Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 1551

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

200

Глава 18. Методы ренормгруппы

åì λ0, возможно, приближенно соответствующим массовому оператору. Множество траекторий gl(μ), притягивающихся к этой неподвижной точке при μ → 0, образует критическую поверх-

ность с коразмерностью единица, иными словами, поверхность, определенную единственным условием на константы связи, заключающемся в том, что при g → g* касательные gl – g*l не имеют

компонент в направлении собственного вектора с отрицательными собственными значениями. Когда физические значения констант при любом фиксированном характерном масштабе достигают этой поверхности, происходит фазовый переход. Так как критическая поверхность имеет коразмерность, равную единице, фазовый переход можно получить путем настройки любого из тех параметров, от которых зависят константы связи, например, давления или температуры. Как отмечалось в предыдущем разделе, из того факта, что фазовые переходы такого типа имеют место у широкого круга веществ, следует, что наличие неподвижных точек, для которых матрица (18.4.4) имеет единственное отрицательное собственное значение, является вполне обычной ситуацией.

Конкретнее, когда температура Т достигает критического значения Тñ, мы ожидаем, что коэффициент с0 при растущем слагаемом в (18.4.5) становится пропорциональным разности Т – Тñ, поскольку нет никаких причин, по которым он должен быть сингулярным или обращаться в нуль быстрее. Таким образом, при μ → 0 и затем при Т → Òñ константы связи ведут себя как

gl (μ) → (T − T ) Vl

μλ0

,

(18.5.1)

c

0

 

 

 

ãäå λ0 — единственное отрицательное собственное значение при g*, à V0l — соответствующий собственный вектор *.

Применяя ренормгрупповые рассуждения к волновым числам вместо энергий, получим, что N-точечная функция (N-ая частная производная эффективного действия по полю ϕ размер-

* Другие вклады в константы связи будут вести себя как (T − T )0 μλ1 ñ λ1 > 0. Отсюда, выражение (18.5.1) справедливо, если разность Т – Т00 стремится к нулю медленнее μ λ1 − λ0 .

18.5. Критические явления

201

ностью [волновое число]Dϕ ) при малом характерном масштабе κ

волнового числа имеет вид *

 

ΓN (κ) → κd−N(Dϕ + γ ϕ (g* ))FN ((T − Tc)κλ0 ) ,

(18.5.2)

ãäå gϕ(g) — аномальная размерность, связанная с полем ϕ, à d —

размерность пространства-времени, или, в классической статисти- ческой механике, размерность пространства. Удобно переписать это соотношение в эквивалентной форме:

ΓN (κ) → (T − Tc)−[d−N(Dϕ + γ ϕ (g* ))]/λ0 GN (κ(T − Tc)1/λ0 ) . (18.5.3)

Отсюда, с одной стороны, видно, что корреляционная длина ξ (õà-

рактерная длина, определяющая масштаб, на котором изменяется фурье-образ ΓN) растет при Т → Òñ êàê

ξ (T − T )− ν

(18.5.4)

c

 

ãäå ν — определенный обычным образом положительный «крити-

ческий показатель», который определяется из (18.5.3) как

ν = −1 / λ0 .

(18.5.5)

Кроме того, эффективное действие для нулевого поля Γ0 (или свободная энергия в статистической физике) не должно зависеть от κ,

т. к. оно соответствует диаграммам без внешних линий. Отсюда при Т → Òñ выражение (18.5.3) принимает вид

Γ − F

(T − T )νd ,

(18.5.6)

0 0

c

 

где константа F0 — эффективное действие или свободная энергия, связанные с тяжелыми степенями свободы, по которым произведено интегрирование. Таким образом, степень ν определяет также

поведение той части свободной энергии, которая неаналитична по температуре при Т вблизи Тñ.

* Функция FN зависит также от безразмерных углов и отношений волновых чисел. Заметим, что «наивная» размерность ΓN равна d – NDϕ, т. к. выражение δ 4 (å k)Γ должно быть безразмерным.

202 Глава 18. Методы ренормгруппы

В 1972 г. Вильсон и Фишер7 использовали разложение по степеням d – 4 как для того, чтобы показать, что теория скалярного поля действительно описывается указанным способом, так и для того, чтобы приближенно вычислить критические показатели типа ν. Рассмотрим теорию с одной-единственной «легкой» степенью свободы — скалярным полем ϕ, например, намагниченностью

в ферромагнетике, и симметрией относительно преобразования ϕ → –ϕ, исключающей нечетные по ϕ взаимодействия. В дополнение к «массовому» слагаемому –g2ϕ2/2 лагранжиан эффективной теории поля будет содержать взаимодействия –g4ϕ4/4!, –g6ϕ6/6! и т. д. Размерность поля ϕ в степенях волнового числа равна (d – 2)/2 (так, чтобы z ddx(Ñj)2 был безразмерным), так что размерности

констант g2, g4, g6 и т. д. равны +2, 4 – d, 6 – 2d, и т. д. Для неподвижной точки при нулевой связи в трех измерениях имеются две релевантные константы g2 è g4, но этот вывод изменяется при учете взаимодействий в нетривиальных фиксированных точках. Рассмотрим поверхность в пространстве констант связи, на кото-

рой только g2 è g4 отличны от нуля, и выберем малые значения

g .* Из выражения (18.2.12) имеем b(g4 ) = 3g42 16p2 + O(g43 )

ïðè d = 4,

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а из (18.4.12) следует, что в d = 4 – ε измерениях следует доба-

вить к этому слагаемое –εg4, òàê ÷òî

 

 

 

μ

 

d

g4 (μ) = −εg4 (μ) +

3g2

(μ)

+ O(g43 (μ)) .

 

 

 

 

 

4

 

(18.5.7)

 

dμ

 

16π2

 

 

 

 

 

 

 

 

Кроме того, из (18.4.170 получаем

 

 

 

 

 

 

 

d

L

 

g4 (μ)

 

 

O

 

μ

 

 

 

g2 (μ) = M−2

+

 

 

+ O(g4 (μ))P g2 (μ) .

(18.5.8)

dμ

16π2

 

N

 

 

 

Q

 

Следовательно при малом ε имеется нетривиальная неподвижная

точка при

 

=

16π2

ε

= 0 .

(18.5.9)

g4*

 

 

 

, g2*

3

 

 

 

 

 

 

 

* Ïðè 3 £ d £ 4 это единственные перенормируемые константы, так что

при таких d такая поверхность является инвариантной. Обратим внимание на то, что мы здесь не включили в число констант коэффициент при (Ñj)2,

т. к. это лишняя константа в том смысле, о котором шла речь в разделе 7.7.

18.5. Критические явления

203

В этой неподвижной точке матрица (18.4.4) диагональна, и ее собственные значения равны

λ4

= M44 = −ε +

3g4*

+ O(g42* ) = +ε + O(ε2 ) ,

(18.5.10)

8π2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

λ2

= M22 = −2 +

g4*

+ O(g42* )

= −2 +

ε

+ O(ε2 ) .

(18.5.11)

 

 

 

 

16π2

 

 

3

 

 

Из формулы (18.5.10) видно, что константа g4 на самом деле нерелевантна, так что в данном случае есть только одна релевантная константа, сигнализирующая о наличии фазового перехода второго рода. Из (18.5.11) следует, что аномальный показатель (18.5.5) равен

ν = −

1

=

1

+

 

ε

+ O(ε2 ) .

(18.5.12)

 

 

 

 

λ2 2

12

 

 

 

 

При физическом значении ε = 1 первые два слагаемые дают ν g 0,58. Трехпетлевые вычисления 7à приводят к следующему вы-

ражению для критического показателя:

 

1

 

 

ε

 

 

7ε2

 

ν =

 

+

 

 

+

 

 

− 0.01904ε3 ,

(18. 5. 13)

2

12

162

 

 

 

 

 

÷òî ïðè ε = 1 äàåò ν = 0,61.

В представленном вычислении не делалось никаких предположений об изучаемой системе кроме того, что существует фазовый переход второго рода, в окрестности которого единственной длинноволновой степенью свободы является одно скалярное поле. Таком описанию удовлетворяет целый ряд различных физических систем, например, спонтанное появление намагниченности (в данном слу- чае представленной как ϕ) в ферромагнитных и антиферромагнит-

ных материалах, а также фазовые переходы второго рода между жидкостями и газами и в бинарных жидкостях. Поэтому во всех этих системах ожидается одно и то же значение ν. Это подтверждается экспериментом, дающим значение8 ν = 0,63 ± 0,04 â õîðî-

шем согласии с трехпетлевым результатом (18.5.13) и в удовлетворительном согласии даже с однопетлевым вычислением (18.5.12).

Смотрите также файлы