Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1541

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

158

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 18. Методы ренормгруппы

 

 

g

2

 

X1

R

F

 

 

 

 

Λ2

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

A = g −

 

 

 

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y dxSlnG

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

 

 

 

32π

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y

|

H m

 

− sx(1 − x)K

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z0

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

Λ2

 

 

I

 

 

F

 

 

 

Λ2

 

I

U

 

 

(18.1.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|

 

 

3

+ lnG

 

 

 

 

 

 

 

 

J

+ lnG

 

 

 

 

 

 

 

 

J

− 3V

+ O(g ) ,

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

− ux(1

 

H m

 

− tx(1 − x)K

 

 

H m

 

− x)K

|

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

 

 

где s, t, u — мандельстамовские переменные

 

 

 

 

s = −(p1 + p2 )

2

, t = −(p1

 

 

′

2

, u

 

 

 

′

2

,

 

− p1)

 

= −(p1 − p2 )

 

à Λ — ультрафиолетовое обрезание. До тех пор, пока s, t, u удер-

живаются вне положительной действительной оси и, в частности, когда все они устремляются к –∞ (что нарушает условие нахожде-

ния на массовой поверхности s + t + u = 4m2), амплитуда не содержит сингулярностей при нулевой массе. Конечно, амплитуда зависит от обрезания Λ и от m, так что даже если сингулярно-

сти при нулевой массе отсутствуют, мы не получим результат A → const, который получился бы из наивных размерных соображений в пределе s, t, u → –∞. Зависимость от обрезания можно

упрятать в перенормировку. Мы заменяем голую константу g на перенормированную константу gR, определенную как значение А в какой-то удобной точке перенормировки. Например, можно взять

gR ≡ A(s = t = u = 0)

 

3g2

F

 

Λ2

I

 

= g −

 

 

G

ln

 

 

− 1

+ O(g3 ) .

 

2

 

2

 

32π

 

m

J

 

 

 

H

 

 

K

 

Тогда (18.1.3) принимает вид

A = gR

+

gR2

 

X1

R

F

−

sx(1 − x)I

 

 

Y

dxSlnG1

 

 

J

32π

2

m

2

 

 

 

Z0

T

H

 

 

K

F

 

tx(1 − x)I

F

 

ux(1 − x)I U

3

+ lnG1

−

 

J

+ lnG1

−

 

J V

+ O(gR ) ,

 

 

H

 

m2 K

H

 

m2 K W

 

(18.1.4)

(18.1.5)

18.1. Откуда берутся большие логарифмы?

159

(Во втором слагаемом можно свободно заменить g2 íà gR2, так как разность всего лишь порядка g3). Это выражение свободно от ультрафиолетовых расходимостей, но имеет сингулярность при m = 0, даже, если все s, t, u удерживаются отрицательными. Следовательно, при s, t, u ® –¥ мы снова приходим к асимптотическому

поведению, противоречащему ожиданиям, основанным на наивном подсчете степеней:

 

 

gR2

 

R

F -s I

F -t I

F -u I

U

 

A ® gR

+

 

 

SlnG

 

 

J

+ lnG

 

 

J

+ lnG

 

 

J

- 6V

(18.1.6)

32p

2

 

2

 

2

 

2

 

 

 

T

H m

 

K

H m

 

K

H m

 

K

W

 

(Практически то же самое происходит и при любом другом «естественном» определении перенормированной константы. Например, можно определить gR при значении А в симметричной точке на массовой оболочке s = t = u = 4m2/3, что приведет к такому же асимптотическому поведению, что и (18.1.6), с той разницей, что постоянная –6 заменится на другую числовую постоянную.) Ясно, что сингулярность при нулевой массе, с которой мы сталкиваемся при выражении А через gR, полностью возникает от слагаемого ln m2 в выражении (18.1.4) для перенормированной константы gR через голую константу связи g.

В дополнение к рассмотренным существуют другие сингулярности при нулевой массе, возникающие при вычислении матричных элементов операторов (например, фейнмановских амплитуд вне массовой поверхности), а не интегралов от сечений. Такие сингулярности возникают из-за необходимсти перенормировать не только константы связи, но и эти операторы. Например, предположим, что в скалярной теории поля с лагранжианом (18.1.2) мы хотим вычислить матричный элемент áb|O (p)|añ

оператора

O (p) º z d4xe-ip×xj2 (x) .

(18.1.7)

На языке фейнмановских диаграмм это соответствует вклю- чению вершины, в которой сходятся две внутренние линии j è

через которую протекает полный 4-импульс р в диаграммы перехода a ® b (см. рис. 18.1). Ультрафиолетовые расходимости воз-

никают от класса диаграмм, в которых эта новая вершина является частью поддиаграммы, связанной с остальной частью диаграммы ровно двумя j-линиями (рис. 18.2). Из размерного ана-

160

Глава 18. Методы ренормгруппы

Рис. 18-1. Фейнмановские диаграммы в импульсном представлении для матричного элемента оператора òd4x exp(-ip•x) j2(x) в теории элементарного скалярного поля j(x). Заштрихованный диск представляет сумму ди-

