Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

В перенормируемой теории все физические величины делаются независящими от обрезания путем подбора зависимости от обрезания конечного числа голых констант. Эти константы можно выразить через равное число зависящих от μ перенормированных констант, а условие, что голые константы являются μ-независи-

мыми, приводит к уравнениям ренормгруппы, связывающим только перенормированные константы. Если придерживаться более широкой точки зрения, допускающей не только перенормируемые, но и неперенормируемые связи, то перенормируемая теория соответствует конечномерной инвариантной поверхности в бесконеч- номерном пространстве всех перенормируемых и неперенормируемых теорий. Иными словами, это поверхность, на которой все βl(g) в любой точке g касательны к поверхности в этой точке.

До сих пор в этом разделе мы молчаливо предполагали, что μ . m, и что поэтому можно пренебречь зависимостью βl îò m/μ. Однако такое предположение необязательно. Мы можем,

если хотим, рассматривать массу как еще один параметр связи 6|. Это означает, что все перенормированные константы можно определить, как и выше, через различные функции Грина с импульсами вне массовой поверхности порядка μ, но вычислен-

ными при нулевых значениях всех голых масс. Безразмерные перенормированные массовые параметры для дираковских полей y или скалярных полей ϕ можно определить следующим образом:

ãäå N(O)(Λ/μ) — безразмерные константы, которые после умноже-

ния на соответствующие операторы О сокращают расходимости в матричных элементах этих операторов, также вычисленных при нулевых значениях голых масс. (См. раздел 18.1.) Эти новые перенормированные массы и константы не имеют непосредственного физического смысла, но через них можно выразить истинные физические массы и все физические матричные элементы. Такие матричные элементы принимают вид сумм матричных элементов для нулевых голых масс с любым числоì вставок перенормированных массовых операторов N(ϕ2 )ϕ2 è N(ψψ) ψψ , умноженных на со-

ответствующие перенормированные массовые параметры.

В такой схеме перенормировок бета-функции для различ- ных констант очевидно не зависят от масс, а бета-функции для массовых параметров пропорциональны этим параметрам с коэффициентами, зависящими от всех констант. Используя формулу (18.2.25), имеем

Например, в разделе 18.2 мы отмечали, что в скалярной теории поля с лагранжианом (18.1.2) массовый оператор ϕ2 имеет при m = 0

аномальную размерность (18.2.29), так что здесь

Кроме того, из выражения (11.4.3) видно, что влияние высших поправок на пропагатор электрона заключается в замене массы электрона на me – Σ*(p,me), так что влияние этих же поправок на матричные элементы оператора ψeψe между одноэлектронными состояниями с 4-импульсом pμ заключается в умножении их на

множитель

Поэтому константа перенормировки N(ψψ) для оператора ψeψe ðàâ-

íà F–1(p), вычисленной при р2, равному какому-нибудь масштабу перенормировки, например, μ2. Согласно (11.4.8) в однопетлевом

приближении имеем

предела можно повторить рассуждения раздела 18.2, если не считать того, что теперь рассматривается предел μ → 0, à íå μ → ∞. Проще всего изучать этот предел, когда в теории нет

масс, как, например, в случае квантовой электродинамики с симметрией относительно киральных преобразований ψ → γ5ψ, çàï-

рещающей наличие ненулевой массы у электрона. В этом частном случае у единственного перенормирумого взаимодействия eAμ ψγ μ ψ , а также у всех неперенормируемых взаимодействий функции βl > 0 при достаточно малых константах связи, так что

все траектории, по крайней мере, в конечной области вокруг начала координат, притягиваются при μ → 0 к точке gl = 0. Òå æå

рассуждения применимы даже к теориям с очень малыми ненулевыми массами, если эти массы включены в число параметров связи, как описано в предыдущем разделе. Для массового параметра коэффициент в (18.4.12) положителен, так что в этом случае траектории никогда не могут достичь точки g = 0, однако могут достаточно близко подойти к ней при малых массах.

Конечно, даже если допустить, что некоторые степени свободы вроде электронного поля могут иметь нулевую или очень малую массу, в реальном мире существует множество других степеней свободы, массы которых не малы. Рассуждения, основанные на ренормализационной группе, следует применять не к истинной теории, описывающей все эти тяжелые степени свободы, а к «эффективной» теории поля, в которой явно проявляются только безмассовые или почти безмассовые степени свободы, а взаимодействия включают эффекты, связанные с внутренними линиями тяжелых частиц. (В гл. 19 мы расскажем подробнее об эффективных теориях поля.)

Предел малых волновых чисел представляет особый интерес при изучении критических явлений, таких, как корреляции дальнего порядка вблизи точки фазового перехода второго рода (гладкого фазового перехода без скрытой теплоты) в конденсированных средах. Поскольку нас интересует предел μ → 0, âàæ-

ными становятся те собственные векторы матрицы (18.4.4), для которых собственные значения λ < 0. Эти собственные векторы называют релевантными. Собственные векторы с λ = 0 è λ > 0

называют, соответственно, маргинальными и нерелевантными. Предположим, что существует нетривиальная неподвиж-

ная точка g* ровно с одним отрицательным собственным значени-