Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Иными словами, электрический заряд при скользящем масштабе μ удовлетворяет уравнению ренормализационной группы

При малых eμ отсюда следует, что eμ возрастает с ростом μ.

Требуется также начальное условие. Оно задается известным значением перенормированного заряда eR = Z31/2e, для которого α ≡ eR2/4π = 1/137,036... . Из формул (18.2.32) и (18.2.36) имеем

Этот результат нужно согласовать с решением уравнения (18.2.39) при таком значении μ, которое достаточно велико, чтобы не нарушалось приближение μ . me в (18.2.39), но в то же время достаточ-

но мало, чтобы логарифм в (18.2.40) оставался все еще малым по сравнению с 4π2/eR2 и тем самым подтверждалась правомочность использования теории возмущений. (Например, можно взять μ порядка 100 МэВ.) Для таких значений μ из формулы (18.2.40) следует:

С другой стороны, решение уравнения (18.2.39) для малых eμ

имеет вид (удерживаем только старшее слагаемое справа):

Сравнивая (18.2.41) и (18.2.42), находим решение

В противоположность (18.2.41) выражение (18.2.43) верно до тех пор, пока мала величина eμ2/6π2, независимо от того, мала или велика величина (eR2/6π2)ln(μ/me).

Например, мы уже видели в разделе 11.3, что главную поправку четвертого порядка к магнитному моменту мюона можно получить, умножив поправку второго порядка (швингеровскую поправку) (11.3.16) на функцию поляризации вакуума π(k2) ïðè k2 ≈ mμ2. Но согласно (18.2.40) это (в данном порядке) — то же самое, что использовать в швингеровской поправке вместо α величину

em2 μ 4π.

Другой пример. В экспериментах на электрон-позитронных коллайдерах высоких энергий, таких как LEP в ЦЕРНе или SLC в Стан-фордском центре линейного ускорителя SLAC сейчас изуча- ют физические процессы при энергиях порядка массы Z0 частицы, т. е. 91 ГэВ. Из формулы (18.2.43) следует, что при этих энергиях радиационные поправки к чистой квантовой электродинамике следует вычислять, используя значение постоянной тонкой структуры, равное не 1/137,036, а величине

Это верно для теории, в которой единственными заряженными ча- стицами массой меньше mZ являются электроны. В реальности таких сортов частиц много, так что эффективная постоянная тонкой структуры4 ïðè mZ равна (128,87±0,12)–1.

* * *

Скользящая шкала, при которой вычисляются константы связи в теории, может быть не только значением импульса внешней линии, но и значением внешнего поля. В одной из ранних работ по приложениям методов ренормализационной группы Коулмен и Ю. Вайнберг4à рассмотрели эффективный потенциал V(ϕ) äëÿ íåçà-

висящего от координат пространства-времени внешнего скалярного поля ϕ. В простом случае, когда поле взаимодействует только с са-

мим собой, в однопетлевом приближении полученный ими результат дается формулой (16.2.15). Особый интерес представляет рас-

смотрение этого потенциала в случае, когда перенормированная масса mR обращается в нуль и мы должны в однопетлевом приближении положить в последнем слагаемом μ2(ϕ) равным gRϕ2/2,

так что (16.2.15) теперь имеет вид (при слегка иначе определенной константе g):

На первый взгляд кажется, что при g > 0 потенциал при очень малых ϕ становится меньше, чем λR, так что точка ϕ = 0

является не локальным минимумом, а локальным максимумом. Однако при столь малых значениях ϕ третье слагаемое больше

второго, и теория возмущений очевидно не вызывает доверия. Кроме того, нам хотелось бы показать, что g должна быть положительной, чтобы потенциал был ограничен снизу при больших полях, однако из (18.2.45) следует, что сколь бы малой ни была константа g, существует достаточно большое ϕ, при котором те-

ория возмущений становится неприменимой, и, следовательно, выражению (18.2.45) нельзя доверять при выяснении вопроса об ограниченности потенциала снизу при больших полях.

Можно поступить значительно лучше, используя константу связи, определенную при скользящей шкале m для напряженности поля. Предположим, что константа gμ определена условием

Если бы мы использовали gμ с самого начала как параметр связи,

тогда вместо (18.2.45) мы получили бы выражение

очевидно согласующееся с (18.2.46) *.

* Выражение (18.2.47) отличается от того, которое мы получили бы из (18.2.45), просто используя (18.2.46), чтобы выразить g через gμ. Все отли- чие в том, что последнее слагаемое пропорционально не g2, à gμ2. Разни-

ца — более высокого порядка по g, но она может стать существенной,