Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 860

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

8.5. теыеойс

213

юФПВЩ ХУФБОПŒЙФШ УППФŒЕФУФŒЙЕ У ŒЩЮЙУМЕОЙЕН ПВНЕООПК Й ЛПТТЕМСГЙПООПК ЬОЕТЗЙК Œ ЪБДБЮБИ 48 Й 49 Б, ЪБНЕФЙН УМЕДХАЭЕЕ. рЕТŒЩК ЮМЕО ЖПТНБМШОПЗП ТБЪМПЦЕОЙС МПЗБТЙЖНБ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (8.122) Œ ТСД РП УФЕРЕОСН Vk ДБЕФ ОЕ ЮФП ЙОПЕ, ЛБЛ ПВНЕООХА ЬОЕТЗЙА, ŒЩЮЙУМЕООХА Œ ЪБДБЮЕ 48 Б. œ ЬФПФ РЕТŒЩК ЮМЕО Vk ŒИПДЙФ Œ РЕТŒПК УФЕРЕОЙ, ЮФП ДБЕФ УИПДСЭЙКУС РТЙ НБМЩИ k ЙОФЕЗТБМ. оЕФТХДОП ХВЕДЙФШУС, ЮФП ЕУМЙ ŒЩЮЕУФШ ЙЪ (8.122) ПВНЕООХА ЬОЕТЗЙА (Œ УЙМХ УИПДЙНПУФЙ ЙОФЕЗТБМБ, ФБЛПЕ ŒЩЮЙФБОЙЕ | ЛПТТЕЛФОБС РТПГЕДХТБ), ФП РПМХЮЙŒЫЕЕУС ŒЩТБЦЕОЙЕ РТЙ ДЙЖЖЕТЕОГЙТПŒБОЙЙ РП e2 ДБЕФ ŒЩТБЦЕОЙЕ (8.111), ПРТЕДЕМСАЭЕЕ ЛПТТЕМСГЙПООХА ЬОЕТЗЙА. рПЬФПНХ ŒЩТБЦЕОЙЕ (8.122) ЕУФШ УХННБ ПВНЕООПК Й ЛПТТЕМСГЙПООПК ЬОЕТЗЙК.

тЕЪХМШФБФ (8.122), ŒЩŒЕДЕООЩК РТЙ T = 0, ОЕФТХДОП ПВПВЭЙФШ ОБ УМХЮБК ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЩ. ьФП ДЕМБЕФУС РП БОБМПЗЙЙ У ЪБДБЮЕК 35, ЗДЕ ВЩМБ РПМХЮЕОБ УŒСЪШ НЕЦДХ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙН РПФЕОГЙБМПН Й ЖХОЛГЙЕК зТЙОБ ЖЕТНЙ-ЮБУФЙГ. œ ТЕЪХМШ-

ФБФЕ РПМХЮБЕФУС ŒЩТБЦЕОЙЕ, РПДПВОПЕ (8.122), Œ ЛПФПТПН ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ

: : : d!=

 

ı

ЪБНЕОЕОП УХННЙТПŒБОЙЕН T n : : : ÐÏ !n = 2ınT .

 

2

 

тЕЫЕОЙЕ 49 Œ. тБУУНПФТЙН ЛПТТЕМСГЙПООХА ЬОЕТЗЙА ОЕŒЩТПЦДЕООПК РМБЪНЩ.

 

 

 

 

 

 

 

 

нПЦОП ŒПУРПМШЪПŒБФШУС ЖПТНХМПК (8.109), ПУФБŒМСС Œ ОЕК МЙЫШ ЮМЕО У ! = 0:

 

 

@

 

T

V 2 ˝2(q)!=0

d3q

:

(8.123)

e2 @e2

˙ËÏÒ = − 2

1 q Vq˝(q)!=0 (2ı)3

 

 

 

 

−

 

 

 

œЕМЙЮЙОБ ˝(q)!=0 РТЙ НБМПН |q| p0 ÅÓÔØ

 

 

 

˝(q → 0)!=0 =

nF (‰p)

nF (‰p+q) 2 d3p

@nF (‰p) 2 d3p

(8.124)

 

‰p

− ‰p+q

(2ı)3 ≈

@‰p

(2ı)3

 

 

 

−

 

 

 

 

(НЩ ЙУРПМШЪПŒБМЙ ФПЦДЕУФŒП (7.85)). рПУЛПМШЛХ ОБУ ЙОФЕТЕУХАФ ВПМШЫЙЕ ФЕНРЕТБФХТЩ (T EF ), НПЦОП ЪБНЕОЙФШ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ жЕТНЙ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕН вПМШГНБОБ, ДМС ЛПФПТПЗП @nB (‰)=@‰ = −nB (‰)=T . рПЬФПНХ

