Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Уравнение ренормгруппы для gμ можно получить из условия, что этот эффективный потенциал не зависит от μ *:

(Слагаемые, содержащие производную от gμ2, здесь опущены, так как они – более высокого порядка по gμ, и ими можно пренебрегать до тех пор, пока gμ достаточно мала.) Не случайно, что полученное

уравнение имеет тот же вид, что уравнение ренормализационной группы (18.2.9), (18.2.12), где μ — перенормировочный импульс, т. к.

мы покажем в следующем разделе, что два первых слагаемых в уравнении ренормгруппы всегда не зависят от способа определения скользящей шкалы. Решение этого уравнения дается выражением (18.2.17), в общем случае, с другой константой интегрирования М. Отсюда, полагая μ = ϕ в (18.2.17), имеем

åñëè V(ϕ) вычисляется при значениях ϕ, сильно отличающихся от m,

когда большие логарифмы могут компенсировать степени константы связи. Если с самого начала использовать в качестве параметра связи gμ и взять μ порядка ϕ, то подобных логарифмов не возникает, и приближение (18.2.47) справедливо до тех пор, пока gμ остается малой.

* Чтобы устранить всю зависимость от обрезания, поле ϕ нужно записать через перенормированное поле ϕμ =Nμϕϕ, что порождает зависимость V(ϕμ) îò μ, возникающую из зависимости от μ константы перенормировки Nμϕ . Здесь это игнорируется, так как в теории скалярного поля с взаимодействием ϕ4 диаграммы низшего порядка, дающие вклад в зависимость Nμϕ îò μ, содержат две петли, и в том порядке, в котором мы делаем здесь вычисления, можно положить Nμϕ = 1.

как он справедлив только при малых значениях константы связи gμ.

Проблема не только в том, что (18.2.49) теряет применимость при ϕ, близким к М. Мы не можем также проинтегрировать уравнение ренормгруппы через сингулярность ϕ = M, так что знание gϕ ñ

одной стороны от этой сингулярности ничего не говорит нам о поведении gϕ с другой стороны.

Если оказалось, что gϕ имеет малое положительное зна- чение при некотором ϕ0, тогда из (18.2.50) мы знаем, что M > |ϕ0|, òàê ÷òî gϕ остается малой величиной, и формула (18.2.49) верна при |ϕ| < |ϕ0|. Это показывает, что точка ϕ = 0 является локальным минимумом V(ϕ), в противоположность тому, что

мы могли бы предположить на основании (18.2.45). Это означает, что вакуум, который инвариантен относительно преобразования симметрии ϕ → –ϕ, в этой модели стабилен, если не прини-

мать во внимание возможность квантово-механического проса- чивания сквозь барьер.

С другой стороны, мы не знаем, является ли выражение (18.2.49) справедливым для достаточно больших по сравнению с М значений |ϕ|. Константа может оказаться слишком большой для того, чтобы использовать теорию возмущений для всех |ϕ| > M, и даже если при некотором |ϕ| > M она становится малой, потенциал при таком ϕ может определяться выражением (18.2.49) с масштабом перенормировки M′ > ϕ, порождая вторую сингулярность.

Таким образом, в этом случае мы не можем сделать вывод, что V(ϕ) → ∞ ïðè |ϕ| → ∞.

Аналогично, если оказалось, что gϕ имеет малое отрицательное значение при некотором ϕ0, тогда мы знаем, что M < |ϕ0|, òàê ÷òî gϕ остается малой, и выражение (18.2.49) верно при |ϕ| > |ϕ0|.

В этом случае мы ничего не можем сказать о поведении потенциала при |ϕ| < M, но можем использовать (18.2.49), чтобы увидеть, что V(ϕ) → ∞ ïðè |ϕ| → ∞, исключая возможность существо-

вания любого стабильного вакуума. Так как здесь рассматривается предел |ϕ| → ∞, этот вывод верен также для скалярных полей с массой m > 0 при условии, что m n |ϕ0|. Именно поэтому необходимо предполагать, что константа взаимодействия ϕ4 (перенор-

мированная при любом масштабе, много большем массы скаляра) положительна.

18.3. Варианты асимптотического поведения

Методы ренормализационной группы позволяют глубже понять встречающиеся в квантовых теориях поля возможные типы асимптотического поведения даже в тех случаях, когда бегущая константа связи gμ недостаточно мала, чтобы можно было приме-

нять теорию возмущений. Мы будем различать четыре возможных типа поведения gμ ïðè m ® ¥, соответствующих четырем разным формам функции b(g) в теориях с единственной константой связи. В

следующем разделе мы рассмотрим случай теорий с несколькими независимыми константами.

Напомним, прежде всего, результаты о виде b(g), установ-

ленные в двух примерах, рассмотренных в предыдущем разделе. Одним из примеров была скалярная теория поля с взаимодействием gj4/24, для которой при малых g бета-функция имеет вид

Другой пример — квантовая электродинамика. Вместо того, чтобы выписывать бета-функцию в виде (18.2.38), подчеркнем схожесть этой теории и скалярной теории поля, записав

где теперь b(gμ) понимается как mdgμ/dm, так что при малых g

Заметим, что в обоих случаях физически разрешенные константы связи уменьшаются в области g ³ 0, ãäå b(g) ³ 0 при малых g.

В электродинамике это происходит просто потому, что действительность лагранжиана требует, чтобы заряд е был действительным. Как мы видели в конце предыдущего раздела, в скалярной теории поля необходимо выполнение условия g > 0, для того,

à.Сингулярность при конечной энергии

Предположим, что β(g) > 0 при малых положительных g (как в выражениях (18.3.1) и (18.3.3)) и что β(g) остается положительной и

продолжает достаточно быстро возрастать с ростом g, так что сходится интеграл

X∞ dg

Y β < ∞ . (18.3.5)

Z (g)

Тогда gμ будет непрерывно удаляться от gμ = 0, и из (18.2.10) видно,

÷òî gE должна стать бесконечной при конечном значении Е:

ãäå μ — произвольная шкала перенормировки с μ . m. В предыду-

щем разделе мы видели пример этого явления. Если принять, что формула низшего порядка β(g) = 3g2/6π2 для бета-функции в скаляр-

ной теории поля точна для всех значений g, тогда бегушая константа (18.2.17) становится бесконечной при энергии (18.2.19). Аналогично, если считать точной формулу низшего порядка β(g) = g2/6π2 (здесь g ≡ e2) для бета-функции спинорной квантовой электродинамики, тогда gE è eE станут бесконечными при энергии (18.3.6), равной

Используя (18.2.43), можно выразить ее через обычный перенормированный заряд:

Конечно, приближение, в котором β(g) = g2/6π2, теряет силу

до того, как достигается эта энергия, поэтому с уверенностью можно сказать лишь то, что заряд eE станет достаточно большим, чтобы нарушить теорию возмущений при некоторой энергии Е, меньшей Е∞.