Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

пФМЙЮЙЕ ЬФПЗП РТЕДУФБŒМЕОЙС ПФ ЙУИПДОПЗП Œ ФПН, ЮФП ФЕРЕТШ ŒУЕ ОЕУЙОЗХМСТОЩЕ ŒЛМБДЩ УПВТБОЩ ЕДЙОЩН ПВТБЪПН Œ ŒЕТЫЙОХ `! .

лБЛ ŒУЕЗДБ, ЬМЕНЕОФБТОЩЕ ŒПЪВХЦДЕОЙС ПРТЕДЕМСАФУС РПМАУБНЙ УППФŒЕФУФŒХАЭЕК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. œ ДБООПН УМХЮБЕ ОЕПВИПДЙНП ТБУУНПФТЕФШ РПМАУЩ БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС `, ЛБЛ ЖХОЛГЙЙ ! Й k. йЪ РТЕДУФБŒМЕОЙС (8.136) УМЕДХЕФ, ЮФП РПМАУБН УППФŒЕФУФŒХАФ ОХМЕŒЩЕ УПВУФŒЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС ПРЕТБФПТБ 1 − D`! . рПМШЪХСУШ СŒОПК

ЗДЕ u(p) | УППФŒЕФУФŒХАЭБС УПВУФŒЕООБС ЖХОЛГЙС, Б ДЕКУФŒЙЕ `! РПОЙНБЕФУС Œ ПРЕТБФПТОПН УНЩУМЕ. рПМХЮЙŒЫЕЕУС ХТБŒОЕОЙЕ УПŒРБДБЕФ У ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙН ХТБŒОЕОЙЕН ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ, РТЙЮЕН ЖХОЛГЙС мБОДБХ F (n; n ) ПЛБЪЩŒБЕФУС УŒСЪБООПК У БНРМЙФХДПК `! , ŒЪСФПК ОБ ЖЕТНЙ-РПŒЕТИОПУФЙ:

пФНЕФЙН, ЮФП БНРМЙФХДБ `! РПМХЮБЕФУС РТПУФЩН ПВТБЪПН ЙЪ РПМОПК БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС `, ЕУМЙ ТБУУНПФТЕФШ РТЕДЕМ kv !. рТЙ ЬФПН, УПЗМБУОП (8.135), ŒЕМЙЮЙОБ

→ 0 Й, ŒУМЕДУФŒЙЕ ЬФПЗП, `! = `.

D

ъБНЕФЙН, ЮФП УŒСЪШ НЕЦДХ ПРЕТБФПТПН D Й ЛЙОЕФЙЛПК ЛŒБЪЙЮБУФЙГ УФБОПŒЙФУС ПУПВЕООП ОБЗМСДОПК, ЕУМЙ РЕТЕКФЙ Œ ЛППТДЙОБФОП-ŒТЕНЕООПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ. юФПВЩ ЙЪВЕЦБФШ ОЕПДОПЪОБЮОПУФЕК, УŒСЪБООЩИ У ПВИПДПН РПМАУПŒ, ТБУУНПФТЙН ЪБРБЪДЩŒБ-

ьФП ŒЩЮЙУМЕОЙЕ ДЕНПОУФТЙТХЕФ, ЮФП УЙОЗХМСТОБС ЮБУФШ РТПЙЪŒЕДЕОЙС G(q)G(q + k) ПРЙУЩŒБЕФ ТБУРТПУФТБОЕОЙЕ ЬМЕЛФТПОБ РП РТСНПК НЕЦДХ НПНЕОФБНЙ, ЛПЗДБ РТПЙУИПДЙФ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕ У ДТХЗЙНЙ ЬМЕЛФТПОБНЙ. (юЙФБФЕМШ, УФБМЛЙŒБŒЫЙКУС У ЪБДБЮЕК ПВ ПРТЕДЕМЕОЙЙ ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙИ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФПŒ ЙЪ ХТБŒОЕОЙС вПМШГНБОБ, ХЪОБЕФ Œ vk=(! − vk) УФБОДБТФОПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ, ŒПЪОЙЛБАЭЕЕ РТЙ РПДПВОЩИ ТБУЮЕФБИ.)

уМЕДХЕФ УЛБЪБФШ, ЮФП УŒСЪШ НЕЦДХ МЕУФОЙЮОЩНЙ ДЙБЗТБННБНЙ У НБМЩН РЕТЕДБООЩН ЙНРХМШУПН Й ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙН ХТБŒОЕОЙЕН, РТПДЕНПОУФТЙТПŒБООБС ОБ РТЙНЕТЕ БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС `, ЙНЕЕФ ВПМЕЕ ПВЭЙК ИБТБЛФЕТ. бОБМПЗЙЮОЩЕ ТБУУХЦДЕОЙС РТЙНЕОЙНЩ Л РТПЙЪŒПМШОПК ДŒХИЮБУФЙЮОПК ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ. рТЙНЕТПН ФПНХ НПЗХФ УМХЦЙФШ МЕУФОЙЮОЩЕ ДЙБЗТБННЩ, ТБУУНПФТЕООЩЕ Œ ЪБДБЮБИ 44 | 47.

8.7. нйлтпулпрйюеулпе пвпуопœбойе фептйй жетнй-цйдлпуфй219

лБЛ НЩ ХВЕДЙМЙУШ, ФЕПТЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ ОБ ДЙБЗТБННОПН СЪЩЛЕ УППФŒЕФУФŒХЕФ ХЮЕФХ ПРТЕДЕМЕООЩИ ДЙБЗТБНН У НБМПК РЕТЕДБЮЕК ЙНРХМШУБ Œ ДŒХИЮБУФЙЮОЩИ УЮЕОЙСИ. йУЮЕТРЩŒБАФУС МЙ ПРЙУБООЩНЙ ŒЩЫЕ МЕУФОЙЮОЩНЙ ДЙБЗТБННБНЙ ŒУЕ ŒПЪНПЦОПУФЙ? юФПВЩ Œ ЬФПН ТБЪПВТБФШУС, ТБУУНПФТЙН ДЙБЗТБННЩ У ТПŒОП ПДОЙН ДŒХИЮБУФЙЮОЩН УЕЮЕОЙЕН. лБЛ ŒЙДОП ЙЪ ТЙУ. 8.12, ЙИ ŒУЕЗП ФТЙ.

òÉÓ. 8.12

пРТЕДЕМЙН, РТЙ ЛБЛЙИ ЪОБЮЕОЙСИ ŒОЕЫОЙИ 4-ЙНРХМШУПŒ p1, p2 Й k ЬФЙ ДЙБЗТБННЩ НПЗХФ ПЛБЪБФШУС УЙОЗХМСТОЩНЙ. лБЛ Й ŒЩЫЕ, ОБУ ЙОФЕТЕУХАФ УЙОЗХМСТОПУФЙ, ŒПЪОЙЛБАЭЙЕ ЙЪ-ЪБ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РТПЙЪŒЕДЕОЙС ДŒХИ ЖХОЛГЙК зТЙОБ. рТЙ ДБООПН ЪОБЮЕОЙЙ ЬОЕТЗЙЙ " Œ РЕФМЕ РПМАУЩ ЬФЙИ ДŒХИ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК ФБЛПŒЩ:

рТЙ ЬФПН, ЛБЛ ŒУЕЗДБ, ПФМЙЮОЩК ПФ ОХМС ŒЛМБД Œ ЙОФЕЗТБМ РП " ŒПЪОЙЛБЕФ МЙЫШ ЕУМЙ РПМАУЩ ОБИПДСФУС РП ТБЪОЩЕ УФПТПОЩ ПФ ЛПОФХТБ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС (УТ. У ЪБДБЮЕК 24). рТЙ ПРТЕДЕМЕООЩИ ЪОБЮЕОЙСИ ŒОЕЫОЙИ ЙНРХМШУПŒ РПМАУЩ НПЗХФ УВМЙЪЙФШУС Й ЪБЦБФШ НЕЦДХ УПВПК ЛПОФХТ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС. фПЗДБ ЬФПФ ЛПОФХТ ВХДЕФ ОЕŒПЪНПЦОП ХŒЕУФЙ ЙЪ ПЛТЕУФОПУФЙ РПМАУПŒ Й ŒПЪОЙЛОЕФ УЙОЗХМСТОПУФШ.

œЩСУОЙН, РТЙ ЛБЛЙИ ХУМПŒЙСИ ЬФП РТПЙУИПДЙФ Œ ДЙБЗТБННБИ ОБ ТЙУ. 8.12. рТЕОЕВТЕЗБС ЮБУФПФПК !, РЕТЕДБŒБЕНПК ЮЕТЕЪ ДŒХИЮБУФЙЮОПЕ УЕЮЕОЙЕ, РПМХЮЙН

(a)|p+ + q| = |p+ − q|, ÇÄÅ p+ = (p1 + p2)=2;

(b)|p2 + q| = |q + p1 + k|;

(c)|q| = |q − k|.

рТЙ ЬФПН УМЕДХЕФ ХЮЕУФШ, ЮФП УЙОЗХМСТОПУФШ НПЦЕФ ЙУЮЕЪОХФШ РТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП q, ЕУМЙ ХУМПŒЙЕ ŒЩРПМОСЕФУС Œ УМЙЫЛПН НБМПК ПВМБУФЙ q. рПЬФПНХ ХУМПŒЙЕ ŒПЪОЙЛОПŒЕОЙС УЙОЗХМСТОПУФЙ ŒЩЗМСДЙФ ФЕРЕТШ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

(a)p1 + p2 ≈ 0;

(b)p2 − p1 − k ≈ 0;

(c)k ≈ 0.

йФБЛ, НЩ ŒЙДЙН, ЮФП ФПМШЛП ДЙБЗТБННБ (c) УЙОЗХМСТОБ РТЙ k = 0. йНЕООП ПОБ Й ПРТЕДЕМСЕФ ДЙОБНЙЛХ ŒПЪВХЦДЕОЙК Œ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ.

юФП ЦЕ ЛБУБЕФУС ПУФБМШОЩИ ДЙБЗТБНН, ФП ДЙБЗТБННБ (b) ВЩŒБЕФ ŒБЦОБ ПЮЕОШ ТЕДЛП ЙЪ-ЪБ ФПЗП, ЮФП Œ ОЕК ОБМБЗБЕФУС ХУМПŒЙЕ p1 ≈ p2. б ŒПФ ДЙБЗТБННБ (a) ПЛБЪЩŒБЕФУС ŒБЦОБ Œ ФЕПТЙЙ УŒЕТИРТПŒПДЙНПУФЙ, Й Œ ЗМ.10 НЩ ЕЕ РПДТПВОП ЙЪХЮЙН. уФЕРЕОШ ŒБЦОПУФЙ ДЙБЗТБННЩ (Б) Й РПДПВОЩИ ЕК ВПМЕЕ УМПЦОЩИ ДЙБЗТБНН ПЛБЪЩŒБЕФУС ЪБŒЙУСЭЕК ПФ ЪОБЛБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС. œ УМХЮБЕ РТЙФСЦЕОЙС ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФШ ЙУЮЕЪБЕФ, Б ŒЪБНЕО ПВТБЪХЕФУС УŒЕТИРТПŒПДСЭЕЕ УПУФПСОЙЕ. œ УМХЮБЕ ЦЕ ПФФБМЛЙŒБОЙС ŒУЕ ŒЩŒПДЩ ФЕТЙЙ ЖЕТНЙ-ЦЙДЛПУФЙ, РПМХЮЕООЩЕ ВЕЪ ХЮЕФБ ДЙБЗТБННЩ (Б), ПУФБАФУС Œ УЙМЕ.

МЙЮОЩИ ЛПОУФБОФ ЖЕТНЙ-ЗБЪБ (УН. ЗМ. 8). рПЬФПНХ Œ ФЕПТЙЙ ЬМЕЛФТПООПЗП ФТБОУРПТФБ Œ НЕФБММБИ РТЕОЕВТЕЦЕОЙЕ ЬМЕЛФТПО-ЬМЕЛФТПООЩН ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙЕН, Œ ЛБЮЕУФŒЕ РЕТŒПЗП РТЙВМЙЦЕОЙС, ŒРПМОЕ ПРТБŒДБОП.

тБУУНПФТЙН, ЛБЛ ЖПТНХМЙТХЕФУС ДЙБЗТБННОБС ФЕИОЙЛБ ДМС ЪБДБЮЙ П ТБУУЕСОЙЙ ОБ РТЙНЕУСИ. œŒЕДЕН РПФЕОГЙБМ РТЙНЕУЕК Œ ЗБНЙМШФПОЙБО ЬМЕЛФТПООПЗП ЗБЪБ. œ РТПУФЕКЫЕК НПДЕМЙ РПФЕОГЙБМШОПЕ РПМЕ U (r), Œ ЛПФПТПН ДŒЙЦХФУС ЬМЕЛФТПОЩ, УПЪДБЕФУС ТБУУЕЙŒБАЭЙНЙ ГЕОФТБНЙ, ТБУРПМПЦЕООЩНЙ Œ ФПЮЛБИ ri:

рПМПЦЕОЙС РТЙНЕУЕК ri ВХДЕН УЮЙФБФШ УМХЮБКОЩНЙ, Б ЙИ ЛПОГЕОФТБГЙА n | НБМПК РП УТБŒОЕОЙА У РМПФОПУФША ЬМЕЛФТПОПŒ ne = 43ı (p0=2ıh—)3 (УМБВЩК ВЕУРПТСДПЛ). дМС ХРТПЭЕОЙС ŒЩЮЙУМЕОЙК НЩ РТЙНЕН, ЮФП РПФЕОГЙБМ РТЙНЕУЕК ЛПТПФЛПДЕКУФŒХАЭЙК, u(r − ri) = u0‹(3)(r − ri), | ЙОЩНЙ УМПŒБНЙ, РТЕОЕВТЕЦЕН ЪБŒЙУЙНПУФША БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС ПФ ЬОЕТЗЙЙ Й ХЗМБ ТБУУЕСОЙС. рПНЙНП ЬФПЗП НЩ ВХДЕН УЮЙФБФШ БНРМЙФХДХ ТБУУЕЙŒБАЭЕЗП РПФЕОГЙБМБ u0 НБМПК, ЮФП РПЪŒПМЙФ ТБУУНПФТЕФШ ТБУУЕСОЙЕ ОБ ПДОПК РТЙНЕУЙ Œ ТБНЛБИ ВПТОПŒУЛПК ФЕПТЙЙ ŒПЪНХЭЕОЙК ДМС БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС.

òÉÓ. 9.1

жХОЛГЙС зТЙОБ ЬМЕЛФТПОБ, ДŒЙЦХЭЕЗПУС Œ РПФЕОГЙБМЕ (9.2), ДБЕФУС УХННПК ДЙБЗТБНН, РПЛБЪБООЩИ ОБ ТЙУ. 9.1. ъДЕУШ ŒПМОЙУФЩЕ МЙОЙС ПВПЪОБЮБАФ РПФЕОГЙБМ РТЙНЕУЕК U (r) (УН. ТЙУ. 3.1). жХОЛГЙС зТЙОБ Œ УМХЮБКОПН ŒОЕЫОЕН РПМЕ (9.2), ŒППВЭЕ ЗПŒПТС, ОЕ СŒМСЕФУС ФТБОУМСГЙПООП ЙОŒБТЙБОФОПК. пДОБЛП РТБЛФЙЮЕУЛЙК ЙОФЕТЕУ ПВЩЮОП РТЕДУФБŒМСАФ ŒЕМЙЮЙОЩ, ХУТЕДОЕООЩЕ РП ТБУРПМПЦЕОЙА РТЙНЕУЕК. фБЛЙЕ ŒЕМЙЮЙОЩ СŒМСАФУС ФТБОУМСГЙПООП ЙОŒБТЙБОФОЩНЙ.

œЩРПМОЙН ХУТЕДОЕОЙЕ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ РП ВЕУРПТСДЛХ. дМС ЬФПЗП ЪБНЕФЙН, ЮФП РПФЕОГЙБМ U (r) Œ (9.2) ЕУФШ УХННБ РПФЕОГЙБМПŒ ПФДЕМШОЩИ РТЙНЕУЕК. рПЬФПНХ ЛБЦДПК ŒЕТЫЙОЕ ОБ ТЙУ. 9.1 НПЦЕФ ВЩФШ РТЙРЙУБО ОПНЕТ РТЙНЕУЙ, РП ЛПФПТПНХ ЪБФЕН ОБДП РТПУХННЙТПŒБФШ:

òÉÓ. 9.2

œОБЮБМЕ ТБУУНПФТЙН ДЙБЗТБННЩ, Œ ЛПФПТЩИ ŒУЕ ОПНЕТБ РТЙНЕУЕК ТБЪОЩЕ. ьФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ТБУУЕСОЙЕ ОБ ЛБЦДПК РТЙНЕУЙ ТБУУНБФТЙŒБЕФУС Œ РЕТŒПН ВПТОПŒУЛПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ Й ЮФП ŒУЕ ŒЕТЫЙОЩ Œ ДЙБЗТБННЕ УФБФЙУФЙЮЕУЛЙ ОЕЪБŒЙУЙНЩ. рПУМЕ ХУТЕД-