 

˝!=0(q → 0) = −n=T ;

(8.125)

ЗДЕ n | РМПФОПУФШ ЮБУФЙГ. пФУАДБ

 

 

Vq =

Vq

4ıe2

 

1 − Vq ˝(q → 0)!=0

= q2 + κ2 ;

(8.126)

ÇÄÅ κ2 = 4ıe2n=T | ЛМБУУЙЮЕУЛЙК ДЕВБЕŒУЛЙК ТБДЙХУ ЬЛТБОЙТПŒБОЙС. œ ТЕЪХМШФБФЕ

e2

@

˙ËÏÒ = −

T

 

κ4

 

T κ3

d3q

:

 

@e2

2

q2 (q2 + κ2) = −

8ı

(2ı)3

(8.127)

йОФЕЗТЙТХС РП e2, РПМХЮБЕН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

˙ËÏÒ = −T κ3

=(12ı) ;

 

 

 

(8.128)

ЮФП УПŒРБДБЕФ У ТЕЪХМШФБФПН, ЙЪŒЕУФОЩН ДМС ЛМБУУЙЮЕУЛПК РМБЪНЩ (УН. [5] § 78). пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ОЕБОБМЙФЙЮЕУЛХА ЪБŒЙУЙНПУФШ ŒЩТБЦЕОЙК (8.117) Й (8.128)

ÏÔ e2. рТЙ T = 0 ЛПТТЕМСГЙПООБС ЬОЕТЗЙС РТПРПТГЙПОБМШОБ e4 ln e2, Á ÐÒÉ T EF ŒЩТБЦЕОЙЕ (8.128) ДБЕФ ˙ËÏÒ e3. œ ТЕЪХМШФБФЕ ЖПТНБМШОПЕ ТБЪМПЦЕОЙЕ ˙ËÏÒ РП ГЕМЩН УФЕРЕОСН e2 ПЛБЪЩŒБЕФУС ОЕŒПЪНПЦОЩН. ьФБ ОЕБОБМЙФЙЮОПУФШ Й ЕУФШ ЖПТНБМШОБС РТЙЮЙОБ ФПЗП, ЮФП Œ ТСДХ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК РТЙУХФУФŒХАФ ТБУИПДСЭЙЕУС ЮМЕОЩ.

214

змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй

8.6.ьОЕТЗЙС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС Œ НЕФБММЕ. œЙЗОЕТПŒУЛЙК ЛТЙУФБММ

тБУУНПФТЙН ЬОЕТЗЙА ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС ЬМЕЛФТПОПŒ Œ НЕФБММЕ, ЙУРПМШЪХС НПДЕМШ ЦЕМЕ. œ РТЕДЕМЕ ŒЩУПЛПК РМПФОПУФЙ ЬМЕЛФТПОПŒ n УЙУФЕНБ ВХДЕФ РПЮФЙ ЙДЕБМШОЩН ЖЕТНЙ-ЗБЪПН У ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФОЩНЙ РПРТБŒЛБНЙ, НБМЩНЙ РП РБТБНЕФТХ e2=hv— F 1 оБЙВПМЕЕ УХЭЕУФŒЕООПК ЬОЕТЗЙЕК Œ ЬФПН УМХЮБЕ ВХДЕФ ЛЙОЕФЙЮЕУЛБС ЬОЕТЗЙС, ŒЕМЙЮЙОБ ЛПФПТПК РПТСДЛБ p20=2m ОБ ЮБУФЙГХ. ьФП ДБЕФ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛЙК РПФЕОГЙБМ ОБ ЕДЙОЙГХ РМПЭБДЙ ˙ËÉÎ n5=3.

рПРТБŒЛЙ РЕТŒПЗП РПТСДЛБ РП НЕЦЬМЕЛФТПООПНХ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА ВЩМЙ ОБКДЕОЩ Œ ЪБДБЮЕ 48 Б. ьОЕТЗЙС иБТФТЙ Œ НПДЕМЙ ЦЕМЕ ТБŒОБ ОХМА ЙЪ-ЪБ ЛПНРЕОУБГЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ЬМЕЛФТПОПŒ У РПМПЦЙФЕМШОЩН ЖПОПН. пВНЕООБС ЦЕ ЬОЕТЗЙС ˙ÏÂÍ ПФМЙЮОБ ПФ ОХМС Й ПФТЙГБФЕМШОБ. лБЛ ОЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, УХННБ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК Й ПВНЕООПК ЬОЕТ-

ÇÉÊ ˙ + ˙ ЕУФШ РТПУФП УТЕДОЕЕ + ПФ ЗБНЙМШФПОЙБОБ (8.1), ŒЪСФПЕ РП

ËÉÎ ÏÂÍ H0 Hint

ПУОПŒОПНХ УПУФПСОЙА ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ, Ф. Е. РП УМЬФЕТПŒУЛПНХ ДЕФЕТНЙОБОФХ, РПУФТПЕООПНХ ЙЪ РМПУЛЙИ ŒПМО У |p| < p0.

