Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001).pdf

Тот факт, что разложение по степеням 1 так хорошо работает, остается пока что счастливым, но загадочным обстоятельством.

Обобщая, говорят, что все системы, описывающиеся одним и тем же набором длинноволновых степеней свободы в окрестности своих фазовых переходов второго рода, принадлежат к одному классу универсальности. В данном классе универсальности все критические показатели для всех систем одинаковы.

18.6.Минимальное вычитание

Âразделе 11.2 мы видели, что размерная регуляризация особенно удобна для расчета радиационных поправок в квантовой электродинамике, так как этот метод не нарушает законов сохранения, связанных с калибровочной инвариантностью. По тем же причинам оказывается, что размерная регуляризация позволяет дать очень удобное альтернативное определение скользящей шкалы ренормгруппы в произвольных калибровочных теориях 9.

При вычислениях, использующих размерную регуляризацию, ультрафиолетовые расходимости возникают как полюсы в физи- ческих амплитудах при размерности пространства–времени d, стремящейся к физическому значению d = 4. (См., например, (11.2.13).) Чтобы сократить эти полюсы, голые константы связи gBl(d) (вклю- чая массы) сами должны иметь такие полюсы с вычетами, фиксированными условием, что физические амплитуды должны быть регулярны при d → 4. В общем случае эти голые константы обладают

ненулевыми размерностями l(d), зависящими от размерности про- странства-времени d, поэтому удобно рассматривать безразмерную величину glB (d)μ − l (d) , ãäå μ — скользящий масштаб размерностью

энергии или массы. Голую константу с измененным масштабом можно выразить в виде суммы слагаемых, пропорциональных положительным степеням ν величины 1/(d–4) c коэффициентами βν, фиксированными требованием сокращения особенностей при d → 4 â ôèçè-

ческих амплитудах, и остальных слагаемых, аналитичных по d при d = 4. Этот остаток отождествляется с безразмерной перенормированной константой связи gl(μ,d), òàê ÷òî

ν=1

Приравнивая слагаемые первого и нулевого порядка в (18.6.2), находим:

ν=1 m

Примечательно, что бета-функция зависит только от коэффициентов простого полюса в голых константах. На самом деле, эти коэффициенты определяют также и коэффициенты всех полюсов более высокого порядка. Приравнивая полюсные слагаемые слева и справа в (18.6.2), приходим к рекуррентному соотношению:

Например, чтобы выражение z ddxFμνFμν было безразмерным, любое калибровочное поле Aμ должно иметь размерность (в степенях массы), равную (d – 2)/2, и так как gBAμ должно иметь ту же размерность, что и ∂/∂μ, константа gB должна иметь размерность (4 –d)/2. Таким образом, для калибровочных констант = 0 и ρ = –

1/2, и для калибровочной теории с единственной константой связи из формулы (18.6.8) находим:

В частности, формула (11.2.20) показывает, что в квантовой электродинамике в однопетлевом порядке голый электрический заряд имееть полюс при d → 4, причем

Полагая β1(e) = –e3/(12π2) в формуле (18.6.10), находим:

e3

β(e) = (18.6.12)

12π2

в согласии с предыдущим результатом (18.2.37).

Принято говорить, что константы связи gl(μ), введенные в

этом разделе, определены в схеме минимального вычитания. Существует и несколько иная и чуть более удобная схема. Простые полюсы (d – 4)–1 типично возникают от функций (4π)d/2–2Γ(2–d/2) (как в формуле (11.2.13)), и при d → 4 эти функции имеют предел

ãäå γ = 0,5772157 — постоянная Эйлера. Поэтому удобно везде в

(18.6.1) совершить замену

Если выбран такой рецепт определения констант, говорят что они определены в схеме модифицированного минимального вычитания.

Одним из примечательных свойств определения констант в схеме минимального (или модифицированного минимального) вычи- тания является то, что поскольку ни в одном вычислении никогда не возникают множители ультрафиолетового обрезания, петлевые диаграммы имеют при d = 4 только полюсы, отвечающие логарифмическим, а не линейным, квадратичным и т. д. ультрафиолетовым расходимостям. Отсюда функция вычета β1l(g) может содержать сла-

гаемое порядка gagbgc... только, если при d = 4 размерность gBl равна полной размерности констант gBa, gBb, gBc è ò. ä.:

Тогда из (18.6.8) следует, что это же верно для βl(g).  ÷àñ-

тности, в теории без суперперенормируемых констант (типа калибровочной теории с безмассовыми спинорами и без скаляров, например квантовой электродинамики с нулевой массой электрона) для всех констант l ≤ 0, так что уравнения ренормгруппы

для перенормируемых констант (с l = 0) не изменяются при наличии любых неперенормируемых взаимодействий 5. Кроме того, в такой теории бета-функции для неперенормируемых констант являются полиномами конечного порядка по неперенормируемым константам,

причем каждый коэффициент в каждом полиноме определяется бесконечным рядом по степеням перенормируемой константы. Например, в теории фотонов и безмассовых электронов (предполагая инвариантность относительно P и преобразования y ® g5y) íå

существует неперенормируемых взаимодействий размерностью +5 и есть ряд взаимодействий размерностью +6 (четырехфермионные взаимодействия, а также чисто фотонные взаимодействия Fμν9Fμν) с константами fi размерностью –2. Бета-функция для fi имеет вид åjbij(e)fj с коэффициентами bij(e), определяемыми сте-

пенным рядом по е.

18.7. Квантовая хромодинамика

Квантовая хромодинамика — современная теория сильных взаимодействий. Это неабелева калибровочная теория, основанная на калибровочной группе SU(3). В дополнение к калибровоч- ным полям в квантовую хромодинамику входят поля частиц спина 1/2, известных как кварки. Существует шесть сортов (или «ароматов») кварков: u, c, t зарядом 2е/3 и d, s, b зарядом –е/3. Кварки каждого аромата существуют в трех «цветовых» разновидностях, образующих фундаментальное представление 3 калибровочной группы SU(3) *. Барионы типа протонов и нейтронов можно приближенно рассматривать как бесцветные связанные состояния трех кварков, полностью антисимметричные по цветам кварков, а мезоны типа r-мезона приближенно являются бесцветными связан-

ными состо-яниями кварков и антикварков 11.

В приближении, когда массами кварков можно пренебречь по сравнению с рассматриваемыми энергиями, обращение выражения (17.5.44) показывает, что голая константа связи в произвольной калибровочной теории имеет полюс, когда пространствен- но-временная размерность d ® 4, причем вычет в нем равен

* До того, как была предложена окончательная формулировка квантовой хромодинамики, ряд авторов высказывал гипотезу о существовании трех разновидностей кварков каждого аромата. Это делалось как с целью получить согласие с вероятностями распадов типа π0 → γ + γ, òàê è äëÿ

того, чтобы ввести новую степень свободы, что позволило бы объяснить симметрию волновой функции кварков-фермионов в барионе по спиновым и пространственным координатам, а также по аромату 11.