Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 857

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

9.4. умбвбс мплбмйъбгйс й неъпулпрйлб (фтхдоще ъбдбюй) 55 { 57237

ъБДБЮБ 57*. (нЕЪПУЛПРЙЮЕУЛБС РТПŒПДЙНПУФШ 11.) оБКДЕООЩЕ Œ ЪБДБЮЕ 56 ПУГЙММСГЙЙ РТПŒПДЙНПУФЙ ГЙМЙОДТБ, ЛБЛ ЖХОЛГЙЙ НБЗОЙФОПЗП РПФПЛБ, У РЕТЙПДПН ˘0=2 ŒЩЗМСДСФ ОЕУЛПМШЛП РПДПЪТЙФЕМШОП. œЕДШ Й ЬОЕТЗЙС, Й ŒПМОПŒБС ЖХОЛГЙС ЛБЦДПЗП ЬМЕЛФТПОБ УЙУФЕНЩ РЕТЙПДЙЮОЩ РП НБЗОЙФОПНХ РПФПЛХ У РЕТЙПДПН ˘0. оБРТЙНЕТ, ДМС ЬМЕЛФТПОБ, ДŒЙЗБАЭЕЗПУС РП ЛПМШГХ ВЕЪ РТЙНЕУЕК, ХТПŒОЙ ЬОЕТЗЙЙ ЕУФШ Em = h—2=(2meR2) (m − ˘=˘0)2, ÇÄÅ me | НБУУБ ЬМЕЛФТПОБ, Б m | ЕЗП НБЗОЙФОПЕ ЛŒБОФПŒПЕ ЮЙУМП. рТЙ ˘ = ˘0=2 УЙУФЕНБ УПŒЕТЫЕООП ОЕ РПИПЦБ ОБ УЙУФЕНХ У ОХМЕŒЩН РПФПЛПН. ьМЕЛФТПО, ПВИПДС ГЙМЙОДТ, НЕОСЕФ РТЙ ˘ = ˘0=2 ЪОБЛ УŒПЕК ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЙ, Ф. Е. ЬЖЖЕЛФ НБЗОЙФОПЗП РПФПЛБ ПЛБЪЩŒБЕФУС ОБЙВПМЕЕ УЙМШОЩН. лБЛЙН ЦЕ ПВТБЪПН РЕТЙПД ПУГЙММСГЙК РТПŒПДЙНПУФЙ ПЛБЪЩŒБЕФУС ТБŒОЩН ˘0=2?

пФŒЕФ УПУФПЙФ Œ ФПН, ЮФП ЬФП ЕУФШ ТЕЪХМШФБФ ХУТЕДОЕОЙС РП ВЕУРПТСДЛХ. дЕКУФŒЙФЕМШОП, ŒЩЮЙУМСС УМБВПМПЛБМЙЪБГЙПООХА РПРТБŒЛХ, НЩ ХЮЙФЩŒБЕН ФПМШЛП ЙОФЕТЖЕТЕОГЙА ДŒХИ ФТБЕЛФПТЙК, ŒПЪŒТБЭБАЭЙИУС Œ ЙУИПДОХА ФПЮЛХ. йОЩНЙ УМПŒБНЙ, НЩ ŒЩЮЙУМСЕН ЙОФЕТЖЕТЕОГЙПООЩК ŒЛМБД Œ ŒЕТПСФОПУФШ ĂЪБУФТЕŒБОЙСĄ ЬМЕЛФТПОБ Œ ЛБЛПК-ФП ФПЮЛЕ ПВТБЪГБ. пДОБЛП ЙНЕЕФУС ФБЛЦЕ ЙОФЕТЖЕТЕОГЙПООЩК ŒЛМБД Œ ŒЕТПСФОПУФШ РЕТЕНЕЭЕОЙС ЬМЕЛФТПОБ ЙЪ ПДОПК ФПЮЛЙ Œ ДТХЗХА, Й ПО ХУФТПЕО ЙОБЮЕ. ьФПФ ŒЛМБД ПРТЕДЕМСЕФУС ФТБЕЛФПТЙСНЙ, УПЕДЙОСАЭЙНЙ ДŒЕ ТБЪМЙЮОЩЕ ФПЮЛЙ A Й B Й ПВИПДСЭЙНЙ РПМПУФШ ГЙМЙОДТБ У ТБЪОЩИ УФПТПО. тБЪОПУФШ ЖБЪ НЕЦДХ ФБЛЙНЙ ФТБЕЛФПТЙСНЙ ТБŒОБ 2ı˘=˘0. фБЛЙН ПВТБЪПН, ЙОФЕТЖЕТЕОГЙС НЕЦДХ ОЙНЙ РТЙŒПДЙФ Л ПУГЙММСГЙСН У РЕТЙПДПН ˘0. пДОБЛП ŒЛМБД ЬФЙИ ФТБЕЛФПТЙК УПДЕТЦЙФ ФБЛЦЕ ВПМШЫХА ЖБЪХ РПТСДЛБ „ = pF L, ЗДЕ L | ДМЙОБ ФТБЕЛФПТЙЙ. ьФБ ЖБЪБ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЖПТНЩ ФТБЕЛФПТЙЙ, Ф. Е. ПФ ТЕБМЙЪБГЙЙ ВЕУРПТСДЛБ. еУМЙ НЩ ФЕРЕТШ ХУТЕДОЙН РТПŒПДЙНПУФШ РП ВЕУРПТСДЛХ, ФП ЬФПФ ŒЛМБД ЙУЮЕЪОЕФ ЙЪ-ЪБ ХУТЕДОЕОЙС РП ЖБЪЕ „. еУМЙ ЦЕ РП ВЕУРПТСДЛХ ОЕ ХУТЕДОСФШ, Б ТБУУНБФТЙŒБФШ ПВТБЪЕГ У ЛПОЛТЕФОПК ТЕБМЙЪБГЙЕК ВЕУРПТСДЛБ, ФП ЕЗП РТПŒПДЙНПУФШ ДПМЦОБ ЙНЕФШ РЕТЙПД ˘0.

рТЙ ЬФПН ŒПЪОЙЛБЕФ ОЕПВЩЮОБС УЙФХБГЙС: ОЕХУТЕДОЕООБС РП ВЕУРПТСДЛХ РТПŒПДЙНПУФШ, ЪБŒЙУСЭБС ПФ ЛПОЛТЕФОПК ТЕБМЙЪБГЙЙ УМХЮБКОПЗП РПФЕОГЙБМБ, ПУГЙММЙТХЕФ ЛБЛ ЖХОЛГЙС ˘ У РЕТЙПДПН ˘0, Œ ДŒБ ТБЪБ В«ПМШЫЙН, ЮЕН РЕТЙПД ˘0=2 ПУГЙММСГЙК ХУТЕДОЕООПК РТПŒПДЙНПУФЙ. юФПВЩ РТПŒЕТЙФШ УРТБŒЕДМЙŒПУФШ ЬФПК ЛБЮЕУФŒЕООПК ЛБТФЙОЩ, ОХЦОП ŒЩЮЙУМЙФШ ŒЕМЙЮЙОХ, Œ ЛПФПТПК ŒЛМБД У РЕТЙПДПН ˘0 ОЕ ŒЩРБДБЕФ РТЙ ХУТЕДОЕОЙЙ РП ВЕУРПТСДЛХ. юФПВЩ ЙЪХЮЙФШ, ЛБЛ РТПŒПДЙНПУФШ ПВТБЪГБ У ДБООПК ТЕБМЙЪБГЙЕК ВЕУРПТСДЛБ ЪБŒЙУЙФ ПФ НБЗОЙФОПЗП РПФПЛБ, ТБУУНПФТЙН РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ

РТПŒПДЙНПУФЕК РТЙ ТБЪОЩИ ЪОБЮЕОЙСИ РПФПЛБ Й ХУТЕДОЙН ЕЗП:

 

K˘;˘ = ¸˛ (˘) — (˘ ) ÂÅÓÐ − ¸˛ (˘) ÂÅÓÐ — (˘ ) ÂÅÓÐ :

(9.32)

лБЦДБС ЙЪ РТПŒПДЙНПУФЕК Œ ЬФПН ŒЩТБЦЕОЙЙ ДБЕФУС ДП ХУТЕДОЕОЙС РП ВЕУРПТСДЛХ ДЙБЗТБННПК ОБ ТЙУ. 9.5, Œ ЛПФПТПК ЦЙТОБС МЙОЙС ПВПЪОБЮБЕФ ФПЮОХА ЖХОЛГЙА зТЙОБ, ЙЪПВТБЦЕООХА ОБ ТЙУ. 9.1. рТЙ ХУТЕДОЕОЙЙ РП ВЕУРПТСДЛХ ОБУ ЙОФЕТЕУХАФ РЕТЕЛТЕУФОЩЕ ЮМЕОЩ, РПЬФПНХ НЩ ДПМЦОЩ УŒСЪБФШ РТЙНЕУОЩНЙ МЙОЙСНЙ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ Œ ТБЪОЩИ РЕФМСИ. йЪ-ЪБ ХУТЕДОЕОЙС РП ОБРТБŒМЕОЙСН ЙНРХМШУПŒ РТЙНЕУОХА

11УН. ТБВПФЩ: P. A. Lee, and A. D. Stone, Phys. Rev. Lett., v. 55, p. 1622 (1985); в. м. бМШФЫХМЕТ, рЙУШНБ Œ цьфж, Ф. 51, У. 530 (1985).

238

змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

МЕУФОЙГХ Œ ЛБЦДХА ЙЪ РЕФЕМШ ŒУФБŒМСФШ ОЕ ОБДП. рТЙ ЬФПН НЩ ДПМЦОЩ РПУФБТБФШУС УДЕМБФШ ФБЛ, ЮФПВЩ РТЙНЕУОЩЕ МЙОЙЙ ОЕ РЕТЕУЕЛБМЙУШ. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБАФУС ДŒЕ ДЙБЗТБННЩ, РПЛБЪБООЩЕ ОБ ТЙУ. 9.10.

òÉÓ. 9.10

œЩЮЙУМЙФЕ ЬФЙ ДЙБЗТБННЩ Й ОБКДЙФЕ ЛПТТЕМСФПТ РТПŒПДЙНПУФЕК (9.32) РТЙ ТБЪОЩИ ЪОБЮЕОЙСИ НБЗОЙФОПЗП РПФПЛБ. дБООБС ЪБДБЮБ ЙММАУФТЙТХЕФ ФП МАВПРЩФОПЕ ПВУФПСЕМШУФŒП, ЮФП ЖЙЪЙЮЕУЛЙЕ УŒПКУФŒБ ХУТЕДОЕООПК РП ВЕУРПТСДЛХ ŒЕМЙЮЙОЩ (Œ ДБООПН УМХЮБЕ, РТПŒПДЙНПУФЙ) НПЗХФ РТЙОГЙРЙБМШОП ПФМЙЮБФШУС ПФ УŒПКУФŒ ФПЮОПК, ОЕХУТЕДОЕООПК ŒЕМЙЮЙОЩ.

9.5. тЕЫЕОЙС

тЕЫЕОЙЕ 50 Б. оБКДЕН ЖХОЛГЙА зТЙОБ, ХУТЕДОЕООХА РП ВЕУРПТСДЛХ, ЙУРПМШЪХС ЙН-

РХМШУОПЕ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ. зБНЙМШФПОЙБО ЙНЕЕФ ŒЙД H = H0 + Hint, ÇÄÅ H0 | ЛЙОЕФЙ-

H

H

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РТЙНЕУЕК:

 

 

 

ЮЕУЛБС ЬОЕТЗЙС, Б int =

i

i | РПФЕОГЙБМ

 

 

 

Hi =

 

+(p)u(p − p )

(p ) ei(p−p )ri

 

(2ı)6

 

:

(9.33)

 

 

 

 

d3p d3p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ъДЕУШ u(p) = u(r)e−iprd3r | ЖХТШЕ-ПВТБЪ РПФЕОГЙБМБ ПДОПК РТЙНЕУЙ.) уЮЙФБС

ŒПЪНХЭЕОЙЕН, ТБЪМПЦЙН ЖХОЛГЙА зТЙОБ Œ ТСД РП РПФЕОГЙБМХ (УН. ТЙУ. 9.11) Й

Hint

ХУТЕДОЙН РПЮМЕООП.

òÉÓ. 9.11

рЕТŒПЕ УМБЗБЕНПЕ ПФ РПФЕОГЙБМБ ОЕ ЪБŒЙУЙФ, Й ЕУФШ РТПУФП ЖХОЛГЙС зТЙОБ УŒПВПДОПК ЮБУФЙГЩ:

G(0)("; p; p ) = (2ı)3G0("; p)‹(p − p ) :

(9.34)

œФПТПЕ УМБЗБЕНПЕ ЙНЕЕФ ŒЙД i Gi(1), ÇÄÅ

 

Gi(1)("; p; p ) = G0("; p)u(p − p )ei(p−p )ri G0("; p ) :

(9.35)

9.5. теыеойс

 

 

 

 

 

239

хУТЕДОЕОЙЕ РП РПМПЦЕОЙСН РТЙНЕУЕК ri НПЦОП ŒЩРПМОЙФШ У РПНПЭША ЖПТНХМЩ

eiqr = V

 

eiqri d3ri = V

(2ı)3‹(q) :

(9.36)

 

1

 

1

 

 

рПМХЮБЕН

 

 

 

 

u0

 

(1)

 

 

2

3

 

Gi

("; p; p )

= [G0(p)] (2ı)

‹(p − p ) V :

(9.37)

уХННБ РП i ДБЕФ

 

 

 

 

 

 

G(1)("; p; p ) = nu0(2ı)3‹(p − p )[G0(p)]2 ;

(9.38)

ЗДЕ n = N=V | ЛПОГЕОФТБГЙС РТЙНЕУЕК.

рЕТЕКДЕН Л ФТЕФШЕНХ УМБЗБЕНПНХ, ЙНЕАЭЕНХ ŒЙД ij G(2)ij , ÇÄÅ

Gij(2)("; p; p ) = G0(p)G0(p ) ×

− p )G0(p1)e−i(p−p1)ri−i(p1

(9.39)

× u(p − p1)u(p1

−p )rj (2ı)13 :

 

 

d3p

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ УПДЕТЦЙФ ŒЛМБДЩ ДŒХИ ТБЪМЙЮОЩИ РТПГЕУУПŒ: ДŒХЛТБФОПЗП ТБУУЕСОЙС ОБ ПДОПК РТЙНЕУЙ (i = j), Й ПДОПЛТБФОПЗП ТБУУЕСОЙС ОБ ДŒХИ ТБЪМЙЮОЩИ РТЙНЕУСИ (i = j). рТЙ ХУТЕДОЕОЙЙ ЬФЙ ŒЛМБДЩ ОБДП ТБЪДЕМСФШ.

œ УМХЮБЕ i = j ХУТЕДОСЕН РП ЖПТНХМЕ

e−i(p−p )ri = V1 (2ı)3‹(p − p )

Й РПМХЮБЕН

Gii

("; p; p ) = V (2ı)3

‹(p − p )G02("; p)

|u(p − p1)|2G0

("; p1) (2ı)3 :

(2)

1

 

 

d3p1

œП ŒФПТПН УМХЮБЕ (i = j) ХУТЕДОЕОЙЕ ŒЩЗМСДЙФ ФБЛ:

e−i(p−p1)ri−i(p1−p )rj = V12 (2ı)6‹(3)(p − p1)‹(p1 − p ) :

фБЛЙН ПВТБЪПН, ОБИПДЙН

G(2)ij ("; p; p ) = V12 (2ı)3‹(p − p )G30("; p)u20 :

(9.40)

(9.41)

(9.42)

(9.43)

рПУМЕ УХННЙТПŒБОЙС РП ŒУЕН РТЙНЕУСН ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.41) ХНОПЦБЕФУС ОБ N , Б ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.43) | ОБ N 2. рПМХЮБАФУС ДŒБ ŒЛМБДБ, РТПРПТГЙПОБМШОЩЕ РЕТŒПК Й ŒФПТПК УФЕРЕОЙ ЛПОГЕОФТБГЙЙ РТЙНЕУЕК n = N=V , УППФŒЕФУФŒЕООП.

рТЙ ХУТЕДОЕОЙЙ УМЕДХАЭЙИ ЮМЕОПŒ ТБЪМПЦЕОЙС ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ РП РПФЕОГЙБМХ РТЙНЕУЕК, ФТЕФШЕК Й ВПМЕЕ ŒЩУПЛЙИ УФЕРЕОЕК, ПВПЪОБЮЕООЩИ ФПЮЛБНЙ ОБ ТЙУ. 9.11, РПУФХРЙН ФБЛ. œ ЛБЦДПН РПТСДЛЕ ŒЩДЕМЙН РТПГЕУУЩ ТБУУЕСОЙС, ЛПЗДБ ОБ ЛБЦДПК РТЙНЕУЙ ЬМЕЛФТПО ТБУУЕЙŒБЕФУС МЙВП ПДЙО ТБЪ, МЙВП ДŒБ. вПМЕЕ ŒЩУПЛЙНЙ РПТСДЛБНЙ

240

змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

ВХДЕН РТЕОЕВТЕЗБФШ, РПУЛПМШЛХ РПФЕОГЙБМ УМБВЩК. рПУМЕ ХУТЕДОЕОЙС Й УХННЙТПŒБОЙС ТСДБ, УŒПДСЭЕЗПУС, ЛБЛ ПВЩЮОП, Л ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛПК РТПЗТЕУУЙЙ, ŒЛМБДЩ ПДОПЛТБФОЩИ Й ДŒХЛТБФОЩИ РТПГЕУУПŒ ТБУУЕСОЙС ŒЩТБЦБАФУС ЛБЛ УПВУФŒЕООП-ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛБС ЮБУФШ ХУТЕДОЕООПК ЗТЙОПŒУЛПК ЖХОЛГЙЙ. еЕ ОЕФТХДОП ОБКФЙ, УТБŒОЙŒБС ŒЩТБЦЕОЙС (9.38), (9.41), Й (9.43) У ТБЪМПЦЕОЙЕН

G("; p; p ) = (2ı)3‹(p − p ) G0−1("; p) − ˚ −1

(9.44)

Œ ÒÑÄ ÐÏ ˚.

пФНЕФЙН ЕЭЕ ТБЪ, ЮФП РТЕОЕВТЕЮШ ДŒХЛТБФОЩН ТБУУЕСОЙЕН РП УТБŒОЕОЙА У ПДОПЛТБФОЩНЙ ОЕМШЪС. уПЗМБУОП ФЕПТЕНЕ ХОЙФБТОПУФЙ (УН. ЪБДБЮХ 15), ЙНЕООП ДŒХЛТБФОЩЕ РТПГЕУУЩ ТБУУЕСОЙС Й ПРТЕДЕМСАФ ВПТОПŒУЛПЕ УЕЮЕОЙЕ ТБУУЕСОЙС. дЕКУФŒЙФЕМШОП, УЕЮЕОЙЕ ТБУУЕСОЙС ТБŒОП НОЙНПК ЮБУФЙ БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС, Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ ВПТОПŒУЛБС БНРМЙФХДБ РЕТŒПЗП РПТСДЛБ ЮЙУФП ŒЕЭЕУФŒЕООБ.

œЩТБЦЕОЙЕ (9.38) ДБЕФ ŒЛМБД Œ ˚, ТБŒОЩК

˚(1) = nu0 ; (9.45)

ЗДЕ n = N=V . œЩТБЦЕОЙЕ (9.43) РПРТБŒПЛ Л ˚ ОЕ ДБЕФ. пОП РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК РТП-

УФП ЮМЕО ŒФПТПЗП РПТСДЛБ Œ ТБЪМПЦЕОЙЙ G("; p; p ) РП

˚(1)

. œËÌÁÄ ˚(1) ДЕКУФŒЙ-

ФЕМЕО Й ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ

p

. рПЬФПНХ ЕЗП НПЦОП

ЙОФЕТРТЕФЙТПŒБФШ ЛБЛ РЕТЕОПТНЙТПŒЛХ

 

 

 

 

ИЙНЙЮЕУЛПЗП РПФЕОГЙБМБ

 

 

 

 

 

— → — = — − ˚(1) :

 

(9.46)

зПТБЪДП ВПМШЫЙК ЙОФЕТЕУ РТЕДУФБŒМСЕФ ŒЛМБД ПФ ДŒХЛТБФОЩИ РТПГЕУУПŒ ТБУУЕСОЙС.

œЩТБЦЕОЙЕ (9.41) ДБЕФ

(ii) = V

|u(p − p1)|2G0(p; !) (2ı)3 :

 

˚(2)

(9.47)

 

N

d3p1

 

 

 

лБЛ НЩ ŒЙДЕМЙ Œ ЗМ. 3, У ФПЮЛЙ ЪТЕОЙС ФЕПТЙЙ ТБУУЕСОЙС ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ŒФПТПК ЮМЕО ВПТОПŒУЛПЗП ТБЪМПЦЕОЙС БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС ŒРЕТЕД. еЗП НОЙНБС ЮБУФШ, У ФПЮОПУФША ДП ЛПЬЖЖЙГЙЕОФБ, ЕУФШ РТПУФП РПМОПЕ ВПТОПŒУЛПЕ УЕЮЕОЙЕ ТБУУЕСОЙЕ, РТПРПТГЙПОБМШОПЕ ЛŒБДТБФХ ВПТОПŒУЛПК БНРМЙФХДЩ РЕТŒПЗП РПТСДЛБ, РТПЙОФЕЗТЙТПŒБООПК РП ХЗМБН.

оБКДЕН ˚(2) ДМС ‹-ЖХОЛГЙПООЩИ РТЙНЕУЕК (ДМС ЛТБФЛПУФЙ ЪОБЛ ХУТЕДОЕОЙС РП

РТЙНЕУСН ЪДЕУШ Й ДБМЕЕ ВХДЕН ПРХУЛБФШ). жХТШЕ-ТБЪМПЦЕОЙЕ РПФЕОГЙБМБ u(r) = u0‹(3)(r) ЕУФШ ЛПОУФБОФБ: u(q) = u(r)e−iqr d3r = u0. рПЬФПНХ

˚(2) =

=

|u(p − p1)|2G0(p1) (2ı)3

= u02

G0

(p1) (2ı)3 =

 

 

d3p1

 

 

 

d3p1

(2ı)3

" − ‰ + i0 sign "

= (2ı)3

V0

" − ‰ + i0 sign " =

u02

 

d3p

4ıu02

p02

 

d‰

 

4ıu02

i

2

 

=

(2ı)3 mp0(−ıi) sign " = −

2ı u0mp0 sign " :

(9.48)

Смотрите также файлы