рПРТБŒЛЙ ŒФПТПЗП РПТСДЛБ Й ŒЩЫЕ РП e2=hv— F , ТБУУНПФТЕООЩЕ Œ ЪБДБЮБИ 48 В Й 49, ХЮЙФЩŒБАФ ЙЪНЕОЕОЙЕ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС ВМБЗПДБТС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙА. ьФЙ РПРТБŒЛЙ РТЙОЙНБАФ ŒП ŒОЙНБОЙЕ ЙЪНЕОЕОЙЕ ЛПТТЕМСГЙК ŒЪБЙНОПЗП ТБУРПМПЦЕОЙС ЬМЕЛ-

ФТПОПŒ РП УТБŒОЕОЙА У ЙДЕБМШОЩН ЖЕТНЙ-ЗБЪПН. рПЬФПНХ УППФŒЕФУФŒХАЭЙК ŒЛМБД Œ ЬОЕТЗЙА УЙУФЕНЩ ОБЪЩŒБАФ ЛПТТЕМСГЙПООПК ЬОЕТЗЙЕК. уПЗМБУОП ЪБДБЮБН 48, 49, ПВ-

НЕООБС Й ЛПТТЕМСГЙПООБС ЬОЕТЗЙЙ ПФТЙГБФЕМШОЩ Й ЪБŒЙУСФ ПФ ЪБТСДБ e Й РМПФОПУФЙ

n ÔÁË: ˙ÏÂÍ −e2n4=3, ˙ËÏÒ −e4n ln(n1=3=e2).

йОФЕТЕУОП, ЮФП ЛПТТЕМСГЙПООБС ЬОЕТЗЙС ЙНЕЕФ ОЕБОБМЙФЙЮЕУЛХА ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ РБТБНЕФТБ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК e2=hv— F . рПЬФПНХ ЖПТНБМШОПЕ ТБЪМПЦЕОЙЕ ˙ËÏÒ РП ГЕМЩН УФЕРЕОСН e2=hv— F ОЕ ЙНЕЕФ УНЩУМБ. œ ЬФПН Й УПУФПЙФ РТЙЮЙОБ ФПЗП, ЮФП, ЛБЛ НЩ ХВЕДЙМЙУШ Œ ЪБДБЮЕ 48 В, Œ ТСДХ ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК РПСŒМСАФУС ТБУИПДЙНПУФЙ.

ъДЕУШ ХНЕУФОП ПФНЕФЙФШ, ЮФП ДМС ПФУХФУФŒЙС БОБМЙФЙЮОПУФЙ ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ ˙ ЛБЛ ЖХОЛГЙЙ ЛПОУФБОФЩ УŒСЪЙ e2 РТЙ НБМЩИ e ЙНЕАФУС ŒЕУШНБ ПВЭЙЕ ПУОПŒБОЙС. дЕКУФŒЙФЕМШОП, ЕУМЙ ВЩ БОБМЙФЙЮОПУФШ ЙНЕМБ НЕУФП Œ ОЕЛПФПТПК ПЛТЕУФОПУФЙ e = 0, ФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ, РПМХЮЕООПЕ РТЙ e2 > 0, ВЩМП ВЩ РТЙНЕОЙНП Й Л УЙУФЕНЕ У e2 < 0, Ф. Е. У РТЙФСЦЕОЙЕН НЕЦДХ ЮБУФЙГБНЙ. б Œ ОЕК, ЛБЛ ЙЪŒЕУФОП, ŒПЪОЙЛБЕФ ЛХРЕТПŒУЛПЕ УРБТЙŒБОЙЕ Й РТПЙУИПДЙФ РЕТЕУФТПКЛБ ПУОПŒОПЗП УПУФПСОЙС. пФНЕФЙН БОБМПЗЙА У ЛŒБОФПŒПК ЬМЕЛФТПДЙОБНЙЛПК, Œ ЛПФПТПК У РПНПЭША УИПДОПЗП ТБУУХЦДЕОЙС ДПЛБЪЩŒБЕФУС (дБКУПО, 1952), ЮФП МАВБС ЖЙЪЙЮЕУЛБС ŒЕМЙЮЙОБ, ЛБЛ ЖХОЛГЙС e2, ЙНЕЕФ ПУПВЕООПУФШ РТЙ e = 0 (УН. [4], ЗМ. 1, § 3).

