Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Видно, что первые два слагаемых в степенном разложении β~ ïî ~g имеют те же коэффициенты, что и в разложении β ïî g. Îäíà-

ко это заведомо не так для слагаемых более высокого порядка. На самом деле всегда можно так выбрать функцию ~g(g), чтобы все слагаемые в более высокого порядка по ~g , чем третий, обращались в нуль, так что асимптотическое поведение ~gE ïðè Å → ∞ описывается двумя первыми слагаемыми в ряде теории возмущений для β(g). Однако в этом мало пользы, так как для определения того, как g зависит от ~g , необходимо провести вычисления

во всех порядках, а без этого мы не можем воспользоваться нашим знанием асимптотического поведения ~g , чтобы узнать что-то об асим-

птотическом поведении g или физических величин.

Те же рассуждения, которые привели к (18.3.30), показывают, что при слабой связи вильсоновское уравнение ренормализационной группы для голой константы как функции постоянной решетки при обратной постоянной решетки, большей чем массы частиц, совпадает с уравнением ренормгруппы Гелл-Манна–Лоу для перенормированной константы связи как функции масштаба перенормировки в случае, когда масштаб больше масс частиц. Следовательно, если непрерывная теория асимптотически свободна, не возникает препятствий при переходе к непрерывному пределу для теории, квантованной на решетке.

18.4. Эффекты нескольких констант связи и массы

До сих пор мы рассматривали теории, содержащие только одну безразмерную константу связи g. Нетрудно обобщить формализм на случай нескольких таких констант gl. Для каждой gl имеется уравнение ренормгруппы, которое при μ . m принимает вид

à ñm — набор коэффициентов разложения.* (В этом разделе мы не соблюдаем соглашение о суммировании по индексам.)

Из выражения (18.4.5) следует, что константа связи стремится к фиксированной точке при μ → ∞ тогда и только тогда, когда cm = 0 для всех собственных векторов с λm > 0. (Для просто-

ты предполагаем, что ни одно из собственных значений не равно нулю.) Тогда в общем случае траектории притягиваются к фиксированной точке, лежащей на N–-мерной поверхности, где N– — число отрицательных собственных значений М. Касательные к этой поверхности в точке g* являются собственными векторами с отрицательными собственными значениями. Траектории, не лежащие на этой поверхности, могут близко подходить к фиксированной точке, но в конце концов отталкиваются от нее, преимущественно в направлении собственных векторов с наибольшими собственными значениями. Конечно, если все собственные значения отрицательны, то вокруг фиксированной точки существует конечная область, внутри которой все траектории сходятся к этой точке.

Очевидно, что собственные значения λm важны для понимания

асимптотического поведения траекторий, достигающих фиксированной точки, поэтому полезно заметить, что эти собственные зна- чения не зависят от определения констант связи. Предположим, что мы вводим новый набор констант ~gl , определенных как функ-

ции g. Они удовлетворяют уравнениям ренормгруппы

* Мы предполагаем, что собственные значения Vm образуют полный набор. Это не всегда так, но это — общий случай. Собственные векторы конечной матрицы М образуют полный набор, если все корни секулярного уравнения Det(M – λI) = 0 различны. Матрица, собственные векторы кото-

рой не образуют полного набора, может рассматриваться как предельный случай матрицы с полным набором собственных векторов, когда некоторые из этих векторов становятся вырожденными.

(Это означает, что β преобразуется как контравариантный век-

тор в пространстве констант связи.) Дифференцируя, имеем:

В фиксированной точке g* первое слагаемое справа обращается в нуль, так что получаем матричное уравнение

До тех пор, пока преобразование g → ~g несингулярно, соотношение

~

(18.4.8) является преобразованием подобия, поэтому M и M имеют одни и те же собственные значения λm.

Формализм ренормгруппы можно применять не только к перенормируемым, но и к неперенормируемым теориям. Как мы пояснили в разделе 12.3, по аналогии с перенормируемыми теориями расходимости в неперенормируемых теориях устраняются подходящей перенормировкой констант связи и масс. Единственная разница заключается в том, что в неперенормируемых теориях следует предполагать, что лагранжиан содержит все взаимодействия, разрешенные симметриями теории. Если gBl — неперенормируемая константа связи, умножающаяся в лагранжиане на оператор размерностью Dl (т. е. на произведение полей и их пространственно-временных производных, размерность которых в степенях массы или энергии равна Dl), то размерность gBl будет равна l = 4 – Dl. После этого можно выразить голые константы через набор безразмерных перенормированных констант gl(μ) и обрезание Λ с помощью соотношений общего вида