аграмм с указанными внешними диниями. Помимо пары внешних линий, входящих в вершину j2 другие внешние линии, прикрепленные к диску,

представляют те частицы в начальном или конечном состоянии, для перехода между которыми вычисляется матричный элемент

Рис. 18-2. Класс фейнмановских диаграмм для матричного элемента оператора òd4x exp(-ip•x) j2(x), в котором возникает ультрафиолетовая

расходимость. Обозначения те же, что на рис. 18-1

лиза следует, что если поддиаграмма связана с остальной частью диаграммы более чем двумя линиями ϕ, она будет сходиться,, так как взаимодействие ϕ2 имеет размерность +2, и поэтому под-

диаграмма, в которой эта вершина связана с остальной частью n > 2 линиями, имеет размерность 4 – 2 – n < 0. Расходящаяся часть поддиаграммы есть просто логарифмически расходящаяся константа, поэтому матричные элементы ϕ2 могут быть сделаны конечными* умножением ϕ2 на подходящую расходящуюся кон-

* В этом рассуждении предполагалось, что любые расходимости, возникающие из поддиаграмм, содержащих вершину j2, прикрепленную к остальной части поддиаграммы ровно двумя линями j, устранены анало-

гичным образом.

18.2. Скользящий масштаб

161

Рис. 18-3. Расходящаяся часть диаграммы рис. 18-2 в однопетлевом приближении

станту Zϕ2 . В порядке g2 соответствующая поддиаграмма опреде-

ляется диаграммами рис. 18.3 и вносит в матричный элемент O (p) расходящийся множитель

 

1

 

 

L

−

i

 

O2 X

 

 

 

 

 

4

k

 

 

 

 

 

F(p) = 1 +

 

−i(2π)4 g

M

 

 

P

Y

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

N

(2π)

4

Q

Y

k

2

+ m

2

− iε

 

(p − k)

2

+ m

2

− iε

 

 

 

 

Z

 

 

 

 

 

 

(18.1.8) Комбинируя знаменатели, поворачивая контур интегрирования

ïî k0 и совершая ультрафиолетовое обрезание Λ, находим при

Λ → ∞:

F(p) = 1 − g

32π2

X1

L

 

F

 

Λ2

 

I

O

 

 

Y

dx

ln

 

 

 

 

 

 

 

− 1

+ O(g2 ) .

 

G

2

2

 

 

J

(18.1.9)

M

 

x(1

 

P

 

Y

M

 

H m

 

+ p

− x)K

P

 

 

Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

 

Здесь нет сингулярности при нулевой массе (до тех пор, пока р2 удерживается положительным), но, конечно, есть зависимость от обрезания. Такая логарифмическая расходимость устраняется определением перенормированного оператора ϕ2:

(ϕ2 )R = N(ϕ2 )ϕ2

(18.1.10)

ãäå N(ϕ2 ) выбрано так, что N(ϕ2 )F(p) имеет определенное конечное

значение в некоторой заданной точке перенормировки. Например, можно определить перенормированный оператор ϕ2 òàê, ÷òî

N(ϕ2 )F

=

1,

(18.1.11)

(0)

 

 

162

 

 

 

 

 

Глава 18. Методы ренормгруппы

В этом случае

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

g

 

F

Λ2

I

 

 

N(ϕ

) = 1

+

 

 

G ln

 

 

− 1J

+ O(g2 ) .

(18.1.12)

32π

2

m

2

 

 

 

 

H

 

K

 

 

Тогда матричные элементы перенормированного оператора (ϕ2 )R

содержат множитель

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F (p) ≡ N(ϕ2 )F(p) = 1 +

g

 

X1 dx lnF1

+

p2x(1 − x)

I

+ O(g2 ) .

(18.1.13)

 

2

 

R

32π

Y

G

 

 

2

J

 

 

 

Z0

H

 

m

 

K

 

 

Он конечен при всех р2 > 0 è m2 > 0, но содержит теперь инфракрасную сингулярность при m → 0, соответствующую большим логарифмам в асимптотическом поведении при р2 → +∞. Êî-

нечно, чтобы устранить обрезание в вычислениях в высших порядках, нужно было бы вводить перенормированную константу связи и перенормированный оператор ϕ2, так что логарифмы

возникли от обоих источников.

Аналогичные перенормировочные множители нужны не только для ϕ2(x), но для операторов любого типа. В частности, взятие матричного элемента одного из элементарных полей ψ

теории приводит к ультрафиолетовым расходимостям, возникающим от радиационных поправок к соответствующему пропагатору. Как мы видели в гл. 12, эти бесконечности могут быть сокращены, если перейти к перенормированному полю ψR:

ψ

R

= N(ψ) ψ

,

(18.1.14)

 

 

ãäå N(ψ) выбрано так, чтобы матричный элемент между одночас-

тичным состоянием и вакуумом имел тот же вид, что и принятым образом нормированное поле в отсутствии взаимодействия. Связь с обычной константой перенормировки Z перенормированной теории дается выражением

Z(ψ) = | N(ψ) |−2 .

(18.1.15)

Например, вспомним полученные ранее результаты для перенормировки фотонного поля в спинорной квантовой электроди-

Смотрите также файлы