тБУУНПФТЙН ФЕРЕТШ, ЛБЛ НЕОСЕФУС УПУФПСОЙЕ НЕФБММЙЮЕУЛПК УЙУФЕНЩ РТЙ ЙЪНЕОЕОЙЙ РМПФОПУФЙ. ъБŒЙУЙНПУФШ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК Й ПВНЕООПК ЬОЕТЗЙЙ ПФ РМПФОПУФЙ ФБЛПŒБ, ЮФП РТЙ ŒЩУПЛПК РМПФОПУФЙ ˙ÏÂÍ РТЕОЕВТЕЦЙНП НБМБ РП УТБŒОЕОЙА У ˙ËÉÎ. пДОБЛП РТЙ ХНЕОШЫЕОЙЙ РМПФОПУФЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ ОБЮЙОБЕФ ДБŒБФШ ПУОПŒОПК ŒЛМБД Œ ЬОЕТЗЙА. рТЙ ЬФПН, РПУЛПМШЛХ ˙ÏÂÍ ПФТЙГБФЕМШОП, УПУФПСОЙЕ У ПДОПТПДОПК РМПФОПУФША

8.6. œйзоетпœулйк лтйуфбмм

215

УФБОПŒЙФУС ОЕХУФПКЮЙŒП РП ПФОПЫЕОЙА Л ŒПЪОЙЛОПŒЕОЙА ОЕПДОПТПДОПУФЕК, Й ЦЙДЛПУФШ РТЕŒТБЭБЕФУС Œ ЛТЙУФБММ (œЙЗОЕТ, 1934).

уТБŒОЙН ЬОЕТЗЙЙ ЛТЙУФБММБ Й ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ. тБУУНПФТЙН ЛТЙУФБММЙЮЕУЛПЕ УПУФПСОЙЕ, Œ ЛПФПТПН ŒПМОПŒЩЕ ЖХОЛГЙЙ ЬМЕЛФТПОПŒ МПЛБМЙЪПŒБОЩ ŒВМЙЪЙ ХЪМПŒ ОЕЛПФПТПК ТЕЫЕФЛЙ. дМС ЛПОЛТЕФОПУФЙ ВХДЕН ЗПŒПТЙФШ П ЛХВЙЮЕУЛПК ТЕЫЕФЛЕ У РЕТЙПДПН a = n−1=3. хВЕДЙНУС Œ ФПН, ЮФП ЛЙОЕФЙЮЕУЛБС ЬОЕТЗЙС, ПГЕОЙŒБЕНБС ЛБЛ ЬОЕТЗЙС ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК, ВХДЕФ ŒЩЫЕ, ЮЕН Œ ПДОПТПДОПК УЙУФЕНЕ У ФПК ЦЕ РМПФОПУФША, Б РПФЕОГЙБМШОБС | ОЙЦЕ. рПУЛПМШЛХ РТЙ ОЙЪЛПК РМПФОПУФЙ РПФЕОГЙБМШОБС ЬОЕТЗЙС ŒБЦОЕЕ ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК, ЛТЙУФБММ ПЛБЪЩŒБЕФУС ВПМЕЕ ŒЩЗПДОЩН УПУФПСОЙЕН, ЮЕН ЦЙДЛПУФШ.

оБЮОЕН У ФПЗП, ЮФП ПГЕОЙН ЙЪНЕОЕОЙЕ ЛХМПОПŒУЛПК ЬОЕТЗЙЙ. рТЙ ПВТБЪПŒБОЙЙ ЛТЙУФБММБ ПОБ РПОЙЦБЕФУС, РПУЛПМШЛХ Œ ЦЙДЛПУФЙ ЬМЕЛФТПОЩ НПЗХФ ОБИПДЙФШУС ВМЙЦЕ ДТХЗ Л ДТХЗХ, ЮЕН Œ ЛТЙУФБММЕ РТЙ ФПК ЦЕ РМПФОПУФЙ. хНЕОШЫЕОЙЕ РПФЕОГЙБМШОПК ЬОЕТЗЙЙ ОБ ПДЙО ЬМЕЛФТПО ВХДЕФ РПТСДЛБ ЬОЕТЗЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС УПУЕДЕК:

EÐÏÔ(ËÒ) − EÐÏÔ(Ö) ≈ −e2=a = −e2n1=3 :

(8.129)

