Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Поскольку мы предполагали, что алгебра Ли проста, структурная константа Cαβγ и генератор группы tα фиксированы групповой струк-

турой за исключением единственного общего множителя, равного неперенормированной калибровочной константе связи g. Таким образом, из формул (17.4.46) и (17.4.47) следует, что калибровочная константа связи gR â CR è tR перенормируется по правилу:

Этот результат показывает практическую ценность калибровки фонового поля. В произвольной калибровке мы бы имели независимые константы перенормировки для калибровочного поля и калибровоч- ной константы связи и должны были бы вычислить две разные амплитуды (например, поляризацию вакуума и вершинную функцию с тремя калибровочными полями), чтобы получить возможность их отсортировать. В фоновой калибровке калибровочная инвариантность по отношению к этому полю связывает эти две перенормировки благодаря требованию, чтобы бесконечные слагаемые в эффективном лагранжиане включали напряженность поля в исходном виде (17.4.31). В результате можно вычислить константу перенормировки заряда, рассматривая лишь одну амплитуду калибровочного поля.

17.5.Однопетлевое вычисление в калибровке фонового поля

Âкачестве примера мы хотим вычислить в однопетлевом приближении константу перенормировки для калибровочной константы связи в произвольной неабелевой калибровочной теории. Как мы увидим в следующей главе, это послужит существенным первоначальным вкладом в вычисления физических процессов при высоких энергиях методом так называемой «ренормализационной группы». Полученные здесь результаты буду использованы для демонстрации свойства асимптотической свободы неабелевых калибровочных теорий.

Используемый здесь метод содержит элементы новизны. Обыч- но рассматривают эффективное действие в зависящем от простран- ственно-временных координат фоновом калибровочном поле и вы- числяют слагаемые, квадратичные по этому полю, извлекая затем множитель (qμAαν – qνAαμ)2 (где q — 4-импульс калибровочного поля),

èтолько после этого изолируют логарифмическую расходимость,

(Показатели степени –1/2 и –1 возникают потому, что A′ — действительное бозонное поле, а ψ′, ψ′, ω′ è ω*′ – различные ферми-

онные поля.) В общем случае вычисление подобных детерминантов — далеко не простая задача. Однако она сильно упрощается для случая постоянных внешних полей, когда все D можно диагонализовать, перейдя в импульсное пространство.

Поэтому рассмотрим случай постоянного фонового поля Aαμ.

В неабелевых калибровочных теориях такое постоянное поле невозможно устранить калибровочным преобразованием, что видно по ненулевым значениям различных калибровочно ковариантных полей:

и т. д. Лоренцовская и калибровочная инвариантности указывают, как выразить слагаемое в Γ[A] данной размерности в виде интегра-

ла от конечного числа локальных функций от Fαμν, DλFαμ è ò. ä.

Коэффициенты при слагаемых в этом выражении можно найти, сравнив вклад этих слагаемых в Γ[A] при постоянном фоновом поле Aαμ с результатами разложения по теории возмущений.

С помощью обычного нормированного фурье-преобразования перейдем для каждой из «матриц» DA, Dψ è Dω к импульсному пред-

ставлению: