Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1543

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

168

Глава 18. Методы ренормгруппы

 

β(g) = B(g) .

(18.2.15)

При B(g) из (18.2.14) это согласуется с нашим предыдущим результатом (18.2.12) для b(g) в скалярной теории j4.

Вместо того, чтобы использовать простое ультрафиолетовое обрезание, которое может вступать в противоречие с калибровоч- ной инвариантностью, часто удобнее иметь дело с ультрафиолетовыми расходимостями в методе размерной регуляризации. При размерности пространства-времени d < 4 мы получаем вместо ln(L/m)

сходящийся интеграл

X∞

k

d−4 dk

=

md−4

Y

 

 

 

 

 

 

 

- d

Zμ

 

 

k

 

4

¾¾¾® L

 

1

- ln mO

 

 

 

 

d→4

M

- d

P .

 

N4

Q

Вместо устранения зависимости от обрезания путем переписывания неперенормированной константы как в формуле (18.2.13), пишем:

L

1

O

g = gμ + B(gμ )M

 

 

- ln mP

 

- d

N 4

Q

с той же функцией B(gμ), как и ранее. Таким образом, для того, чтобы вычислить b(gμ), нам следует всего лишь извлечь коэффици-

ент при сингулярном множителе 1/(4 – d) в перенормированной константе. Это рассуждение распространяется в разделе 18.6 на все порядки теории возмущений.

До тех пор, пока в скалярной теории поля с лагранжианом (18.1.2) gμ достаточно мала, решения уравнений (18.2.9) и (18.2.12)

можно хорошо аппроксимировать выражением

gμ = -

16π

 

,

 

 

 

(18.2.17)

3 lnbm

Mg

 

 

 

 

 

где М — постоянная интегрирования. Это выражение иллюстрирует общее свойство вычислений методом ренормгруппы, заключающееся в том, что безразмерные константы связи типа gR заменяются параметрами типа М, имеющими размерность массы. Значение М можно связать с gR, сравнив решение (18.2.17) с поведением константы связи при значениях m, которые достаточно велики, чтобы

18.2. Скользящий масштаб

169

использовать приближение, основанное на неравенстве μ . m, но в то же время достаточно малы, чтобы |gRln(μ/m)| n 1, когда

из (18.2.5) получаем

g

gg

+

 

3gR2

lnF

μ

I .

(18.2.18)

 

 

2

 

μ

R

 

16π

G

 

J

 

 

 

 

H mK

 

Таким способом находим

F 16π2 I

M gm expG J , (18.2.19)

H 3gR K

так что формулу (18.2.17) можно записать в более удобном виде

 

L

 

3g

 

 

μ O

−1

 

g

= g 1

−

R

ln

 

P

.

(18.2.20)

 

 

μ

R M

 

16π

2

 

 

 

 

N

 

 

 

mQ

 

 

Повторимся, что это выражение справедливо при малых gμ, äàæå åñëè |gRln(μ/m)| порядка единицы, так что оно представляет

существенное улучшение результата теории возмущений (18.2.18). Конечно, условие малости gμ нарушится, когда gRln(μ/m) окажется достаточно близко к критическому значению 16π2/3. Íî èç (18.2.20)

следует, по крайней мере, недвусмысленное предсказание, что константа gE становится достаточно большой, чтобы нарушить применимость теории возмущений при некоторой энергии Е ниже крити- ческого значения (18.2.19).

Если вместо проинтегрированных сечений вычисляются матричные элементы операторов вне массовой поверхности, следует принимать во внимание множители N, возникающие в определении перенормированных операторов с конечными матричными элементами. В предыдущем разделе мы видели, что если определить N- множители обычным образом (скажем, так, чтобы поправочные слагаемые, возникающие от расходящихся поддиаграмм, сокращались, если оператор несет нулевой 4-импульс или поле находится на массовой поверхности), то формула для этих множителей содержит сингулярности при нулевой массе, как в (18.1.12) или (18.1.16), что приводит к большим логарифмам при энергиях E . m. Способ лече- ния состоит в том, чтобы определить константы перенормировки Nμ(O ) при скользящем масштабе μ, так, чтобы поправочный множи-

тель в матричных элементах перенормированного оператора

170

Глава 18. Методы ренормгруппы

 

Oμ = Nμ(O )O ,

(18.2.21)

возникающий за счет расходящихся поддиаграмм, содержащих оператор O, сокращался в точке перенормировки, характеризующейся 4-импульсами порядка μ. Åñëè MR — матричный элемент

обычным образом перенормированных операторов, а М — матричный элемент, в котором операторы перенормированы так, как в (18.2.21), тогда для любого μ

 

 

L

 

F N(O ) I O

 

 

M

R

= M∏

G

 

J

P M(E, x, g

, m, μ) .

(18.2.22)

(O )

 

 

M

O

H

Nμ

K P

 

 

 

 

N

 

 

 

 

Q

 

 

Считая, что М имеет размерность D, можно опять воспользоваться размерным анализом и, положив μ = E, записать это выражение в

âèäå

 

L

 

F N(O ) I O

m

 

MR

= ED M∏ G

 

J P M(1, x, gE,

 

,1) .

(18.2.23)

(O )

 

 

M

O

H

NE K P

E

 

 

N

 

 

 

Q

 

 

 

Таким образом, чтобы установить поведение амплитуды вне массовой поверхности MR при больших энергиях, следует знать, как изменяется Nμ при изменении масштаба перенормировки μ.

Для двух заданных масштабов μ è μ′ матричные элементы перенормированных операторов Nμ(O ) è Nμ(O′ ) конечны, так что отношение Nμ(O′ ) Nμ(O ) не должно зависеть от обрезания. На основании раз-

мерных соображений это отношение должно иметь вид

 

Nμ(O′ )

= G(O ) (gμ , μ′ μ , m μ) .

 

 

 

 

 

(18.2.24)

 

 

(O )

 

Nμ

 

 

 

 

Дифференцируя по μ′ и полагая μ′ = μ, получаем

 

μ

 

d

N(O ) = γ (O ) (g

 

, m μ)N(O ) ,

(18.2.25)

 

 

μ

 

 

dμ

μ

μ

 

 

 

 

 

 

ãäå

18.2. Скользящий масштаб

171

 

L

∂

 

 

 

 

 

 

O

 

γ (O ) (gμ , m

μ) ≡ M

 

 

G(O ) (gμ , z, m μ)P .

(18.2.26)

 

 

 

N

∂z

 

 

 

 

Qz=1

 

Решение уравнения имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LXE

 

 

F

mI dμ O

 

(O )

M

 

γ (O )

G gμ ,

 

 

 

P

 

NE

expMY

 

 

μ J

μ P .

(18.2.27)

 

NZ

 

 

H

 

K

 

Q

 

Этот результат полезен, т. к. введение скользящей шкалы предотвращает появление сингулярностей при нулевой массе у величин Nμ(O ) è Nμ(O′ ) , а следовательно, у G(O) è γ(O). Отсюда, пока константа gμ

мала, не возникает больших логарифмов, препятствующих использованию теории возмущений для вычисления γ(O). Кроме того, при μ . m величина γ (O ) (gμ , m / μ) имеет гладкий предел

γ (O ) (gμ ) ≡ γ (O ) (gμ , 0) .

(18.2.28)

В качестве примера рассмотрим оператор O = ϕ2 в скалярной теории поля с взаимодействием gϕ4/24. Вместо того, чтобы пере-

нормировать его условием, что поправочный множитель (18.1.9) сокращается при р2 = 0, потребуем его сокращения при скользящем масштабе p2 = m2, введя новый перенормированный ϕ2-оператор Nμ(ϕ2 )ϕ2 , ãäå

Nμ(ϕ2 ) ≡ F(ϕ2 ) (μ2 )−1

= 1 + g

32π2

X1

L

F

 

Λ2

 

I

O

 

Y

dxMlnG

 

 

 

 

 

J

− 1P

+ O(g2 ) .

 

2

2

x(1

 

Y

M

H m

 

+ μ

− x)K

P

 

Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

Q

 

Тогда функция (18.2.24) для этого оператора равна

2

 

F

 

μ′

mI

 

Nμ′(ϕ2 )

G(ϕ

)

G

g ,

 

,

 

J

≡

 

 

 

(ϕ2 )

 

 

μ

μ

 

 

 

 

H

 

μ K

 

Nμ

 

gμ

 

X1

L

F m2 + μ2x(1 − x) I

O

 

= 1 +

 

 

Y

dxMlnG

 

 

 

 

J

− 1P

+ O(gμ2 ) .

32π

2

 

2

2

 

 

 

Y

M

H m

 

+ μ′

x(1 − x)K

P

 

 

 

 

Z0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

Q

 

172 Глава 18. Методы ренормгруппы

(Здесь можно использовать gμ вместо g или gμ′, так как различие этих констант влияет только на слагаемые порядка gμ2 èëè âûøå.)

Тогда из (18.2.26) имеем

 

(ϕ2 ) F

mI

 

gμ

 

X1

μ2x(1 − x)

2

γ

G gμ ,

 

J

= −

 

 

Y

 

 

 

 

dx + O(gμ )

 

16π

2

 

2

2

x(1 − x)

 

H

μ K

 

 

Z0 m

 

+ μ

 

èëè ïðè μ . m

 

 

γ (ϕ2 ) dgμ i = −

gμ

+ O(gμ2 ) .

(18.2.29)

 

16π2

 

 

Другой хороший пример — множитель N, связанный с перенормировкой электромагнитного поля в квантовой электродинамике. Напомним, что фотонный пропагатор может быть сделан конечным для всех импульсов, если вычислять его для перенормированных электромагнитных полей, или, эквивалентно, умножив пропагатор неперенормированных полей на Z3–1:

~

(q) = Z

−1

ρσ

(q) .

(18.2.30)

ρσ

 

3

 

 

Из формулы (10.5.17) следует, что этот перенормированный пропагатор можно записать как

~

 

ηρσ

 

 

ρσ (q) =

 

 

+ слагаемые с qρqσ .

(18.2.31)

[q2

− iε][1 − π(q2 )]

 

 

 

Предположим, что вместо этого мы определим перенормированное поле Nμ(A) Aρ , пропагатор которого содержит слагаемое, пропорциональное ηρσ/[q2 – iε], с коэффициентом, равным единице при скользящем масштабе перенормировки q2 = μ2. Ясно, что для этого нужно

взять

N(A)

= Z

−1/2

[1 − π(μ2 )]1/2 .

(18.2.32)

μ

 

3

 

 

Используя (11.2.22), находим, что функция (18.2.24) равна

 

(A)

 

′

L

1

− π(μ′2 ) O

 

G

(gμ , μ

μ , m μ) = M

 

 

P =

(18.2.33)

 

 

 

 

 

 

 

 

N 1

− π(μ2 ) Q

 

Смотрите также файлы