фЕРЕТШ ЪБКНЕНУС ЛЙОЕФЙЮЕУЛПК ЬОЕТЗЙЕК ЬМЕЛФТПООПЗП ЛТЙУФБММБ. ьМЕЛФТПО УПŒЕТЫБЕФ ОХМЕŒЩЕ ЛПМЕВБОЙС ПЛПМП ПДОПЗП ЙЪ ХЪМПŒ ТЕЫЕФЛЙ. рТЙЮЕН ЛПЗДБ ЬМЕЛФТПО ОБИПДЙФУС ФПЮОП Œ ХЪМЕ, ЛХМПОПŒУЛЙЕ УЙМЩ, ДЕКУФŒХАЭЙЕ ОБ ОЕЗП УП УФПТПОЩ ДТХЗЙИ ЬМЕЛФТПОПŒ, Œ ФПЮОПУФЙ ЛПНРЕОУЙТХАФУС. рТЙ ПФЛМПОЕОЙЙ ЦЕ ПФ ХЪМБ ОБ ОЕВПМШЫПЕ ТБУУФПСОЙЕ, ЙЪ-ЪБ ОЕУЛПНРЕОУЙТПŒБООПЗП ЛХМПОПŒУЛПЗП ПФФБМЛЙŒБОЙС ПФ УПУЕДЕК РПСŒМСЕФУС ŒПЪŒТБЭБАЭБС УЙМБ. рТЙ УНЕЭЕОЙЙ x ŒПЪŒТБЭБАЭБС УЙМБ ВХДЕФ РПТСДЛБ e2=(a − x)2 − e2=(a + x)2 ≈ e2x=a3. ъБРЙУБŒ ЕЕ ЛБЛ m!2x, РПМХЮЙН ЮБУФПФХ ЛПМЕВБОЙК ЬМЕЛФТПОБ Й ТБДЙХУ МПЛБМЙЪБГЙЙ ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЙ:

e2

1=2

h—

 

1=2

e2

 

−1=4

 

! ≈ ma3

 

; r0 ≈ m!

 

≈ a hv—

(0)

;

(8.130)

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

ÇÄÅ vF(0) | УЛПТПУФШ жЕТНЙ Œ ЙДЕБМШОПН ЖЕТНЙ-ЗБЪЕ ДБООПК РМПФОПУФЙ. пГЕОЙН ЬОЕТЗЙА ОХМЕŒЩИ ЛПМЕВБОЙК ОБ ПДЙО ЬМЕЛФТПО:

EËÉÎ(ËÒ) ≈

h!—

e2

 

−1=2

e2

e2

1=2

2

≈ hv— (0)

 

a

≈ hv—

(0)

EËÉÎ(Ö) ;

 

 

F

 

 

 

 

F

 

ÇÄÅ EËÉÎ(Ö) ≈ h—2=(2ma2).

 

 

 

 

 

 

 

 

уДЕМБООЩЕ ПГЕОЛЙ РПЛБЪЩŒБАФ,

ÞÔÏ Œ

РТЕДЕМЕ

ОЙЪЛПК РМПФОПУФЙ,

e2=hv— F(0) 1, ЙНЕАФ НЕУФП ФБЛЙЕ ОЕТБŒЕОУФŒБ:

 

 

 

 

EËÉÎ(Ö) EËÉÎ(ËÒ) EÐÏÔ(Ö) − EÐÏÔ(ËÒ) :

(8.131)

Ô.Å. ÐÒÉ

(8.132)

ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ПВТБЪПŒБОЙЕ ЛТЙУФБММБ ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛЙ ŒЩЗПДОП. пФНЕФЙН, ЮФП

ДМС РТЙНЕОЙНПУФЙ УДЕМБООЩИ ПГЕОПЛ ФТЕВХЕФУС, ЮФПВЩ ЬМЕЛФТПООЩЕ УПУФПСОЙС ВЩМЙ ИПТПЫП МПЛБМЙЪПŒБОЩ ŒВМЙЪЙ ХЪМПŒ. оП, ЛБЛ НЩ ŒЙДЕМЙ, r0 a ÐÒÉ e2=hv— F(0) 1, ÞÔÏ

РПДФŒЕТЦДБЕФ ЛПТТЕЛФОПУФШ ОБЫЙИ ТБУУХЦДЕОЙК.

216

змбœб 8. фептйс жетнй-цйдлпуфй

йФБЛ, РТЙ РЕТЕИПДЕ Œ УПУФПСОЙЕ ŒЙЗОЕТПŒУЛПЗП ЛТЙУФБММБ ЛЙОЕФЙЮЕУЛБС ЬОЕТЗЙС ХŒЕМЙЮЙŒБЕФУС, Б РПФЕОГЙБМШОБС ХНЕОШЫБЕФУС. рПЬФПНХ РТЙ ŒЩУПЛПК РМПФОПУФЙ ФБЛПЕ УПУФПСОЙЕ ОЕŒЩЗПДОП, Б РТЙ ОЙЪЛПК | ŒЩЗПДОП.

8.7.нЙЛТПУЛПРЙЮЕУЛПЕ ПВПУОПŒБОЙЕ ФЕПТЙЙ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ

дЙБЗТБННОБС ФЕИОЙЛБ РПЪŒПМСЕФ ПВПУОПŒБФШ ФЕПТЙА ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ŒЕУШНБ ПВЭЙН ПВТБЪПН, Б ФБЛЦЕ ХУФБОПŒЙФШ ЗТБОЙГЩ ЕЕ РТЙНЕОЙНПУФЙ. фБЛПК ЛŒБОФПŒП-РПМЕŒПК РПДИПД Л РТПВМЕНЕ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ŒЕУШНБ РПМЕЪЕО, РПУЛПМШЛХ ПО ДБЕФ ŒПЪНПЦОПУФШ ЙУРПМШЪПŒБФШ ЙДЕЙ Й ТЕЪХМШФБФЩ ЬФПК ФЕПТЙЙ Œ УЙМШОП ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЕК УЙУФЕНЕ. œ ЬФПН УПУФПЙФ РТЕЙНХЭЕУФŒП РП УТБŒОЕОЙА, УЛБЦЕН, У ТБУУНПФТЕООЩН Œ ТБЪД. 8.3 ЗБНЙМШФПОПŒЩН НЕФПДПН, Œ ЛПФПТПН РТЕДРПМБЗБЕФУС, ЮФП ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ УМБВПЕ. лТПНЕ ФПЗП, ЗБНЙМШФПОПŒ НЕФПД ПРЙТБЕФУС ОБ ОЕУЛПМШЛП ЬŒТЙУФЙЮЕУЛПЕ РП УŒПЕНХ ИБТБЛФЕТХ РТЙВМЙЦЕОЙЕ УМХЮБКОЩИ ЖБЪ, Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ ЛŒБОФПŒП-РПМЕŒПК РПДИПД СŒМСЕФУС УПŒЕТЫЕООП УФТПЗЙН.

нЙЛТПУЛПРЙЮЕУЛПК ФЕПТЙЙ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ХДЕМЕОП ВПМШЫПЕ ŒОЙНБОЙЕ Œ МЙФЕТБФХТЕ (УН. [1, 6, 4]), РПЬФПНХ ЪДЕУШ НЩ ПЗТБОЙЮЙНУС ЛТБФЛЙН РЕТЕЮЙУМЕОЙЕН ПУОПŒОЩИ ТЕЪХМШФБФПŒ. рТЕДРПМБЗБЕФУС, ЮФП ПУПВЕООПУФЙ ПДОПЮБУФЙЮОПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, ЛБЛ ЖХОЛГЙЙ ЬОЕТЗЙЙ, ЛБЮЕУФŒЕООП ФБЛЙЕ ЦЕ, ЛБЛ ДМС ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ. б ЙНЕООП, G("; p) ЙНЕЕФ РТПУФПК РПМАУ РТЙ " = ‰(p), ЗДЕ ЪБЛПО ДЙУРЕТУЙЙ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ ‰(p) ПРТЕДЕМСЕФУС УБНПУПЗМБУПŒБООП ЮЕТЕЪ ХТБŒОЕОЙЕ дБКУПОБ. рПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП ŒЩЮЕФ

a Œ РПМАУЕ

a

 

G("; p) ≈

(8.133)

" − ‰(p) + i0 sign ‰

ХДПŒМЕФŒПТСЕФ ХУМПŒЙА 0 < a < 1. œЕМЙЮЙОБ a ЙНЕЕФ УНЩУМ УРЕЛФТБМШОПЗП ŒЕУБ ЛŒБЪЙЮБУФЙГЩ Œ ПДОПЮБУФЙЮОПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ (УТ. У (4.14) Œ ЗМ.4). еДЙОУФŒЕООПК ŒЕМЙЮЙОПК, ЛПФПТБС ОЕ РЕТЕОПТНЙТХЕФУС ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН, ПЛБЪЩŒБЕФУС ЙНРХМШУ жЕТНЙ, ŒЩТБЦБАЭЙКУС ЮЕТЕЪ РМПФОПУФШ: p0 = (3ı2n)1=3.

пЛБЪЩŒБЕФУС ŒПЪНПЦОЩН ŒЩСУОЙФШ, ЛБЛЙЕ ДЙБЗТБННЩ ПРЙУЩŒБАФ ДЙОБНЙЛХ ЛŒБЪЙЮБУФЙГ, Й РТПУМЕДЙФШ УŒСЪШ У ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙН ХТБŒОЕОЙЕН ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ. дМС ЬФПЗП УМЕДХЕФ ТБУУНПФТЕФШ ДŒХИЮБУФЙЮОЩЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ Й ŒЩДЕМЙФШ Œ ОЙИ ŒЛМБДЩ, УППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ЬМЕЛФТПО-ДЩТПЮОЩН РБТБН ŒВМЙЪЙ ХТПŒОС жЕТНЙ. уМЕДХС ФТБДЙГЙЙ, ВХДЕН ЗПŒПТЙФШ П ДŒХИЮБУФЙЮОПК БНРМЙФХДЕ ТБУУЕСОЙС, ЙНЕС РТЙ ЬФПН Œ ŒЙДХ, ЮФП ДТХЗЙЕ ДŒХИЮБУФЙЮОЩЕ ЖХОЛГЙЙ ТБУУНБФТЙŒБАФУС БОБМПЗЙЮОП.

бНРМЙФХДБ ТБУУЕСОЙС ` ЕУФШ, ЛБЛ ПВЩЮОП, УХННБ ŒУЕИ ЖЕКОНБОПŒУЛЙИ ДЙБЗТБНН У ЮЕФЩТШНС ЛПОГБНЙ. пОБ ЪБŒЙУЙФ ПВЩЮОЩН ПВТБЪПН ПФ ŒИПДСЭЙИ Й ŒЩИПДСЭЙИ ЙНРХМШУПŒ, Б ФБЛЦЕ УРЙОПŒ. œЩДЕМЙН ЙЪ ДЙБЗТБННОПЗП ТСДБ ŒУЕ ŒЛМБДЩ У ПРТЕДЕМЕООЩН ЛПМЙЮЕУФŒПН ДŒХИЮБУФЙЮОЩИ УЕЮЕОЙК, Й РЕТЕУХННЙТХЕН ТСД, ЛБЛ РТЙ ŒЩŒПДЕ ХТБŒОЕОЙС вЕФЕ{уПМРЙФЕТБ (4.20). дМС ЬФПЗП ФТЕВХЕФУС ЙУРПМШЪПŒБФШ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНХА ОЕРТЙŒПДЙНХА ŒЕТЫЙОХ `(0), ОЕ УПДЕТЦБЭХА ДŒХИЮБУФЙЮОЩИ УЕЮЕОЙК. рЕТЕУХННЙТПŒБООЩК ТСД ДМС БНРМЙФХДЩ ` ЙЪПВТБЦБЕФУС ЗТБЖЙЮЕУЛЙ, ЛБЛ РПЛБЪБОП ОБ ТЙУ. 8.11,

8.7. нйлтпулпрйюеулпе пвпуопœбойе фептйй жетнй-цйдлпуфй217

ЗДЕ ОЕРТЙŒПДЙНБС ŒЕТЫЙОБ `(0) ПВПЪОБЮЕОБ ЪБЫФТЙИПŒБООЩН ЛТХЦЛПН.

+ + +...

òÉÓ. 8.11

пФНЕФЙН, ЮФП РТЙ ЬФПН РТЕДРПМБЗБЕФУС, ЮФП УХННБТОЩЕ ЙНРХМШУ k Й ЮБУФПФБ ! Œ ДŒХИЮБУФЙЮОЩИ УЕЮЕОЙСИ НБМЩ РП УТБŒОЕОЙА У p0 É EF , УППФŒЕФУФŒЕООП. йНЕООП ЬФП ПЗТБОЙЮЕОЙЕ ОБ k Й ! РПЪŒПМСЕФ ПЗТБОЙЮЙФШУС МЕУФОЙЮОЩНЙ ДЙБЗТБННБНЙ, ЙЪПВТБЦЕООЩНЙ ОБ ТЙУ. 8.11.

рПМХЮЕООЩК ТСД УŒПДЙФУС Л ЙОФЕЗТБМШОПНХ ХТБŒОЕОЙА РПЮФЙ ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ РТЙ ŒЩŒПДЕ ХТБŒОЕОЙС вЕФЕ{уПМРЙФЕТБ (4.20). тБЪОЙГБ УПУФПЙФ ФПМШЛП Œ ФПН, ЮФП ОБДП РПМШЪПŒБФШУС РТЙЮЙООЩНЙ ЖХОЛГЙСНЙ зТЙОБ, Б ОЕ ЪБРБЪДЩŒБАЭЙНЙ. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕФУС ХТБŒОЕОЙЕ ŒЙДБ

`(p1; p2; k) = `(0)(p1; p2; k) − i

`(0)(p1

; q; k) `(q; p2; k) G(q) G(q + k) (2ı)4 ; (8.134)

 

 

d4q

ÇÄÅ p1;2 | ЙНРХМШУЩ ŒИПДСЭЙИ ЮБУФЙГ, Б k | РЕТЕДБЮБ ЙНРХМШУБ. нЩ ДМС РТПУФПФЩ ПРХУФЙМЙ ŒУЕ УРЙОПŒЩЕ ЙОДЕЛУЩ Й УХННЙТПŒБОЙЕ РП ОЙН.

ъБДБЮБ ФЕРЕТШ УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФПВЩ ŒЩДЕМЙФШ Œ (8.134) ŒЛМБДЩ РПМАУПŒ ЖХОЛГЙК зТЙОБ G(q) Й G(q +k), РПУЛПМШЛХ ЙНЕООП РПМАУОЩЕ ŒЛМБДЩ ПФŒЕЮБАФ ЛŒБЪЙЮБУФЙГБН. дМС ЬФПЗП ФТЕВХЕФУС ŒЩРПМОЙФШ ЕЭЕ ПДОП РЕТЕУХННЙТПŒБОЙЕ ТСДБ ДМС `, Œ ТЕЪХМШФБФЕ ЛПФПТПЗП РПМХЮБЕФУС ПЮЕОШ РПИПЦЙК ТСД, У ФЕН, ПДОБЛП, ЕДЙОУФŒЕООЩН ПФМЙЮЙЕН, ЮФП ДŒХИЮБУФЙЮОЩЕ УЕЮЕОЙС УПДЕТЦБФ ФПМШЛП РПМАУОЩЕ ŒЛМБДЩ.

жПТНБМШОП ЬФП РТПЙУИПДЙФ ФБЛ. рТЙ НБМЩИ ! Й k Œ ДŒХИЮБУФЙЮОЩИ УЕЮЕОЙСИ, РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ЖХОЛГЙК зТЙОБ НПЦОП ТБЪМПЦЙФШ ОБ УЙОЗХМСТОХА Й ТЕЗХМСТОХА ЮБУФЙ:

−iG(q) G(q + k) =

2ıa2

kv

‹(") ‹(|q| − p0) + ’(q) ;

(8.135)

vF

! − kv

ÇÄÅ q = ("; q), k = (!; k), v = k‰(k). рПСУОЙН РТПЙУИПЦДЕОЙЕ УЙОЗХМСТОПЗП ŒЛМБДБ Œ (8.135). пО ŒПЪОЙЛБЕФ Œ ФЕИ УМХЮБСИ, ЛПЗДБ РПМАУЩ ЖХОЛГЙК зТЙОБ G(q) Й G(q + k) ЪБЦЙНБАФ ЛПОФХТ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП " Œ ХТБŒОЕОЙЙ (8.134). ъБЦЙНБОЙЕ ЛПОФХТБ РТПЙУИПДЙФ, ЛПЗДБ РПМАУЩ ŒЩТБЦЕОЙС G(q)G(q + k) ОБИПДСФУС РП ТБЪОЩЕ УФПТПОЩ ПФ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ. ьФП ЙНЕЕФ НЕУФП РТЙ |q| < p0 É |q + k| > p0, ЙМЙ ОБПВПТПФ. оП РПУЛПМШЛХ |k| p0, ЙНРХМШУ q РТЙ ЬФПН ПЛБЪЩŒБЕФУС ОБ НБМПН ТБУУФПСОЙЙ РПТСДЛБ |k| ПФ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ. б ЪОБЮЙФ, ПДОПŒТЕНЕООП Й " = ‰q ПЛБЪЩŒБЕФУС РПЮФЙ ОБ ХТПŒОЕ жЕТНЙ.

ъБРЙЫЕН УППФОПЫЕОЙЕ (8.135) Œ ŒЙДЕ −iGG = D+’ Й РТПŒЕДЕН РЕТЕУХННЙТПŒБОЙЕ

ТСДБ ОБ ТЙУ. 8.11, ЙУРПМШЪХС ПРЕТБФПТОХА

ЪБРЙУШ:

 

 

 

 

 

 

1 −

D + ’

`(0) −1

 

` = `(0) − i`(0)GG`(0) + (−i)2`(0)GG`(0)GG`(0) + ::: = `(0)

=

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы