Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1539

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

17.5. Однопетлевое вычисление...

147

Подставляя выражения (17.5.25), (17.5.28) и (17.5.30) в формулу (17.5.18), получаем наконец

(1LOOP)

 

-iI

 

X

4

μν LF

GA4

=

 

 

Y d

xFγ μνFδ

MG

(2p)

4

 

 

 

Z

 

 

NH

5

 

1 I

1

O

 

 

+

 

J Cγ αβCδαβ -

 

Tr{tγ tδ }P

,(17.5.31)

6

 

3

 

12K

Q

 

где мы представили импульсную дельта-функцию в (17.5.14) как

d4 (p - p) = (2p)−4 z d4x ×1.

(17.5.32)

Важно, что результат оказался зависящим от Aαμ только через на-

пряженность поля (17.5.11), как и требует фоновая калибровочная инвариантность.

Используем теперь (впервые в данном разделе) наше предположение о простоте калибровочной группы и неприводимости мультиплета полей материи. В этом случае

Cγ αβCδαβ

= g2C dγδ ,

(17.5.33)

 

1

 

Tr{tγ tδ }

= g2C dγδ ,

(17.5.34)

 

2

 

где g — общая калибровочная константа связи, входящая в каче- стве множителя в Cαβγ è tγ, à Ñ1 è Ñ2 — числовые постоянные, ха-

рактеризующие калибровочную группу и представление этой группы, которому принадлежит мультиплет полей материи. Например, в первоначальной теории Янга–Миллса калибровочной группой является SU(2) (или эквивалентно SO(3)), и структурные константы имеют вид

Cγ αβ = gε αβγ ,

ãäå a, b, g принимают значения 1, 2, 3. Сравнивая с (17.5.33), ви-

дим, что в этом случае

Ñ1 = 2.

Кроме того, в этой теории поля материи образуют дублет, и tα равно константе g/2, умноженной на обычные матрицы Паули sα,

òàê ÷òî

148

Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

Ñ2 = 1/2.

В более общем случае для группы SU(N) с nf фермионами в фундаментальном представлении и при обычной нормировке генераторов имеем *

Ñ1 = N, C2 = nf/2.

(17.5.35)

Возвращаясь к общему случаю, получаем из (17.5.33) и (17.5.34):

Γ(1LOOP)

=

−iI

X d4xF

Fμν L

11

C

−

1

C

O .

(17.5.36)

 

 

 

A4

 

(2π)4

Y

γ μν

δ

M

3

1

3

2 P

 

 

Z

 

 

N

 

 

Q

 

Это означает, что бесконечная константа LA в (17.4.30) равна

 

=

4ig2I F 11

 

−

1

I

 

LA

 

G

 

 

C1

 

C2 J .

(17.5.37)

(2π)4

3

 

3

 

 

H

 

 

 

K

 

Осталось сказать несколько слов об интерпретации расходящегося интеграла J . Во-первых, прежде чем пробовать интегрировать по три-импульсу q, мы можем повернуть контур интегрирования по q0 в (17.5.24) в сторону мнимой оси. Как обычно, добавка –iε

в знаменателе заставляет нас делать этот поворот против часовой стрелки, так что q0 = iq4, ãäå q4 изменяется от –∞ äî +∞. Тогда

интеграл принимает вид

X∞ 2π2q3dq

I = iY 4 , (17.5.38)

Z0 q

где q — величина евклидового 4-вектора (q1, q2, q3, q4).

Чтобы двигаться дальше, очевидно, нужен какой-то метод регуляризации интеграла. Простейший способ обращения с ультрафиолетовыми расходмостями заключается в обрезании интеграла по q выше некоторого масштаба Λ. Однако необходимо и обрезание снизу,

связанное с инфракрасной расходимостью. Оно определяется физи-

* Для группы SU(3) генераторы ta равны g/2, умноженной на матрицы Гелл-Манна λα, использующиеся в разделе 19.7, так что Cαβγ = (g/2)fαβγ.

Список литературы

149

кой ситуации. Если импульсы четырех векторных частиц не равны нулю, то по внутренним линиям диаграммы течет определенный импульс, так что инфракрасное обрезание происходит на масштабе μ

этих импульсов. Аналогично, если вычислить четвертую вариационную производную Γ[A] по А не при А = 0, а при некотором конечном

значении, то пропагаторы внутренних линий не взорвутся при нулевых импульсах, и инфракрасное обрезание будет иметь место на масштабе μ f gA. В любом случае J принимает вид

 

 

 

 

 

 

2

XΛ dq

 

 

2

 

F Λ I

 

 

I =

2π

iY

 

 

= 2π

i lnG J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zμ

q

 

 

 

 

H μ K

 

и поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g2

 

F

11

 

 

1

I

F Λ I

4

 

LA = −

 

 

 

 

G

 

 

C1

−

 

 

C2 J lnG

 

J

+ O(g

) .

 

2π

2

 

12

3

 

 

 

 

 

H

 

 

K

H μ K

 

 

Тогда из (17.4.48) находим перенормированную константу

(17.5.39)

(17.5.40)

 

L

 

 

2

 

Λ

 

 

 

 

 

 

 

O

 

 

 

= g 1

+

g

lnF

 

I F

11

 

−

1

 

I

+ O(g4 )

 

 

 

g

 

 

 

C

C

P

.

(17.5.41)

 

 

2

 

 

 

 

R

M

 

4π

G

 

J G

12

1

 

3

2 J

 

 

 

M

 

 

H

μ K H

 

 

 

K

 

P

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

Обратим внимание на следующее. В то время как в квантовой электродинамике обсуждавшиеся в разделе 11.2 радиационные поправки уменьшают физическую константу связи gR по сравнению с голой константой g, в неабелевых калибровочных теориях они увеличивают физическую константу по сравнению с голой, если только фермионный мультиплет не слишком велик, и С2 < 11C1/4. Важность этого обстоятельства будет расмотрена в гл. 18.

Альтернативно, можно рассматривать ултрафиолетовую расходимость методами размерной регуляризации, обсуждавшимися в разделе 11.2. Тогда вместо (17.5.39) можно записать

X∞ 2π2qd −1dq

 

I = iY

 

.

(17.5.42)

 

Z

(q2 + μ2 )2

 

0

 

 

 

где d — комплексная размерность, которая устремляется к 4 в конце вычислений, а μ — инфракрасное обрезание порядка внешних

150

Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

импульсов (или фоновых полей, умноженных на g). Пока d комплексно с Re d < 0 и μ2 > 0, интеграл имеет конечное значение

 

2 F d

I

 

d −4

LF d

I

O

I = −iπ

G

 

− 1J

μ

 

π /sinMG

 

− 2J

πP .

 

 

 

 

H 2

K

 

 

NH

2

K

Q

Аналитически продолжая к d → 4, имеем

L

1

O

 

 

I → −2iπ2 M

 

+ ln μ + . . .P

,

(17.5.43)

 

N d − 4

Q

 

 

где многоточие означает не зависящие от μ слагаемые. В результате

 

L

 

=

g2 F 11

C

−

1

C

I F 1

+ ln μ + . . .I

+ O(g4 )

 

 

 

A

 

G

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

2 J G

J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π2 H 12

 

 

 

K H d − 4

K

 

 

 

 

 

 

и поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

g2 F 11

 

 

1

 

I F 1

I

 

4

 

O

 

 

g

= g

1

−

 

 

 

C

−

 

 

C

 

 

+ ln μ + . . .

+ O(g

 

)

 

.

 

 

G

 

 

 

 

 

P

(17.5.44)

 

R

M

 

 

1

3

2 J G

J

 

 

 

 

 

 

N

 

2π2 H 12

 

 

 

K H d − 4

K

 

 

 

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заметим, что в данном случае ультрафиолетовые расходимости имеют другую форму, но зависимость от инфракрасного обрезания μ такая же. Формула (17.5.44) будет важной отправной точкой об-

суждения асимптотической свободы в разделе 18.7.

Задачи

1.Проведите доказательство перенормируемости, данное в разделе 17.2, включив в лагранжиан элементарные скалярные поля.

2.Проведите квантование неабелевой калибровочной теории в калибровке фонового поля, используя обсуждавшийся в конце раздела 17.2 метод БРСТ квантования.

3.Выведите соотношение (17.5.44) между перенормированной и неперенормированной константами связи, вычислив квадра-

Список литературы

151

тичные по зависящему от пространственно-временных координат калибровочному полю слагаемые в Γ(1 петля).

4. Вычислите в однопетлевом приближении соотношение между перенормированной и неперенормированной константами связи в калибровочной теории, содержащей элементарные скалярные поля.

Список литературы

1.Zinn-Justin, J., in Trends in Elementary Particle Theory — International Summer Institute on Theoretical Physics in Bonn 1974

(Springer Verlag, Berlin, 1975).

2.До открытия симметрии БРСТ доказательства перенормируемости непосредственно базировались на тождествах Славнова–Тей- лора для калибровочных преобразований. См. работы: Lee, B.W. and Zinn-Justin, J., Phys. Rev., D5, 3121, 3137 (1972); Phys. Rev., D7, 1049 (1972); `t Hooft, G. and Veltman M., Nucl. Phys., B50, 318 (1972); Lee, B.W., Phys. Rev., D9, 933 (1974). Первое доказательство перенормируемости, основанное на симметрии БРСТ дано в работе: Becci, C., Rouet, A., and Stora, R., Commun. Math. Phys., 42, 127 (1975); in Renormalization Theory — Proceedings of the International School of Mathematical Physics at Erice, August 1975, rds. G. Velo and A.S. Wightman (D.Reidel, Dordrecht, 1976), pp. 269-297, 299-343. Приведенное здесь доказательство следует общей линии работы Зинн-Жюстена [1]; см. также: Lee, B.W., in Methods in Field Theory, eds. R. Balian and J. Zinn-Justin (NorthHolland, Amsterdam, 1976), pp. 79-139.

3.Точка зрения и изложение вопроса базируется на работе: Gomis, J. and Weinberg, S., Nucl. Phys., B469, 475 (1996). Более раннее использование тех же методов см. в работах: Voronov, B.L. and Tyutin, I.V., Theor. Math. Phys., 50, 218 (1982); 52, 628 (1982); Voronov, B.L., Lavrov, P.M., and Tyutin, I.V., Sov. J. Nucl. Phys., 36, 292 (1982); Lavrov, P.M. and Tyutin, I.V., Sov. J. Nucl. Phys., 41, 1049 (1985); Anselmi, D., Class. and Quant. Grav., 11, 2181

152

Глава 17. Перенормировка калибровочных теорий

(1994); 12, 319 (1995); Harada, M., Kugo, T., and Yamawaki, K., Progr. Theor. Phys., 91, 801 (1994).

4.Barnich, G. and Henneaux, M., Phys. Rev. Lett., 72, 1588 (1994); Barnich, G., Brandt, F., and Henneaux, M., Phys. Rev., 51, R143 (1995); Commun. Math. Phys., 174, 57, 93 (1995); Nucl. Phys.,

B455, 357 (1995).

5.Калибровка фонового поля была введена в работе: de Witt, B., Phys. Rev., 162, 1195, 1239 (1967). Исследование многопетлевых эффектов см. в работах: `t Hooft, G., in Functional and Probabilistic Methods in Quantum Field Theory: Proc. of the 12th Karpacz Winter School of Theoretical Physics (Acta Univ. Bratislavensis, no. 38, 1975); de Witt, B., in Quantum Gravity II, eds. C. Isham, R. Penrose, and D. Sciama (Oxford Univ. Press, Oxford, 1982); Abbott, L.F., Nucl. Phys., B185, 189 (1981).

Смотрите также файлы