Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

18

Методы ренормгруппы

Метод ренормализационной группы был первоначально предложен Гелл-Манном и Лоу1 как средство борьбы с крахом теории возмущений при очень высоких энергиях в квантовой электродинамике. Было обнаружено, что вклад n-петлевого приближения в амплитуду, содержащую импульсы порядка q, например, в амплитуду поляризации вакуума Πμν(q), содержит n множителей ln(q2/me2), а также множитель αn, так что когда α ln(q2/me2) велико, теория

возмущений становится неприменимой даже при малой величине постоянной тонкой структуры α. Даже в безмассовой теории, на-

пример, в неабелевой калибровочной теории, мы должны вводить некоторую шкалу μ, чтобы задать точку перенормировки, в кото-

рой определяются перенормированные константы связи, и в этом случае мы сталкиваемся с логарифмами ln(E/μ), так что, несмотря

на малость константы связи, теория возмущений может нарушаться при E . μ èëè E n μ.

К счастью, существует модифицированная версия теории возмущений, которую часто можно применить в подобных случаях. Ключевая идея этого подхода состоит во введении констант связи gμ, определенных при скользящей перенормировочной шкале μ,

т. е. шкале, которая никаким фиксированным образом не связана с массами частиц. Затем, выбирая μ того же порядка величины, что

и типичная для рассматриваемого процесса энергия Е, можно обезвредить множители ln(E/μ). После этого можно продолжать вы- числения по теории возмущений до тех пор, пока gμ остается ма-

лой. В частности, задав константы связи, определенные в точке μ, можно с помощью теории возмущений вычислить физи- ческие амплитуды при энергии μ + dμ и использовать их для

перенормируемых теорий типа квантовой электродинамики (хотя, как обсуждалось в разделе 12.3, сегодня квантовая электродинамика рассматривается лишь как очень хорошее приближение к неперенормируемой теории, в которой взаимодействия высшей размерности подавлены отрицательными степенями какой-то очень большой массы). Если обрезание совершается при квантовании калибровочной теории на конечной пространственно-временной решетке, вильсоновский подход имеет то преимущество, что можно делать вычисления, сохраняя явную калибровочную инвариантность (объем калибровочной группы равен объему группы глобальной симметрии, умноженному на число граней решетки), однако недостатком является отсутствие явной инвариантности относительно преобразований вращения или Лоренца. В любом случае, какой бы подход не использовался для устранения степеней свободы при высоких энергиях, сохраняется значительная часть формализма ренормгруппы.

18.1. Откуда берутся большие логарифмы?

Посмотрим сначала, как могут возникнуть большие логарифмы при очень больших энергиях.

Рассмотрим физическую амплитуду, сечение или любой другой вероятностный параметр Γ(E,x,g,m), зависящей от общего мас-

штаба энергий Е, от различных углов и отношений энергий, коллективно обозначенных x, от различных безразмерных констант связи, коллективно обозначенных g, и различных масс, коллективно обозначенных m. Если Γ имеет размерность [масса]D (например,

для сечения D = –2), то на основании простого размерного анализа имеем:

Можно ожидать, что в пределе Е → ∞ такая амплитуда будет

вести себя как простая степень:

Γ(E, x, g, m) → EDΓ(1, x, g,0) .

Но оказывается, что это не так. При расчетах по теории возмущений обнаруживается, что множитель ED сопровождается степенями ln(E/m), искажающими простое степенное поведение.

Ясно, что степени ln(E/m) могут возникнуть при E → ∞ è ôèê-

сированном m, только если амплитуда G при фиксированной энергии Е становится сингулярной при m → 0. Существуют два класса

подобных массовых сингулярностей, одна из которых легко устраняется путем вычисления амплитуды или вероятности правильного типа, а другая требует изменения процедуры перенормировки.

Сингулярности при нулевой массе первого типа возникают в результате слияния полюсов пропагаторов на массовых оболочках соответствующих частиц. Например, предположим, что фейнмановская диаграмма содержит входящую линию с полным 4-импульсом pμ, прикрепленную в вершине к внутренним лини-

ям частиц с массами m1, m2, ..., mn. Согласно выводам гл. 10, соответствующая диаграмма будет иметь разрез, идущий вдоль отрицательной действительной оси р2 от точки p2 = –(m1 + ... + mn)2 äî –∞. Это не приводит к сингулярностям, если внешняя

линия соответсвует стабильной частице массой M < m1 + ... + mn, так как точка p2 = –M2 находится вне разреза. Однако, когда все M, m1, ..., mn стремятся к нулю, значение –р2 на массовой оболочке и точка ветвления на конце разреза сближаются, сливаясь при р2 = 0 и приводя к возникновению сингулярности.

Отсюда следует, что можно избежать инфракрасных расходимостей при m = 0, просто оставаясь вне массовой оболочки, например, устремляя р2 для всех внешних линий к +∞ вместе со все-

ми энергетическими переменными. После этого можно использовать дисперсионные соотношения или какую-то другую технику аналитического продолжения, и использовать результаты поведения фейнмановских амплитуд в таком пределе для того, чтобы что-то узнать об элементах S-матрицы. Часто такое продолжение оказывается ненужным, так как нас интересуют не элементы S- матрицы на массовой оболочке, а матричные элементы токов, несущие импульсы q, не связанные с какими-то массами. Например, функция поляризации вакуума π(q2), определенная в

разделе 10.5, свободна от сингулярностей при нулевых массах первого типа везде, кроме области q2 < 0.

Другой подход к устранению массовых сингулярностей первого типа связан с наблюдением, что обычно сингулярности при

нулевой массе возникают при попытках вычислить сечение, которое не измеримо в пределе m → 0. Например, в квантовой

электродинамике сечение любого процесса, включающего определенное количество электронов и фотонов, становится инфракрасно расходящимся в пределе me → 0, äàæå åñëè ìû ïðî-

суммируем по неограниченному числу мягких фотонов, поскольку в таком пределе невозможно отличить электрон от струи электронов, позитронов и фотонов с полным зарядом –е, все частицы в которой летят в том же направлении и с той же скоростью. Как показано в гл. 13, подобные инфракрасные расходимости можно излечить, рассматривая только подходящим образом проинтегрированные сечения, которые будут измеримыми при me → ∞. Так, вместо того, чтобы пытаться вычислить сечение

конкретного процесса комптоновского рассеяния, следует вы- числять сечение рассеяния струи с полным зарядом –е на другой струе с нулевым полным зарядом с образованием двух других таких струй и мягких фотонов. Подобные инклюзивные вероятности или сечения, остающиеся конечными при обращении в нуль всех масс, называются «инфракрасно безопасными».

На этом наши проблемы не кончаются. Даже если удастся избежать инфракрасных расходимостей, проинтегрировав сече- ния или оставаясь вне массовой оболочки, результирующие проинтегрированные сечения или амплитуды вне массовой оболочки содержат при энергиях Е массовые сингулярности второго типа, приводящие к множителям ln(E/m), нарушающим вытекающее из размерного анализа наивное степенное поведение. Причина коренится в том, что перенормированные константы связи по соглашению определяются через амплитуды, которые инфракрасно расходятся в пределе всех нулевых масс.

Рассмотрим, например, теорию действительного скалярного поля с лагранжианом

В однопетлевом приближении инвариантная амплитуда упругого рассеяния для процесса рассеяния скалярных частиц с начальными импульсами р1, ð2 и конечными импульсами р′1, ð′2 дается выражением (12.2.24):