕЪБС ЙОФЕЗТБМ УŒЕТИХ ОБ p0:

 

 

@

κ4vF

∞

 

p02

 

 

κ4vF

p0

∞

 

 

 

e2 @e2

˙ËÏÒ = − 8ı3

 

ln κ2 P (s) P 2(s)ds ≈ − 4ı3 ln

κ

 

P 2(s) ds

(8.113)

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

(РПУМЕДОЙК

ÛÁÇ ŒÅÒÅÎ

Ó

МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛПК ФПЮОПУФША,

РПУЛПМШЛХ

p02=κ2 =

(ı=4)hv— F =e2 1). йОФЕЗТБМ

 

J = ∞P 2(s) ds

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(8.114)

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

ХДПВОП ŒЩЮЙУМЙФШ У РПНПЭША УМЕДХАЭЕЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС P (s), ЛПФПТПЕ УМЕДХЕФ ЙЪ ПРТЕДЕМЕОЙС РПМСТЙЪБГЙПООПЗП ПРЕТБФПТБ:

1

x2

 

P (s) =

 

s2 + x2 dx = 1 − s arctg(1=s) :

(8.115)

0

212

 

 

 

 

 

 

 

змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй

йОФЕЗТЙТХЕН:

 

(s2 + x2) (s2 + y2) dx dy ds = ı

 

x + y dx dy =

 

J =

 

 

∞

1

1

 

x2 y2

 

 

 

 

 

1

1

xy

 

 

0

0

 

0

2

 

 

 

−

x

 

0

0

3

 

 

 

 

 

 

= ı

1

 

 

 

x ln x + 1

= ı(1 − ln 2) :

 

 

 

 

 

 

x dx

 

1

 

(8.116)

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

хЮЙФЩŒБС УППФОПЫЕОЙЕ κ2 = 4ıe2 Й ЙОФЕЗТЙТХС РП e2, РПМХЮБЕН ПЛПОЮБФЕМШОЩК ПФŒЕФ:

˙

=

−

1 − ln 2

κ4 v

F

ln p0

(8.117)

ËÏÒ

 

24ı2

 

κ

 

фБЛЙН ПВТБЪПН, РТПУХННЙТПŒБŒ ЛПМШГЕŒЩЕ ДЙБЗТБННЩ, НЩ ДЕКУФŒЙФЕМШОП РПМХЮЙМЙ ЛПОЕЮОХА ЛПТТЕМСГЙПООХА ЬОЕТЗЙА. рТЙ ЬФПН МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС ТБУИПДЙНПУФШ, ОБКДЕООБС ŒП ŒФПТПН РПТСДЛЕ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК, БŒФПНБФЙЮЕУЛЙ ПВТЕЪБМБУШ ОБ ПВТБФОПН ТБДЙХУЕ ЬЛТБОЙТПŒБОЙС, q ≈ κ.

тЕЫЕОЙЕ 49 В. оБКДЕН ЬОЕТЗЙА ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, РТЕДУФБŒЙŒ ЕЕ ЛБЛ ЬОЕТЗЙА ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК ПУГЙММСФПТПŒ ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩИ РБТ. œПУРПМШЪХЕНУС ЖПТНХМПК

∞

 

!2 + !12 d!

 

!1

−

!2

 

 

 

ln

!2 + !22 4ı

=

2

2

;

(8.118)

−∞

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛПФПТХА ОЕФТХДОП РТПŒЕТЙФШ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕН РП ЮБУФСН. рТЙНЕОЙН ЕЕ Л ПРЕТБФПТБН

A =

k

!p2

;k’p+;k’p;k ; B = 2

 

Vk

k

!p1=;k2’p+;k

 

!p1=;2k’p;k ; (8.119)

k;

 

 

 

 

k

 

 

 

k

 

 

 

 

 

p R

 

 

 

p R

p

R

 

УХННБ ЛПФПТЩИ ЕУФШ ХДŒПЕОООБС ĂРПФЕОГЙБМШОБС ЬОЕТЗЙСĄ ПУГЙММСФПТПŒ, ПРЙУЩŒБЕНЩИ ЗБНЙМШФПОЙБОПН H0 + Hint (УН. (8.23) Й (8.24). рПМХЮБЕН

´E = Tr ∞ ln

!2

+ A

−∞

 

 

 

тБЪМПЦЙН ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ ТСД:

 

 

´E =

∞

(−1)n−1

0

 

 

n

!> n=1

 

 

œЩЮЙУМСС УМЕД, ОБИПДЙН

+ B !2

+ A −

1

d!

:

(8.120)

 

 

4ı

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n :

 

(8.121)

Tr B(!2

+ A)−1

 

´E =

∞

(−1)n−1

 

Vk

k

24!p;k2

n =

(8.122)

 

∞

 

 

! + !p;k

 

d! d3k

!>0 n=1

1)n 1

 

n

 

k

 

p R

 

ln (1 − Vk˝(!; k)) 2(2ı)4 :

= !>0

k

n=1 (− n −

(−Vk˝(!; k))n =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы