Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ТЕЪХМШФБФ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ФЕНРЕТБФХТЩ. ьФПЗП Й УМЕДПŒБМП ПЦЙДБФШ, РПУЛПМШЛХ РТПŒПДЙНПУФШ | ПДОПЮБУФЙЮОЩК ЬЖЖЕЛФ. рПЬФПНХ, ЕУМЙ ŒТЕНС ТБУУЕСОЙС fi ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ ЬОЕТЗЙЙ, РТПŒПДЙНПУФШ ОЕ ДПМЦОБ ЪБŒЙУЕФШ ПФ ФЕРМПŒПЗП ТБЪНЩФЙС ЖЕТНЙЕŒУЛПК УФХРЕОШЛЙ.

тЕЫЕОЙЕ 52. оБН ОЕПВИПДЙНП ХУТЕДОЙФШ ЛПТТЕМСФПТ РМПФОПУФШ-РМПФОПУФШ (9.9) РП ВЕУРПТСДЛХ. оБ ЬФПФ ТБЪ, Œ ПФМЙЮЙЕ ПФ РТЕДЩДХЭЕК ЪБДБЮЙ, ХЦЕ ОЕМШЪС ЙЗОПТЙТПŒБФШ ПФМЙЮЙЕ GM GM ÏÔ GM GM . (дЕМП Œ ФПН, ЮФП ФЕРЕТШ НЩ ЙНЕЕН ДЕМП ОЕ У ŒЕЛФПТОЩНЙ ŒЕТЫЙОБНЙ, ЛБЛ РТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ЛПТТЕМСФПТБ ФПЛ{ФПЛ, Б УП УЛБМСТОЩНЙ, УППФŒЕФУФŒХАЭЙНЙ РМПФОПУФЙ ЮБУФЙГ.) œ ЗМБŒОПН РПТСДЛЕ РП РБТБНЕФТХ (p0l)−1 ЙОФЕТЕУХАЭЕЕ ОБУ УТЕДОЕЕ ДБЕФУС РПУМЕДПŒБФЕМШОПУФША МЕУФОЙЮОЩИ ДЙБЗТБНН, РПЛБЪБООПК ОБ ТЙУ 9.7.

юФПВЩ РТПУХННЙТПŒБФШ ЬФЙ ДЙБЗТБННЩ, ПВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ЛБЦДБС МЕУФОЙЮОБС ДЙБЗТБННБ ТБЪВЙŒБЕФУС ОБ ПФДЕМШОЩЕ ВМПЛЙ (ĂРХЪЩТШЛЙĄ), ПЛТХЦЕООЩЕ У ДŒХИ УФПТПО МЙОЙСНЙ РТЙНЕУЕК (ĂРЕТЕЛМБДЙОБНЙĄ). рТЙ ЬФПН ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП ЙНРХМШУБН Œ ЛБЦДПН ВМПЛЕ ОЕЪБŒЙУЙНЩ, ФБЛ ЛБЛ РТЙНЕУОБС МЙОЙС ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ РЕТЕДБООПЗП ЙНРХМШУБ. ъБНЕФЙН ФБЛЦЕ, ЮФП ЙЪ-ЪБ ЪБЛПОБ УПИТБОЕОЙС ЙНРХМШУБ ТБЪОПУФШ ЙНРХМШУПŒ Œ ЛБЦДПН ВМПЛЕ РПУФПСООБ Й ТБŒОБ ЙНРХМШУХ q, ŒИПДСЭЕНХ Œ ŒЕТЫЙОХ. лТПНЕ ФПЗП, РПУЛПМШЛХ ТБУУЕСОЙЕ ОБ РТЙНЕУСИ ХРТХЗПЕ, ЮБУФПФЩ ŒП ŒУЕИ УФХРЕОСИ МЕУФОЙГЩ РПРБТОП УПŒРБДБАФ. йОЩНЙ УМПŒБНЙ, ОЕЪБŒЙУЙНП ПФ ЮЙУМБ РЕТЕЛМБДЙО, ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РТПЙУИПДЙФ ŒУЕЗП РП ПДОПК ЮБУФПФЕ. тБУУНПФТЙН УОБЮБМБ РЕТŒЩК ЮМЕО УХННЩ (ĂРХЪЩТЕЛ ВЕЪ РЕТЕЛМБДЙОĄ). œЩТБЦЕОЙЕ ДМС ОЕЗП ŒЩЗМСДЙФ ФБЛ:

ÇÄÅ "k = (2k + 1)ıT , !n = 2nıT , p± = p ± 12 q, Б ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ, ХУТЕДОЕООЩЕ РП ВЕУРПТСДЛХ, ЙНЕАФ УФБОДБТФОЩК ŒЙД:

ЗДЕ, ЛБЛ ПВЩЮОП, ‰(p) = p2=2m −—. рТЙ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙЙ РП p, ЛБЛ ОЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.68) ДБЕФ УХЭЕУФŒЕООП ТБЪМЙЮОЩЕ ТЕЪХМШФБФЩ, Œ ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ ФПЗП, ОБИПДСФУС МЙ РПМАУЩ ДŒХИ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК РП ПДОХ ЙМЙ РП ТБЪОЩЕ УФПТПОЩ ПФ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ.

тБУУНПФТЙН ЬФПФ ŒПРТПУ ВПМЕЕ РПДТПВОП. œПУРПМШЪХЕНУС ЙЪŒЕУФОПК УŒСЪША НБГХВБТПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК У ЪБРБЪДЩŒБАЭЙНЙ Й ПРЕТЕЦБАЭЙНЙ ЖХОЛГЙСНЙ зТЙОБ:

рТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ŒЩТБЦЕОЙС (9.68), Œ ЪБŒЙУЙНПУФЙ ПФ ПФОПУЙФЕМШОПЗП ЪОБЛБ ЮБУФПФ "k É "k + !n, ŒПЪОЙЛБЕФ ДŒБ РТЙОГЙРЙБМШОП ТБЪОЩИ УМХЮБС, ЛПФПТЩЕ УМЕДХЕФ ТБУУНБФТЙŒБФШ РП{ПФДЕМШОПУФЙ.

ъОБЛ ЮБУФПФЩ ПРТЕДЕМСЕФ, ВХДЕФ МЙ УППФŒЕФУФŒХАЭБС ЗТЙОПŒУЛБС ЖХОЛГЙС ЪБРБЪ-

ДЩŒБАЭЕК ЙМЙ ПРЕТЕЦБАЭЕК. œ УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ЪОБЛЙ "k É "k + !n ПДЙОБЛПŒЩ, ŒПЪОЙЛБАФ УТЕДОЙЕ ŒЙДБ GRGR É GAGA . пОЙ ДБАФ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК УФБФЙЮЕУЛЙК ŒЛМБД

Œ ЛПТТЕМСФПТ, ОЕ ПВМБДБАЭЙК ДЙУРЕТУЙЕК РТЙ !fi ≈ 1 É |q|l ≈ 1. œ УМХЮБЕ ЦЕ ТБЪМЙЮ-

ОЩИ ЪОБЛПŒ ЮБУФПФ "k É "k + !n, РПМХЮБАФУС УТЕДОЙЕ ŒЙДБ GRGA É GAGR . пОЙ ДБАФ ФБЛ ОБЪЩŒБЕНЩК ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙК ŒЛМБД Œ ЛПТТЕМСФПТ, ПВМБДБАЭЙК УХЭЕУФŒЕООПК

ДЙУРЕТУЙЕК РТЙ !fi ≈ 1 É |q|l ≈ 1.

пВПУОПŒБОЙЕ ХФŒЕТЦДЕОЙС П ИБТБЛФЕТЕ ЮБУФПФОПК ДЙУРЕТУЙЙ УФБФЙЮЕУЛПЗП Й ЛЙОЕФЙЮЕУЛПЗП ЛПТТЕМСФПТПŒ ВХДЕФ ДБОП ОЙЦЕ. ъДЕУШ ЦЕ РТЙŒЕДЕН УМЕДХАЭЕЕ РТПУФПЕ УППВТБЦЕОЙЕ, ЛБУБАЭЕЕУС РТПУФТБОУФŒЕООПК ДЙУРЕТУЙЙ. œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБ-

œ ÔÏ ÖÅ ŒÒÅÍÑ GA(r) GR(r) exp(−|r|=l), Ф. Е. НЕДМЕООП ЪБФХИБЕФ, ОЕ ПУГЙММЙТХС. рПЬФПНХ РТПУФТБОУФŒЕООБС ДЙУРЕТУЙС УФБФЙЮЕУЛПЗП ЛПТТЕМСФПТБ ДПМЦОБ ЙНЕФШ НЕУФП РТЙ |q| ≈ p−0 1, Б ДЙОБНЙЮЕУЛПЗП | РТЙ |q| ≈ 1=l.

рЕТЕКДЕН Л ŒЩЮЙУМЕОЙА.

1. тБУУНПФТЙН УОБЮБМБ УЙФХБГЙА, ЛПЗДБ sign "k = sign("k + !n). œ ЬФПН УМХЮБЕ, РПУЛПМШЛХ РПМАУЩ ŒЩТБЦЕОЙС (9.68) ОБИПДСФУС РП ПДОХ УФПТПОХ ПФ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ, ЛПОФХТ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП ‰ НПЦОП ДЕЖПТНЙТПŒБФШ ФБЛ, ЮФПВЩ ПО РТПИПДЙМ ДБМЕЛП ПФ РПМАУПŒ. фБЛПК ЙОФЕЗТБМ ОБВЙТБЕФУС, Œ ПУОПŒОПН, Œ ПВМБУФЙ ‰ ≈ EF . рПУЛПМШЛХ ОБУ ЙОФЕТЕУХАФ |!n| EF É |q| p0, Б ТБЪДŒЙЦЛБ РПМАУПŒ Œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (9.68) ЕУФШ i!n − kv, ЬФПК ТБЪДŒЙЦЛПК НПЦОП ŒППВЭЕ РТЕОЕВТЕЮШ.

рПЬФПНХ ДПУФБФПЮОП ТБУУНПФТЕФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.68) РТЙ !n = 0 Й q = 0. œ ЬФПН УМХЮБЕ НПЦОП ŒПУРПМШЪПŒБФШУС ФПЦДЕУФŒПН G(i"; p) 2 = −@ G(i"; p) =@—, ЗДЕ РПДТБЪХНЕŒБЕФУС, ЮФП РТЙ ДЙЖЖЕТЕОГЙТПŒБОЙЙ РП — НПЦОП РТЕОЕВТЕЮШ ЪБŒЙУЙНПУФША fi ПФ —. ьФП ФПЦДЕУФŒП РПЪŒПМСЕФ РТЕДУФБŒЙФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.68) Œ ŒЙДЕ

ъБНЕФЙН ФЕРЕТШ, ЮФП УХННБ РП "k Й ЙОФЕЗТБМ РП p ДБАФ УТЕДОАА РМПФОПУФШ ЮБУФЙГ Œ УЙУФЕНЕ. рПЬФПНХ ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.72), У ФПЮОПУФША ДП ЪОБЛБ, ЕУФШ РТПУФП РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК: K0 = − = −@n=@—. фБЛПК ТЕЪХМШФБФ НПЦОП ВЩМП ВЩ РТЕДŒЙДЕФШ, РПУЛПМШЛХ Œ УФБФЙЮЕУЛПН РТЕДЕМЕ ! = 0 ЛПТТЕМСФПТ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ ДПМЦЕО ДБŒБФШ УЦЙНБЕНПУФШ, Ф. Е. ФЕТНПДЙОБНЙЮЕУЛХА РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК.

2. фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН УМХЮБК sign "k = − sign("k + !n). рТЙ ЬФПН, РПУЛПМШЛХ РПМАУЩ РПДЙОФЕЗТБМШОПЗП ŒЩТБЦЕОЙС Œ (9.68) ОБИПДСФУС РП ТБЪОЩЕ УФПТПОЩ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ, ЙОФЕЗТБМ (9.68) ПРТЕДЕМСЕФУС НБМПК ПЛТЕУФОПУФША РПŒЕТИОПУФЙ жЕТНЙ.

оБРТЙНЕТ, РХУФШ !n > 0 É −!n < "k < 0. дМС ДБМШОЕКЫЕЗП РПМЕЪОП ТБУУНПФТЕФШ ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.68) ВЕЪ УХННЙТПŒБОЙС РП "k :

бОБМПЗЙЮОП, РТЙ !n < 0 É 0 < "k < −!n ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.72), ОЕРТПУХННЙТПŒБООПЕ РП

фЕРЕТШ ŒУЕ ЗПФПŒП ДМС ФПЗП, ЮФПВЩ ОБКФЙ УХННХ МЕУФОЙЮОПЗП ТСДБ ДЙБЗТБНН, ЙЪПВТБЦЕООЩИ ОБ ТЙУ. 9.7. рТЙНЕУОБС МЙОЙС (ĂРЕТЕЛМБДЙОБ МЕУФОЙГЩĄ) ДБЕФУС ŒЩТБЦЕОЙЕН nu20 = 1=(2ı 0fi ).

рПУЛПМШЛХ ŒУЕ УФХРЕОЙ МЕУФОЙГЩ УПŒЕТЫЕООП ПДЙОБЛПŒЩ, ХДПВОП ТБУУНПФТЕФШ ŒУЕЗП ПДОХ УФХРЕОШ, ЙЪПВТБЦБАЭХАУС ФБЛПК ДЙБЗТБННПК:

B

òÉÓ. 9.15

(нЩ ОЕ ŒЛМАЮБЕН РТЙНЕУОЩЕ МЙОЙЙ Œ ПРТЕДЕМЕОЙЕ УФХРЕОЙ.) оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП РПМХЮБАЭЕЕУС ŒЩТБЦЕОЙЕ ПЛБЪЩŒБЕФУС ФПЮОП ФБЛЙН ЦЕ, ЛБЛ ТБУУНПФТЕООПЕ ŒЩЫЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС РЕТŒПК УФХРЕОЙ, ОЕРТПУХННЙТПŒБООПЕ РП "k . рПЬФПНХ, ЛБЛ Й ŒЩЫЕ, ТБУУНПФТЙН РП ПФДЕМШОПУФЙ УФБФЙЮЕУЛЙК Й ЛЙОЕФЙЮЕУЛЙК УМХЮБЙ, ЛПЗДБ ЪОБЛЙ "k +!n

É"k УПŒРБДБАФ, Й ЛПЗДБ ПОЙ ТБЪМЙЮОЩ.

œРЕТŒПН УМХЮБЕ, ЛБЛ ОЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, УХННЙТПŒБОЙЕ МЕУФОЙЮОПЗП ТСДБ ДБЕФ ОЕУХЭЕУФŒЕООХА РПРТБŒЛХ Л РЕТŒПНХ ЮМЕОХ K0 = − , РПМХЮЕООПНХ ŒЩЫЕ. дЕКУФŒЙФЕМШОП, ЕУМЙ ЪОБЛЙ "k +!n É "k УПŒРБДБАФ, ФП РПМАУЩ ŒУЕИ ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК ОБИПДСФУС РП ПДОХ Й ФХ ЦЕ УФПТПОХ ŒЕЭЕУФŒЕООПК ПУЙ. рПЬФПНХ, ЛБЛ Й РТЙ ТБУУНПФТЕОЙЙ РЕТŒПЗП ЮМЕОБ ТСДБ, НПЦОП РПМПЦЙФШ !n = 0 Й q = 0. фПЗДБ ŒЕУШ ТСД УŒПТБЮЙŒБЕФУС Œ

РТПЙЪŒПДОХА ПФ ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ РП ИЙНЙЮЕУЛПНХ РПФЕОГЙБМХ —. (уХННБ ЮМЕОПŒ МЕУФОЙЮОПЗП ТСДБ, ОБЮЙОБС УП ŒФПТПЗП, ДБЕФ ŒЛМБД, УŒСЪБООЩК У ЪБŒЙУЙНПУФША БНРМЙФХДЩ ТБУУЕСОЙС ОБ РТЙНЕУЙ ПФ ЬОЕТЗЙЙ —, ЛПФПТЩН НЩ РТЕОЕВТЕЗМЙ ŒЩЫЕ.)

б ŒПФ ŒП ŒФПТПН УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ЪОБЛЙ "k + !n É "k ТБЪМЙЮОЩ, ŒУЕ ЮМЕОЩ МЕУФОЙЮОПЗП ТСДБ, ŒЛМАЮБС РТПЙЪŒПМШОП ДБМЕЛЙЕ, ПЛБЪЩŒБАФУС ПДЙОБЛПŒП ŒБЦОЩНЙ. юФПВЩ РПОСФШ, РПЮЕНХ ФБЛ РПМХЮБЕФУС, ТБУУНПФТЙН УОБЮБМБ УМХЮБК q = 0, Й РПЛБЦЕН, ЮФП УХННБ МЕУФОЙЮОПЗП ТСДБ Œ ФПЮОПУФЙ УПЛТБЭБЕФ ŒЛМБД − , ТБУУНПФТЕООЩК ŒЩЫЕ.

дЕКУФŒЙФЕМШОП, РТЙ q = 0 ПДОБ УФХРЕОШ МЕУФОЙГЩ ЕУФШ B(!n)q=0 = 2ı 0=(|!n| + 1=fi ). œЕУШ ЦЕ ТСД Œ ГЕМПН ДБЕФУС УХННПК ЗЕПНЕФТЙЮЕУЛПК РТПЗТЕУУЙЙ:

фПЦДЕУФŒЕООПЕ УПЛТБЭЕОЙЕ K = K0+K1 = 0, РПМХЮБАЭЕЕУС РТЙ q = 0, ЙНЕЕФ РТПУФПК ЖЙЪЙЮЕУЛЙК УНЩУМ. лПТТЕМСФПТ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ РТЙ q = 0 Й ! = 0 ПРЙУЩŒБЕФ ПФЛМЙЛ ЬМЕЛФТПООПК РМПФОПУФЙ ОБ ОЕЪБŒЙУСЭЙК ПФ ЛППТДЙОБФ РЕТЕНЕООЩК ŒОЕЫОЙК РПФЕОГЙБМ. пЮЕŒЙДОП, ЮФП РПУЛПМШЛХ РПМОПЕ ЮЙУМП ЮБУФЙГ УПИТБОСЕФУС, Б ŒОЕЫОЙК РПФЕОГЙБМ ПДЙО Й ФПФ ЦЕ ŒП ŒУЕИ ФПЮЛБИ РТПУФТБОУФŒБ, ПФЛМЙЛБ РМПФОПУФЙ Œ ПФŒЕФ ОБ ФБЛПЕ ŒПЪНХЭЕОЙЕ ВЩФШ ОЕ ДПМЦОП. рПЬФПНХ ХЛБЪБООПЕ УПЛТБЭЕОЙЕ ŒЩТБЦБЕФ УПИТБОЕОЙЕ ЮЙУМБ ЮБУФЙГ Œ УЙУФЕНЕ.

фЕРЕТШ РПŒФПТЙН ŒЩЮЙУМЕОЙЕ МЕУФОЙЮОПЗП ТСДБ РТЙ q=0. œЩТБЦЕОЙЕ B(!n; q) ЙОФЕТЕУХЕФ ОБУ РТЙ |!n|fi; |q|l 1, Й РПЬФПНХ ЕЗП НПЦОП ТБЪМПЦЙФШ:

лБЛ Й ŒЩЫЕ, РТЙ q = 0 ŒЩЮЙУМЕОЙЕ ТСДБ УŒПДЙФУС Л УХННЙТПŒБОЙА ЗЕПНЕФТЙЮЕ-

рПМОЩК ПФŒЕФ ДМС ЛПТТЕМСФПТБ РМПФОПУФШ{РМПФОПУФШ ДБЕФУС УХННПК ДŒХИ УМБЗБЕНЩИ:

ЮФП Й ФТЕВПŒБМПУШ РПЛБЪБФШ.

фПЮОПЕ ЪОБЮЕОЙЕ B(!n; q) ПЛБЪЩŒБЕФУС РПМЕЪОЩН Œ ТЕЦЙНЕ ВБММЙУФЙЮЕУЛПК ДЙОБНЙЛЙ: !fi 1 ÉÌÉ |q|l 1. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ, ЮФП РТЙ ФБЛЙИ ! É q ŒЕМЙЮЙОБ B=(2ı 0fi ) ОЕ ВМЙЪЛБ Л ЕДЙОЙГЕ, Й РПЬФПНХ ЮМЕОЩ МЕУФОЙЮОПЗП ТСДБ ДПУФБФПЮОП ВЩУФТП ХВЩŒБАФ. йЪ-ЪБ ЬФПЗП ТСД ПЛБЪЩŒБЕФУС ВЩУФТП УИПДСЭЙНУС, Й УХЭЕУФŒЕООЩК ŒЛМБД ДБЕФ ФПМШЛП РЕТŒЩК ЮМЕО.

пУФБОПŒЙНУС ОБ УППФŒЕФУФŒЙЙ НЕЦДХ ДЙЖЖХЪЙПООПК МЕУФОЙГЕК Й ЛМБУУЙЮЕУЛПК ЛБТФЙОПК ДЙЖЖХЪЙЙ. йЪ РТПДЕМБООЩИ ŒЩЮЙУМЕОЙК СУОП, ЮФП ПФДЕМШОБС УФХРЕОШ МЕУФОЙГЩ B(!n; q) УППФŒЕФУФŒХЕФ ФТБЕЛФПТЙЙ ЮБУФЙГЩ, ДŒЙЦХЭЕКУС РП РТСНПК НЕЦДХ ДŒХНС РТЙНЕУСНЙ. юФПВЩ РТПДЕНПОУФТЙТПŒБФШ ЬФП ВПМЕЕ СŒОП, РЕТЕКДЕН ПФ НБГХВБТПŒУЛЙИ ЮБУФПФ Й ŒТЕНЕОЙ Л ПВЩЮОЩН. œЩТБЦЕОЙЕ ДМС B(!; q) НПЦЕФ ВЩФШ РПМХЮЕОП ЙЪ (9.80) БОБМЙФЙЮЕУЛЙН РТПДПМЦЕОЙЕН i!n → ! (n > 0):

фЕРЕТШ ЪБРЙЫЕН ŒЕМЙЮЙОХ B(!; q) Œ ЛППТДЙОБФОП-ŒТЕНЕООПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ. уДЕМБФШ ЬФП НПЦОП, МЙВП ЙУРПМШЪХС ŒЩТБЦЕОЙС (9.18) ДМС ЗТЙОПŒУЛЙИ ЖХОЛГЙК Œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, МЙВП ŒЪСŒ ЖХТШЕ-ПВТБЪ ФПЮОПЗП ŒЩТБЦЕОЙС (9.81):

оЕФТХДОП ŒЙДЕФШ, ЮФП ЬФП ЕУФШ РТПУФП ŒЕТПСФОПУФШ ФПЗП, ЮФП ЮБУФЙГБ РТПМЕФЙФ ŒТЕНС t РПУМЕ УФПМЛОПŒЕОЙС У РТЙНЕУША, ОЕ УФПМЛОХŒЫЙУШ У ДТХЗЙНЙ РТЙНЕУСНЙ. œЕМЙЮЙОБ B(t; r) РТБŒЙМШОП ОПТНЙТПŒБОБ:

рПЬФПНХ ŒЕМЙЮЙОЩ fi Й l, ŒŒЕДЕООЩЕ ŒЩЫЕ, ЕУФШ Œ ФПЮОПУФЙ ЛМБУУЙЮЕУЛЙЕ ŒТЕНС Й ДМЙОБ УŒПВПДОПЗП РТПВЕЗБ.

пФНЕФЙН МАВПРЩФОПЕ ЖПТНБМШОПЕ УИПДУФŒП НЕЦДХ РТЙŒЕДЕООЩН ŒЩЫЕ ŒЩŒПДПН K(!; q) Й ŒЩЮЙУМЕОЙЕН ТБУРТЕДЕМЕОЙС ŒЕТПСФОПУФЕК ДМС УМХЮБКОЩИ ВМХЦДБОЙК Œ ЪБДБЮЕ 9. зЕПНЕФТЙЮЕУЛБС РТПЗТЕУУЙС, ЛПФПТХА РТЙИПДЙФУС УХННЙТПŒБФШ Й Œ ФПН, Й Œ ДТХЗПН УМХЮБЕ, УППФŒЕФУФŒХЕФ УХННЕ РП УМХЮБКОЩН РХФСН У ТБЪМЙЮОЩН ЮЙУМПН ЫБЗПŒ. лБЦДПНХ ЫБЗХ УФБŒЙФУС Œ УППФŒЕФУФŒЙЕ ĂПДОПЫБЗПŒЩК ЖПТНЖБЛФПТĄ: B(!; q) | Œ УМХЮБЕ ДЙЖЖХЪЙЙ, nz (cos q1 + : : : + cos qn) | Œ УМХЮБЕ ВМХЦДБОЙК РП n-НЕТОПК ТЕЫЕФЛЕ, РТЙЮЕН ŒЙДОП, ЮФП z ЙНЕЕФ УНЩУМ ei!. (вПМЕЕ ФПЮОП, z = ei!fi0 , ÇÄÅ fi0 = 1 | ŒТЕНС, ЪБ ЛПФПТПЕ ДЕМБЕФУС ПДЙО ЫБЗ.) юФПВЩ РЕТЕКФЙ Л ДЙЖЖХЪЙПООПНХ РТЕДЕМХ Œ ЪБДБЮЕ П ВМХЦДБОЙСИ РП ТЕЫЕФЛЕ, ТБУУНПФТЙН ! 1 É qi 1. рТЙ ФБЛЙИ ! É qi НПЦОП РТПУФП ТБЪМПЦЙФШ

фБЛЙН ПВТБЪПН, ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ДЙЖЖХЪЙЙ ДМС ВМХЦДБОЙК РП n-НЕТОПК ТЕЫЕФЛЕ ТБŒЕО (2n)−1.