Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

á.Непрерывный рост

Предположим теперь, что в какой-то теории b(g) остается

положительно определенной при g ® ¥, но при этом достаточно медленно растет (или убывает), так что ò∞dg/b(g) расходится. Тогда константа связи gE продолжает возрастать при Е ® ¥, но становится бесконечной только в пределе Е = ¥. Более того, ведущее слагаемое в асимптотическом поведении gE ïðè Å ® ¥ не зависит

от обычным образом перенормированной константы. Например, если b(g) ведет себя при больших g как bgk, b > 0 è k < 1, òî

решение уравнения (18.2.9) имеет вид

Åñëè gμ мала при каком-то m (скажем, порядка m), тогда рост gE

заметен только при энергиях, экспоненциально больших по сравнению с этим m. Однако в пределе ультравысоких энергий константа

связи растет по закону

причем предельное поведение не зависит от gμ!

в. Фиксированная точка при конечном значении константы

Предположим далее, что b(g) остается положительно оп-

ределенной при 0 < g < g*, но обращается в нуль при g = g* и затем становится отрицательной. Тогда из уравнения (18.2.9) следует, что с ростом m константа gμ будет возрастать при gμ < g* и уменьшаться при gμ > g*, достигая в обоих случаях фиксированной точки g* ïðè m ® ¥. Åñëè ïðè g = g* íóëü b(g) — простой, то в окрестности этой точки при g ® g*

(Описанное выше поведение типа б можно рассматривать как ча- стный случай, когда фиксированная точка g* находится на беско-

нечности.) Кроме того для произвольного оператора O можно ожидать плавного поведения γ(g) в окрестности g*:

(Мы опустили здесь метку О у g и c.) Отсюда в матричных элементах этого (и возможно других) оператора мы сталкиваемся с появлением множителя (см. (18.2.27))

Произведение множителей E− γ (g* ) можно объединить с множителем

ED в (18.2.23), так что в результате весь матричный элемент ведет себя как

где размерность D* вычисляется путем добавления к реальной размерности каждого оператора, возникающего в матричном элементе, еще и «аномальной размерности» –γ(g*).

ã.Асимптотическая свобода

Âобсуждавшихся до сих пор примерах β(g) была положитель-

ной при малых g, так что c ростом μ константа gμ уводилась от точки g = 0. Предположим, что в какой-то теории β(g) отрицательна

при малых положительных g. Тогда

ïðè β > 0. Здесь n — порядок тех диаграмм низшего порядка, которые вносят вклад в β(g), так что это всегда целое число, большее

единицы. (В рассматривемых здесь в качестве примера теориях n = 2. ) Решение уравнения (18.2.9) имеет вид

184 Глава 18. Методы ренормгруппы

Òàê êàê ïðè Å → ∞ это приводит к нулевому значению gE, можно

в этом пределе доверять теории возмущений, если только gE при некотором конечном Е находится внутри области в окрестности g = 0, где g и β(g) имеют противоположные знаки. Аномальные размерности γ(O) различных операторов О ведут себя в пределе сла-

бой связи как

где m — порядок диаграмм низшего порядка, дающих вклад в перенормировку оператора, а с — положительная или отрицательная действительная константа. Отсюда асимптотическое поведение при высоких энергиях того множителя, который вводится в матричные элементы перенормировкой этого оператора, имеет вид

Мы видим, что в случае асимптотической свободы не возникает поправок к тем эффективным размерностям, которые определяют степени энергии, возникающие в асимптотическом поведении матричного элемента, а вместо этого асимптотика модифицируется степенями lnE.

В качестве игрушечной модели, в которой имеется асимптотическая свобода, можно рассмотреть скалярную теорию поля с гамильтонианом –gϕ2/24 и положительным g.

Кроме того, оператор ϕ2 в этой теории имеет аномальную размер-

ность, определяемую выражением (18.2.29) в виде

Поэтому каждый оператор ϕ2 в матричном элементе вносит множи-

тель, определяемый выражением (18.3.21):

Само скалярное поле в этой теории имеет γ(g) g2, и т. к. m = 2, то каждый ϕ-оператор в матричном элементе вносит множитель, ко-

торый согласно (18.3.20) равен

Мы встретимся с другим, более физичным, примером асимптотической свободы при рассмотрении квантовой хромодинамики в разделе 18.7.

Во всех случаях, когда gE можно рассматривать при бесконечно большой энергии Е, поведение константы в этом пределе оказывается не зависящим от перенормированной константы gR. Однако это не обязательно означает, что теория не содержит