Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 853

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

9.5. теыеойс

 

 

255

ŒЩДЕМСС ЛХРЕТПООЩК ŒЛМБД (Ф. Е. ŒЕЕТОЩЕ ЗТБЖЙЛЙ). œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮЙН

‹ ¸˛ = m2!

!=2

2ı

p¸(q˛ − p˛ ) C(!; q) ×

 

e2

 

d"

 

−!=2

d2q d2p GR("+; p) GR("+; q − p) GA("−; p) GA("−; q − p) (2ı)2 (2ı)2 :

йОФЕЗТЙТХЕН РП p, УЮЙФБС q НБМЩН:

‹ = −

2

2! F

(2ı)2

!=2

2ı

("

 

‰ + i=C2fi )2

(" ‰

 

i=2fi )2

(9.95)

 

 

 

 

2

D e2v2

d2q

 

d"

 

 

(!; q) d‰

 

 

 

 

 

 

 

−!=2

 

 

−

 

−

−

 

 

(ЪДЕУШ 2D = m=2ı | РМПФОПУФШ УПУФПСОЙК Œ ДŒХНЕТЙЙ У ПДОПК РТПЕЛГЙЕК УРЙОБ). œЩЮЙУМСС ЙОФЕЗТБМ РП ‰ Й ", ОБИПДЙН

‹ = −

4

 

2D

2

F

C(!; q) 4ı2 :

(9.96)

 

 

 

e2

fi 3v2

d2q

 

фЕРЕТШ ŒЩЮЙУМЙН C(!; q). дМС ЬФПЗП ŒОБЮБМЕ ОБКДЕН, ЮЕНХ ТБŒОБ УФХРЕОШ ЛХРЕ-

ТПООПК МЕУФОЙГЩ:

(" + !=2 − ‰p + i=2fi ) (" − !=2 − ‰q−p − i=2fi ) (2ı)2 :

 

Bc =

(9.97)

 

1

d2p

 

уЮЙФБС q НБМЩН Й ЪБНЕОСС РПЬФПНХ ‰q−p ≈ ‰p −qv, ФПЮОП ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ Й Œ ЪБДБЮЕ 52, РПМХЮЙН

Bc(!; q) = 2ı 2D fi (1 + fi (i! − Dq2)) ;

(9.98)

ÇÄÅ ÎÁ ÜÔÏÔ ÒÁÚ D = vF2 fi =2 { ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ДЙЖЖХЪЙЙ Œ ТБЪНЕТОПУФЙ 2. лБЛ Й Œ УМХЮБЕ ДЙЖЖХЪЙПООПК МЕУФОЙГЩ, ОБЙВПМЕЕ УХЭЕУФŒЕООПК ПЛБЪЩŒБЕФУС ПВМБУФШ !fi 1,

|q|

l

16

 

 

 

 

 

1, ŒОЕ ЕЕ УМБВПМПЛБМЙЪБГЙПООЩЕ РПРТБŒЛЙ ОЕУХЭЕУФŒЕООЩ. уБНБ ЦЕ МЕУФОЙГБ

ÒÁŒÎÁ

Bc + 2ı 2D fi + · · ·

:

(9.99)

 

 

C(!; q) = (2ı 2D fi )2

 

 

1

B2

 

 

 

 

 

 

c

 

 

 

фБЛЙН ПВТБЪПН,

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C(!; q) = 2ı 2D fi 2(−i! + Dq2)

:

 

(9.100)

пУФБМПУШ МЙЫШ РПДУФБŒЙФШ ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ Œ (9.96):

 

 

 

 

 

De2

d2

 

 

(9.101)

 

 

‹ = − 2ı3

Dq2 q i! :

 

 

 

 

 

−

 

 

 

16нПЦОП РТПŒЕТЙФШ, ЮФП ОЕЪБŒЙУЙНП ПФ ТБЪНЕТОПУФЙ РТПУФТБОУФŒБ d РТЙНЕУОБС МЙОЙС ŒУЕЗДБ ТБŒОБ 1=(2ı dfi ), РПУЛПМШЛХ ПОБ РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК УЕЮЕОЙЕ ТБУУЕСОЙС ОБ РТЙНЕУЙ, ŒЪСФПЕ Œ ЬОЕТЗЕФЙЮЕУЛПК ОПТНЙТПŒЛЕ (УН. ЪБДБЮХ 11).

256

змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

ьФПФ ЙОФЕЗТБМ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ ТБУИПДЙФУС. уОЙЪХ ПО ПВТЕЪБЕФУС ОБ ПВТБФОПК ДЙЖ-

'

ЖХЪЙПООПК ДМЙОЕ qmin = !=D, Á ÓŒÅÒÈÕ | ÎÁ qmax ≈ 1=l, ÉÂÏ ÐÒÉ |q|l 1 МЕУФОЙЮОЩК ТСД НБМ. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕН ЛŒБОФПŒХА РПРТБŒЛХ Л РТПŒПДЙНПУФЙ:

‹ (!) = −

e2

1

:

 

2ı2h— ln

!fi

(9.102)

йОФЕТЕУОП ПФНЕФЙФШ, ЮФП МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛБС УЙОЗХМСТОПУФШ ЛŒБОФПŒПК РПРТБŒЛЙ ОБ НБМПК ЮБУФПФЕ ! ОЕ ТБЪНЩŒБЕФУС РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ. жПТНБМШОП ЬФП РТПСŒМСЕФУС Œ ФПН, ЮФП Œ РТЙŒЕДЕООПН ŒЩЫЕ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ, ŒЩРПМОЕООПН РТЙ ЛПОЕЮОПК ФЕНРЕТБФХТЕ, Œ ЛПОГЕ ЛПОГПŒ ФЕНРЕТБФХТБ РПМОПУФША ŒЩРБДБЕФ. (фПЮОП ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ РТЙ ŒЩŒПДЕ ЛМБУУЙЮЕУЛПК ЖПТНХМЩ дТХДЕ Œ ЪБДБЮЕ 51.) жЙЪЙЮЕУЛБС РТЙЮЙОБ ЬФПЗП ФБ ЦЕ, ЮФП Й Œ ЪБДБЮЕ 51 | ПДОПЮБУФЙЮОЩК ИБТБЛФЕТ РТПŒПДЙНПУФЙ Œ УМХЮБЕ ХРТХЗПЗП ТБУУЕСОЙС. рТЙ ХРТХЗПН ТБУУЕСОЙЙ УПУФПСОЙС У ТБЪМЙЮОЩНЙ ЬОЕТЗЙСНЙ ОЕ РЕТЕНЕЫЙŒБАФУС Й, РПЬФПНХ, УФЕРЕОШ ТБЪНЩФЙС ЖЕТНЙЕŒУЛПК УФХРЕОШЛЙ ОЕУХЭЕУФŒЕООБ. пДОБЛП, ЕУМЙ Œ УЙУФЕНЕ ЙНЕЕФУС ЛБЛПЕ-МЙВП ОЕХРТХЗПЕ ТБУУЕСОЙЕ, УЛБЦЕН, ЙЪ-ЪБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС У ЬМЕЛФТПОБНЙ ЙМЙ ЖПОПОБНЙ, УЙОЗХМСТОПУФШ ЛŒБОФПŒПК РПРТБŒЛЙ ОБ НБМПК ЮБУФПФЕ ТБЪНЩŒБЕФУС (УН. ТБЪД. 9.4).

дТХЗПЕ МАВПРЩФОПЕ УŒПКУФŒП ЛŒБОФПŒПК РПРТБŒЛЙ | ЕЕ МПЛБМШОЩК ИБТБЛФЕТ Œ РТПУФТБОУФŒЕ. еУМЙ ТБУУНПФТЕФШ РТПŒПДЙНПУФШ ОБ ЛПОЕЮОПН ŒПМОПŒПН ŒЕЛФПТЕ, ФП РТПУФТБОУФŒЕООБС ДЙУРЕТУЙС ЛŒБОФПŒПК РПРТБŒЛЙ ВХДЕФ ЙНЕФШ НЕУФП РТЙ |q| ≈ p0, Œ ФП ŒТЕНС ЛБЛ ДМС ЛМБУУЙЮЕУЛПК РТПŒПДЙНПУФЙ дТХДЕ ДЙУРЕТУЙС ЗПТБЪДП УЙМШОЕЕ: |q| ≈ 1=l. рТЙЮЙОБ ЬФПЗП Œ ФПН, ЮФП, ЛБЛ НЩ ŒЙДЕМЙ Œ ЪБДБЮЕ 53, ЙОФЕТЖЕТЕОГЙПООЩК ŒЛМБД Œ ŒЕТПСФОПУФШ ТБУУЕСОЙС ОБЪБД УРБДБЕФ ОБ ПЮЕОШ НБМЩИ НБУЫФБВБИ ≈ p−0 1. рПУЛПМШЛХ ТБУУЕСОЙЕ ОБЪБД | ЬФП Й ЕУФШ НЕИБОЙЪН ŒПЪОЙЛОПŒЕОЙС ЛŒБОФПŒПК РПРТБŒЛЙ, ПОБ ФПЦЕ ДПМЦОБ ЙНЕФШ НБУЫФБВ МПЛБМШОПУФЙ РПТСДЛБ p−0 1. œ ФП ЦЕ ŒТЕНС ЛМБУУЙЮЕУЛБС РТПŒПДЙНПУФШ ПРТЕДЕМСЕФУС ТБУУЕСОЙЕН ОБ (ВПМШЫПК) ДМЙОЕ УŒПВПДОПЗП РТПВЕЗБ Й РПЬФПНХ ЕЕ РТПУФТБОУФŒЕООБС ДЙУРЕТУЙС ОБНОПЗП УЙМШОЕЕ.

тЕЫЕОЙЕ 55. оБКДЕН ЪБŒЙУЙНПУФШ ЛŒБОФПŒПК РПРТБŒЛЙ ПФ НБЗОЙФОПЗП РПМС Œ ФТЕИНЕТОПН УМХЮБЕ. ьФП НПЦОП УДЕМБФШ У РПНПЭША УППФОПЫЕОЙС (9.96), ЛПФПТПЕ Œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ РТЙОЙНБЕФ УМЕДХАЭЙК ŒЙД: 17

‹ = −4e2 0fi 2D C(!; r = r ) :

(9.103)

œЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЛХРЕТПОБ C(!; r; r ) Œ РТЙУХФУФŒЙЙ НБЗОЙФОПЗП РПМС НПЦОП РПМХЮЙФШ УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН. лБМЙВТПŒПЮОБС ЙОŒБТЙБОФОПУФШ ФТЕВХЕФ, ЮФПВЩ РТЙ ŒЛМАЮЕОЙЙ НБЗОЙФОПЗП РПМС РТПЙЪŒПДОЩЕ РП ЛППТДЙОБФБН Œ ХТБŒОЕОЙЙЙ ДМС ЛХРЕТПОБ ЙЪНЕОСМЙУШ РП ФБЛПНХ ЪБЛПОХ:

2e

A

 

−i → −i − c

(9.104)

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП Œ ЛБМЙВТПŒПЮОП ЙОŒБТЙБОФОПН ŒЩТБЦЕОЙЙ (9.104) РПСŒМСЕФУС ХДŒПЕООЩК ЪБТСД ЬМЕЛФТПОБ. ьФП УŒСЪБОП У ФЕН, ЮФП ЛХРЕТПО ПРЙУЩŒБЕФ ЙОФЕТЖЕТЕОГЙА ДŒХИ ЬМЕЛФТПООЩИ ŒПМО, ТБУРТПУФТБОСАЭЙИУС РП ПДОПНХ Й ФПНХ ЦЕ

9.5. теыеойс

257

РХФЙ Œ РТСНПН Й ПВТБФОПН ОБРТБŒМЕОЙСИ.

фЕРЕТШ, ЮФПВЩ РПМХЮЙФШ ХТБŒОЕОЙЕ ДМС ЛХРЕТПОБ, ŒПУРПМШЪХЕНУС УППФОПЫЕОЙЕН (9.100), РПНОПЦЙŒ ПВЕ ЕЗП ЮБУФЙ ОБ −i! + Dq2. œ ЛППТДЙОБФОПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ, УПЗМБУОП (9.104), УМЕДХЕФ ЪБНЕОЙФШ q ОБ −i − 2e=cA. рПФЕТА ЖБЪПŒПК ЛПЗЕТЕОФОПУФЙ НПЦОП ХЮЕУФШ Œ ХТБŒОЕОЙЙ ДМС ЛХРЕТПОБ ЖЕОПНЕОПМПЗЙЮЕУЛЙ, УДŒЙОХŒ ЮБУФПФХ −i! ОБ ŒЕМЙЮЙОХ fi’−1, ФБЛ ЮФПВЩ ПДОПТПДОПЕ ТЕЫЕОЙЕ ЬФПЗП ХТБŒОЕОЙС ЪБФХИБМП ЛБЛ exp(−t=fi’). фБЛЙН ПВТБЪПН, НЩ РТЙИПДЙН Л УМЕДХАЭЕНХ ХТБŒОЕОЙА:

−i! + D −i − c

A(r)

+ fi’ C(!; r; r ) =

2ı 0fi 2 ‹(r − r )

(9.105)

2e

2

1

1

 

 

 

œ ЛПОЕЮОПК УЙУФЕНЕ ХТБŒОЕОЙЕ (9.105) ДПМЦОП ВЩФШ ДПРПМОЕОП ЗТБОЙЮОЩНЙ ХУМПŒЙСНЙ. œ УМХЮБЕ ОЕРТПОЙГБЕНПК ЗТБОЙГЩ РПФПЛ ЮБУФЙГ ЮЕТЕЪ ЗТБОЙГХ ДПМЦЕО ПФУХФУФŒПŒБФШ. уППФŒЕФУФŒХАЭЕЕ ЗТБОЙЮОПЕ ХУМПŒЙЕ ЪБРЙУЩŒБЕФУС ФБЛ:

@

+

2ie

n · A

C(!; r; r ) = 0

(9.106)

@n

c

ЗДЕ n | ЕДЙОЙЮОЩК ŒЕЛФПТ ОПТНБМЙ Л ЗТБОЙГЕ. пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ŒЕЛФПТОЩК РПФЕОГЙБМ ŒИПДЙФ ОЕ ФПМШЛП Œ ХТБŒОЕОЙЕ ДМС ЛХРЕТПОБ, ОП Й Œ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС РПФПЛБ.

œ ЛБЮЕУФŒЕ РТПУФЕКЫЕЗП РТЙНЕОЕОЙС ХТБŒОЕОЙС (9.105) ТБУУНПФТЙН ЛŒБОФПŒХА РПРТБŒЛХ Л РТПŒПДЙНПУФЙ ВЕУЛПОЕЮОПЗП ФТЕИНЕТОПЗП НЕФБММБ Œ ПДОПТПДОПН НБЗОЙФОПН РПМЕ B. œ ЬФПН УМХЮБЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ (9.105) ЙНЕЕФ ŒЙД ХТБŒОЕОЙС ОБ ЖХОЛГЙА зТЙОБ ДМС ЮБУФЙГЩ У ЪБТСДПН e = 2e Й НБУУПК m = h—2=2D, ОБИПДСЭЕКУС Œ РПМЕ B. уПВУФŒЕООЩЕ ЪОБЮЕОЙС Й УПВУФŒЕООЩЕ ЖХОЛГЙЙ ЬФПК ЪБДБЮЙ ИПТПЫП ЙЪŒЕУФОЩ (ОБРТЙНЕТ, УН. [2], § 112). рПЬФПНХ НПЦОП УТБЪХ ЪБРЙУБФШ ТЕЫЕОЙЕ Œ ФБЛПН ŒЙДЕ:

C(!; r; r ) =

1

 

 

¸;n(r) ¸;n(r )

 

1 ;

(9.107)

2ı fi 2

−

i! + Dq2

+ ˙ (n +

1 ) +

 

 

z

 

2

fi’

 

 

0 n;¸

 

 

 

 

 

 

ЗДЕ ˙ = he— B=m c = 4eDB=hc— ЕУФШ ĂГЙЛМПФТПООБС ЮБУФПФБĄ, Б

¸;n(r) | УПВУФŒЕО-

ОЩЕ ЖХОЛГЙЙ, УППФŒЕФУФŒХАЭЙЕ ХТПŒОСН мБОДБХ (¸ | ЛŒБОФПŒПЕ ЮЙУМП, ТБЪМЙЮБАЭЕЕ УПУФПСОЙС ОБ ПДОПН ХТПŒОЕ мБОДБХ, ОБРТЙНЕТ, ЙНРХМШУ). йЪ-ЪБ ЖХОЛГЙК ¸;n УХННБ Œ (9.107) ŒЩЗМСДЙФ ŒЕУШНБ ХУФТБЫБАЭЕ. оП ОБУ, ЛБЛ УМЕДХЕФ ЙЪ 18 (9.103), ОБ УБНПН ДЕМЕ ЙОФЕТЕУХЕФ ЛХРЕТПО Œ УПŒРБДБАЭЙИ ФПЮЛБИ. рТЙ r = r ЛХРЕТПО ОЕ ДПМЦЕО ЪБŒЙУЕФШ ПФ БВУПМАФОПЗП ТБУРПМПЦЕОЙС ФПЮЕЛ r Й r . рПЬФПНХ, ХУТЕДОСС РП РПМПЦЕОЙА

r Œ ПВ ЕНЕ РТПŒПДОЙЛБ V

Й ЙУРПМШЪХС ХУМПŒЙЕ ПТФПОПТНЙТПŒБООПУФЙ УПВУФŒЕООЩИ

ЖХОЛГЙК, РПМХЮБЕН

 

 

 

i! + Dqz2 + ˙ (n +

21 ) + fi1’

:

(9.108)

V

C(!; r = r ) d3r = 2ı 0fi 2V n;¸

−

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

17еУМЙ ŒЩТБЪЙФШ ЛŒБДТБФ ЖЕТНЙЕŒУЛПК УЛПТПУФЙ Œ (9.96) ЮЕТЕЪ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ДЙЖЖХЪЙЙ D = 13 vF2 fi , ФП ЪБŒЙУСЭЙЕ ПФ ТБЪНЕТОПУФЙ НОПЦЙФЕМЙ УПЛТБЭБАФУС, Й ЖПТНХМБ (9.103) ПЛБЪЩŒБЕФУС УРТБŒЕДМЙŒПК Œ РТПЙЪŒПМШОПК ТБЪНЕТОПУФЙ.

18йОФЕЗТЙТПŒБОЙЕ РП q Œ (9.107) ЬЛŒЙŒБМЕОФОП ХУМПŒЙА r = r .

258

змбœб 9. ьмелфтпощ œ умхюбкопн рпфеогйбме

уХННЙТПŒБОЙЕ РП ¸ (ФП ЕУФШ УХННЙТПŒБОЙЕ Œ РТЕДЕМБИ ПДОПЗП ХТПŒОС мБОДБХ) НПЦОП МЕЗЛП ŒЩРПМОЙФШ, ЙУРПМШЪПŒБŒ ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЮЙУМБ УПУФПСОЙК ОБ ХТПŒОЕ мБОДБХ (УН. [2]):

e BV

dN = (2ı)2hc— dqz

фБЛЙН ПВТБЪПН, РПМХЮБЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ ДМС ЛХРЕТПОБ Œ УПŒРБДБАЭЙИ ФПЮЛБИ:

C(!; r = r ) = 4ı2 0hcfi— 2

 

2ı

n

i! + Dqz2

+ ˙ (n + 21 ) + fi1’

:

eB

 

 

dqz

 

−

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

у ХЮЕФПН ЬФПЗП РПРТБŒЛБ Л РТПŒПДЙНПУФЙ (9.103) ТБŒОБ

21 ) + fi1’ :

 

‹ = − ı2hc—

 

2ı

 

n

i! + Dqz2 + ˙ (n +

 

De3B

 

dqz

−

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(9.109)

(9.110)

(9.111)

œ ДБМШОЕКЫЙИ ŒЩЛМБДЛБИ НЩ ДМС РТПУФПФЩ ПРХУФЙН ЮБУФПФХ ŒОЕЫОЕЗП РПМС !. œЩЮЙУМЙН ЙОФЕЗТБМ РП qz :

 

√De3B

 

1

+ x

; x =

1

hc—

 

‹ = −

 

'n + 2

 

fi’

= 4eBDfi’ :

(9.112)

2ı2hc— √˙

n

1

 

˙

рПМХЮЕООБС УХННБ ТБУИПДЙФУС ОБ ŒЕТИОЕН РТЕДЕМЕ. пЮЕŒЙДОП, ЬФП Œ ФПЮОПУФЙ ФБ ЦЕ ТБУИПДЙНПУФШ, ЮФП Й Œ ЪБДБЮЕ 54 РТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ЙОФЕЗТБМБ РП q, Й РПЬФПНХ Еč УМЕДХЕФ ПВТЕЪБФШ ОБ |q| РПТСДЛБ ПВТБФОПК ДМЙОЩ УŒПВПДОПЗП РТПВЕЗБ. дМС ЬФПЗП ПВПТŒЕН УХННХ (9.112) ОБ ОЕЛПФПТПН nmax , ПРТЕДЕМСЕНПН УППФОПЫЕОЙЕН

˙ nmax ≈ D=l2

(9.113)

(˙ nmax ЕУФШ УПВУФŒЕООПЕ ЪОБЮЕОЙЕ ПРЕТБФПТБ Œ (9.107), ЛПФПТПЕ ОЕ ДПМЦОП РТЕŒЩЫБФШ D=l2). фПЗДБ УХННБ ТБŒОБ 2√nmax , Й РПРТБŒЛБ ДБčФУС ŒЩТБЦЕОЙЕН

 

 

e22

(eB

 

2√nmax

 

2

 

‹ (0) =

−

·

≈ −

e2

:

(9.114)

 

4ı

hc—

 

4ı

hl—

 

ьФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ОЙ ПФ fi’, ОЙ ПФ НБЗОЙФОПЗП РПМС, РПУЛПМШЛХ ПОП ПРТЕДЕМСЕФУС НБМЩНЙ НБУЫФБВБНЙ РПТСДЛБ l. йОФЕТЕУОЩЕ ЬЖЖЕЛФЩ (ЪБŒЙУЙНПУФШ ПФ НБЗОЙФОПЗП РПМС Й Ф. Р.) ПРТЕДЕМСАФУС ВПМШЫЙНЙ НБУЫФБВБНЙ Й РТЕДУФБŒМСАФ УПВПК РПРТБŒЛЙ Л (9.114).

пВТЕЪБОЙЕ УХННЩ РПУМЕ ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП qz НПЦЕФ РПЛБЪБФШУС ŒОЙНБФЕМШОПНХ ЮЙФБФЕМА ОЕЛПТТЕЛФОЩН, РПУЛПМШЛХ РТЙ ЬФПН ДПРХУЛБАФУС ЛБЛ ХЗПДОП ВПМШЫЙЕ qz, ОП ФПМШЛП ЛПОЕЮОЩЕ n. îÏ qz2 É n ЕУФШ ТБЪОЩЕ ЮБУФЙ ЛŒБДТБФБ ŒПМОПŒПЗП ŒЕЛФПТБ q2. нПЦОП ВПМЕЕ ЛПТТЕЛФОП ПВТЕЪБФШ УХННХ ĂŒТБЭБФЕМШОП{ЙОŒБТЙБОФОЩН ПВТБЪПНĄ, ПЗТБОЙЮЙŒБС ЛБЛ НБЛУЙНБМШОЩЕ n, ФБЛ Й НБЛУЙНБМШОЩЕ qz. ьФП ОЕФТХДОП УДЕМБФШ, ОБРТЙНЕТ, ŒŒПДС Œ (9.111) НОПЦЙФЕМШ УИПДЙНПУФЙ exp(−—(Dqz2 +˙ (n+1=2))), ÇÄÅ — | НБМПЕ ЮЙУМП РПТСДЛБ l2=D. рТЙ ЬФПН ПЛБЪЩŒБЕФУС, ЮФП РТПУФБС РТПГЕДХТБ ПВТЕЪБОЙС РП n ÐÒÉŒÏÄÉÔ Ë ÔÅÍ ÖÅ ÏÔŒÅÔÁÍ.

9.5. теыеойс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

259

œЩЮЙФБС ЙЪ ‹ ОЕЪБŒЙУСЭХА ПФ НБЗОЙФОПЗП РПМС ЮБУФШ ‹ (0), РПМХЮБЕН

 

 

 

 

 

 

2

 

(eB f (x) ;

 

 

 

‹ (B)

−

‹ (0) =

−

e2

h—

 

 

(9.115)

 

 

 

2ı

hc—

 

 

 

 

ÇÄÅ

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = lim

 

1

 

 

2√N

:

(9.116)

N

→∞

'n + 1=2 + x

 

 

 

 

 

 

n=0

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уХННХ Œ (9.116) НПЦОП ОБКФЙ Œ РТЕДЕМЕ УЙМШОЩИ Й УМБВЩИ НБЗОЙФОЩИ РПМЕК. оБЙВПМЕЕ ЙОФЕТЕУЕО УМХЮБК УЙМШОПЗП РПМС (x 1), ЛПФПТЩК НЩ Й ТБУУНПФТЙН. рТЙ НБМЩИ x ЖХОЛГЙС f (x) УФТЕНЙФУС Л РПУФПСООПНХ РТЕДЕМХ, ŒЩТБЦБАЭЕНХУС ЮЕТЕЪ “ -ЖХОЛГЙА тЙНБОБ:

f (x → 0) = −(√2 − 1)“ ( 21 ) ≈ 0:6049

(9.117)

фБЛЙН ПВТБЪПН,

−

2ı2

2 h—

( hc—

 

 

 

‹ (B)

 

‹ (0) = √2 − 1

“ ( 1 ) e2

eB :

(9.118)

йФБЛ, УМБВПМПЛБМЙЪБГЙПООБС РПРТБŒЛБ Œ ФТЕИНЕТОПН УМХЮБЕ РТПРПТГЙПОБМШОБ ЛПТОА ЙЪ НБЗОЙФОПЗП РПМС. œЩИПД ОБ ЬФПФ ТЕЦЙН РТПЙУИПДЙФ РТЙ ˙ fi’ ≈ 1 Œ УПЗМБУЙЙ У РТЙŒЕДЕООЩНЙ ŒЩЫЕ ЛБЮЕУФŒЕООЩНЙ ТБУУХЦДЕОЙСНЙ.

бОБМПЗЙЮОП НПЦОП ТБУУНПФТЕФШ РПŒЕДЕОЙЕ УМБВПМПЛБМЙЪБГЙПООПК РПРТБŒЛЙ Œ ДŒХНЕТОПН УМХЮБЕ. пО ПФМЙЮБЕФУС ПФ ФТЕИНЕТОПЗП УМХЮБС ФПМШЛП ПФУХФУФŒЙЕН ЙОФЕЗТЙТПŒБОЙС РП qz , Й РПЬФПНХ

e2

nmax

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‹ 2D (B) = −2ı2h— n=0

 

n + 1=2 + x :

 

(9.119)

ьФХ УХННХ НПЦОП ŒЩТБЪЙФШ ЮЕТЕЪ ДЙЗБННБ-ЖХОЛГЙА

(x) = ` (x)=`(x) УМЕДХАЭЙН

ПВТБЪПН:

 

 

21 + x) −

( 21 + x) :

(9.120)

‹ 2D (B) = −2ı2h— (nmax +

 

e2

 

 

 

 

 

 

рТЙ x 1 ДЙЗБННБ-ЖХОЛГЙС ТБУФЕФ МПЗБТЙЖНЙЮЕУЛЙ,

(x 1) ≈ ln x, Й РПЬФПНХ Œ

УМБВЩИ РПМСИ

 

 

 

 

 

 

e2

nmax

 

e2

Dfi’

;

 

‹ 2D (0) = −2ı2h— ln

x

= −2ı2h— ln l2

(9.121)

ФП ЕУФШ УМБВПМПЛБМЙЪБГЙПООБС РПРТБŒЛБ ПРТЕДЕМСЕФУС fi’ Й Œ РЕТŒПН РТЙВМЙЦЕОЙЙ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ НБЗОЙФОПЗП РПМС. œ УЙМШОЩИ ЦЕ РПМСИ НПЦОП РПМПЦЙФШ x = 0:

‹ 2D (B) = −

e2

4hc—

− ( 21 ) :

 

2ı2h—

ln eBl2

(9.122)

лБЛ ŒЙДОП ЙЪ ЬФПК ЖПТНХМЩ, Œ ВПМШЫЙИ НБЗОЙФОЩИ РПМСИ РТПŒПДЙНПУФШ ОЕ ЪБŒЙУЙФ ПФ fi’. ьФП РТПЙУИПДЙФ РПФПНХ, ЮФП НБЗОЙФОПЕ РПМЕ РПДБŒМСЕФ ŒЛМБД ДМЙООЩИ

Смотрите также файлы