ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1538
Скачиваний: 2
17.5. Однопетлевое вычисление... |
143 |
После этого с помощью элементарной алгебры нетрудно показать, что слагаемое в (17.5.18) четвертого порядка по Aαμ имеет вид:
|
R |
|
M−1M |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
[tr ln M] 4 |
= trS− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A |
T 2 |
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 U |
(17.5.20) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
+ |
M−1M |
M−1M |
− |
|
M−1M |
V. |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
2 |
4 |
|
0 |
1 |
W |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Чтобы убедиться в этом, вставьте в (17.5.19) множители ε è ε2 перед
Ì1 è Ì2, соответственно, затем продифференцируйте tr ln M четыре раза по ε, разделите на 4! и положите ε = 0.) Множители M0–1 — обычные пропагаторы. При ξ = 1 они равны
[MA (q)]−1 |
|
= δ |
|
η |
|
(q2 − iε)−1 |
, |
(17.5.21) |
|||
0 |
αμ,βν |
|
|
|
αβ μν |
|
|
|
|||
[Mψ (q)]−1 |
= |
[iq/ |
+ m]−1, |
|
(17. 5. 22) |
||||||
|
0 |
kl |
|
|
|
|
|
kl |
|
|
|
[Mω |
(q)]−1 |
|
= δ |
αβ |
(q2 − iε)−1 . |
|
(17. 5. 23) |
||||
0 |
α,β |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Действительно, три слагаемых в (17.5.20) в точности соответствуют трем фейнмановским диаграммам рис. 17.1. Данный метод вычисле-
Рис. 17.1. Однопетлевые фейнмановские диаграммы для четвертичного по постоянному фоновому полю Aμα слагаемого в квантовом эффективном дей-
ствии. Сплошные линии представляют внутренние линии калибровочных, гостовских и материальных полей, пунктирные линии изображают множители Aμα. Эти три диаграммы соответствуют трем слагаемым в (17.5.20)
144 |
Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий |
ний избавляет нас от необходимости думать о знаках и комбинаторных множителях.
Для петли калибровочного поля из формулы (17.5.15) при ξ = 1
имеем:
[M1A (q)]αμ,βν = −2ημνqλ [Àλ ]αβ ,
[M2A(q)]αμ,βν = ημνÀλ Àλ − ÀνÀμ − Àμ Àν αβ + FγμνCγαβ ,
ãäå À λ — матрица
[Àλ ]αβ ≡ −iCαβγ Aγλ ,
для которой
[Àλ , Àρ ]αβ = −Cαδγ Cδβε (Aγλ Aερ − AγρAελ )
=−(Cαδγ Cδβε + CαδεCδβγ )Aγλ Aερ
=+CαδβCδεγ Aγλ Aερ = CαδβFδρλ .
Интегралы имеют следующую структуру:
z d4q qμq ν f(q2 ) = 1 ημν z d4q q2 f(q2 ), 4
z d4q qμq νqρqσ f(q2 ) = |
1 |
|
ημνηρσ + ημρηνσ + ημσ ηνρ |
|
z d4q q2 f(q2 ) . |
|
|
|
|||||
|
||||||
24 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
Ïðè ξ = 1 находим: |
|
|
||||
R |
|
− |
1 M2A (q) |
|
2 U |
= |
4I tr |
|
|
λ |
Àλ À |
η |
Àη |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
z d4q trS |
|
M0A (q) |
|
V |
À |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
T |
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 4I C |
γαβ |
C |
|
F Fμν , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δαβ γμν |
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
R |
|
− |
1 M1A (q) |
|
2 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
U |
= 4I tr |
|
λ |
Àλ À |
η |
Àη |
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
z d4q trS |
|
M0A (q) |
|
M0A (q) |
1 M2A (q)V |
À |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R |
|
− |
|
|
4 U |
= |
8 |
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
η |
|
+ À |
λ |
|
η |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
z d4q trS |
|
M0A (q) |
1 M1A (q) |
|
V |
|
|
I |
|
2À |
|
Àλ À |
|
Àη |
|
À |
|
Àλ |
Àη |
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
T |
|
|
|
|
W |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17.5. Однопетлевое вычисление... |
145 |
где J — расходящийся интеграл |
|
I ≡ z d4q [q2 − iε]−2 , |
(17.5.24) |
важное значение которого обсуждается ниже. Подставляя все выражения назад в (17.5.20), имеем
|
|
|
|
= |
2 |
|
À λ Àλ À ηÀη − À λ À ηÀλ Àη |
|||||
z d4q |
tr ln MA(q) |
A |
4 |
I tr |
||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Fμν . |
|||
|
|
|
− 2 I C |
γαβ |
C |
F |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
δαβ γμν |
δ |
|||
Оба слагаемых имеют на самом деле одну и ту же форму, так что, объединяя их, получаем:
|
|
|
|
|
|
|
= − |
5 |
|
I CγαβCδαβFγμνFδμν . |
|
|
||||||||||||||
z d4q |
tr ln MA (q) |
A |
4 |
|
(17.5.25) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Переходя к гостовской петле, видим из (17.5.17), что |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
[Mω |
(q)] |
|
= −2[À λ ] |
αβ |
q |
λ |
, |
|
|
|
(17.5.26) |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
αβ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
[Mω |
(q)] |
|
|
= [À |
λ À |
|
] . |
|
|
|
|
(17.5.27) |
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
αβ |
|
|
|
|
|
|
λ αβ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
ω |
(q) |
− |
|
ω |
(q) |
|
2 U |
= I tr |
|
|
λ |
Àλ À |
η |
Àη |
|
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
z d4q trS |
|
M0 |
|
1 M2 |
|
|
V |
À |
|
|
|
|||||||||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z d |
4 |
R |
|
ω |
(q) |
−1 |
ω |
(q) |
|
||||||||
|
q trS |
|
M0 |
|
M1 |
|||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z d |
4 |
R |
|
ω |
(q) |
−1 |
ω |
(q) |
|
||||||||
|
q trS |
|
M0 |
|
M1 |
|||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ω |
(q) |
−1 |
ω |
U |
= |
I tr |
|
λ |
Àλ À |
η |
Àη |
|
, |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
M0 |
|
|
M2 |
|
(q)V |
À |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 U |
= |
2 |
|
|
|
|
λ |
|
η |
Àη + À |
λ |
|
η |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
V |
|
I |
|
2À |
|
Àλ À |
|
|
|
À |
|
Àλ Àη |
. |
||||||||||
|
W |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, для гостовской петли интеграл от величины (17.5.20) имеет вид
z d4q[Tr ln Mω (q)] |
|
4 = |
1 |
|
À λ |
Àλ À ηÀη − À λ À ηÀλ Àη |
|
|||
A |
I Tr |
|
||||||||
|
|
|||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(17.5.28) |
||
|
|
= 1 |
I C |
|
|
C |
F |
Fμν . |
||
|
|
|
|
|
γαβ |
|
δαβ γμν |
δ |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
146 |
Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий |
Наконец, вершины в петле полей материи равны:
[M1ψ (q)]kl = −i(tα A/ α )kl , [M2ψ (q)]kl = 0,
так что в (17.5.20) есть только одно слагаемое
|
ψ |
|
|
1 |
R |
|
|
− |
|
4 U |
|
|
|
|
|
|
|||||
z d4q [Tr ln M |
|
(q)]A4 |
= − |
|
z d4q TrS |
(iq/ |
+ m) |
|
1 tα A/ α |
V . |
|
|
|
|
4 |
T |
|
|
|
|
W |
Нас интересует ультрафиолетово расходящаяся часть этого интеграла, так что мы можем отбросить массу (несущественную при больших qν) и записать:
z d4q [Tr ln Mψ (q)]A4 |
= − |
1 |
Tr{tαtβtγ tδ }Aαμ AβνAγρAδσ |
|
|
||||||||||||||
4 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
X |
|
Tr{q/ γ μq/ γ νq/ γ ρq/ γ σ } |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
× Y d4q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(q |
2 |
− iε) |
8 |
|
|
|
||||||||
|
I |
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
||||||||
= − |
Tr{tαtβtγ tδ }Aαμ AβνAγρAδσ |
|
|
|
|
|
|
(17.5.29) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
96 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× Tr 2γ |
λ |
γ μ γ λ γ νγ |
η |
γ ργ ηγ σ + γ |
λ |
γ μ γ |
η |
γ |
νγ λ γ ργ ηγ σ |
s |
, |
||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где J — тот же расходящийся интеграл, что и в (17.5.24). Для вычисления следов дираковских матриц используем антикоммутационные соотношения для этих матриц. Имеем:
Trn2γ λ γ μ γ λ γ νγ ηγ ργ ηγ σ + γ λ γ μ γ ηγ νγ λ γ ργ ηγ σ s =
=8Trnγ μ γ νγ ργ σ s − 4Trnγ νγ μ γ ργ σ s − 4Trnγ μ γ ργ νγ σ s
=−64ημρηνσ + 32ημνηρσ + 32ημσ ηνρ .
Формула (17.5.29) принимает вид
z d4q [Tr ln Mψ (q)]A4 |
= |
1 |
I Tro[tα , tβ ][tγ , tδ ]tAαμ AβνAγμ Aδν |
|
||||||
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= − |
1 |
I F |
FμνTr{t |
t |
δ |
} . |
(17.5.30) |
||
|
|
|
||||||||
|
3 |
γ μν |
δ |
γ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||