Файл: Савицкая - Лекции по микроэкономике - Глава 03.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.09.2024

Просмотров: 56

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

∂∂λL = h(x1 , x2 ,a) =0

Эти условия минимизации первого порядка определяют функции оптимального выбора: x1 (a) и x2 (a) , которые, в свою очередь, определяют минимальное значение целевой функции:

(3.14) M (a) ≡ g(x1 (a), x2 (a),a)

Теорема об огибающей утверждает, что:

 

∂M (a)

=

∂L(x1 , x2 ,a)

xi

(3.15)

 

∂a

 

∂a

 

=

∂g(x1 , x2 , a)

 

 

 

xi

= xi (a)

 

 

∂a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= xi (a)

=

 

 

 

−λ

∂h(x1 , x2 , a)

 

xi = xi (a)

, где i =1,2.

 

∂a

 

 

 

 

 

 

Здесь интерпретация частных производных нуждается в специальном объяснении: они являются производными функций g и h по параметру a в точке оптимального выбора, то есть берутся оптимальные значения x1 и x2 и рассматриваются как фиксированные.

Доказательство.

Продифференцируем тождество M (a) ≡ g(x1 (a), x2 (a),a) по a :

(3.16)

dM =

∂g

 

dx1

+

∂g

 

dx2

+

∂g

∂x1

da

∂x2

 

∂a

 

da

 

 

 

da

Из условий первого порядка мы получаем, что:

(3.17)

∂g

=λ

∂h

и

∂g

=λ

∂h

.

∂x

∂x

∂x

 

 

 

 

 

2

 

∂x

2

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

Подставим это в уравнение:

67

(3.18)

dM

=λ (

∂h

 

dx1

+

∂h

 

dx2

) +

∂g

da

∂x

da

∂x

2

da

∂a

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно, что функции оптимального выбора должны тождественно

удовлетворять условию связи:

 

 

 

 

 

 

 

(3.19)

h(x1 (a), x2 (a),a) ≡0

 

 

 

 

 

Продифференцировав это тождество по a , получаем:

(3.20)

 

∂h

 

 

dx1

+

 

∂h

 

 

dx2

+

∂h ≡0

 

 

 

∂x

 

da

∂x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

da

∂a

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.21)

 

 

∂h

 

dx1

 

+

 

∂h

 

dx2

 

= −

∂h

 

 

 

 

 

 

 

 

da

 

∂a

 

 

 

 

 

∂x1

da

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

Подставляя (3.21) в (3.18) получаем:

 

 

(3.22)

 

dM =λ

(−∂h)

+

∂g = ∂g

−λ

∂h

, что и требовалось доказать.

 

 

da

 

 

∂a

 

 

∂a

 

∂a

 

∂a

 

Лемма Шепарда.

Пусть x1 = h1 ( p1 , p2 ,U ) – компенсированный спрос потребителя на благо 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

)

дифференцируема и p1 >0,

Тогда если функция расходов потребителя E( p1 , p2 ,U

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂E( p1 , p2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.23)

x1

= h1 ( p1 , p2 ,U ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂p1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь E

–

минимальное

 

значение целевой

функции

g = p1 x1 + p2 x2 .

Роль

параметра

a

играет цена

первого блага

p1 .

Тогда

в

соответствии с

теоремой

об

огибающей:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−λ

∂U (x1 , x2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂E( p1 , p2 ,U ) =

 

∂g(x1 , x2 , p1 )

 

x = x ( p )

 

 

x = x ( p )

 

 

 

∂p

 

)

 

∂p1

 

 

∂p1

 

i

i 1

 

 

 

1

 

i

i

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

68

(3.25)

(3.26)

Но

∂U (x1 , x2 )

=0, так как функция ограничения не зависит от p .

 

 

 

 

∂p1

 

1

 

 

 

 

 

∂g(x1 , x2 , p1 )

=( p x + p x )'

= x

 

 

 

 

∂p1

2 2 p

1

1 1

 

 

 

 

 

1

 

Следовательно, ∂E( p∂1 ,pp2 ,U ) = x1 , где x1 = h1 ( p1 , p2 ,U ) , так как

1

(3.27) оптимальное количество каждого блага в задаче минимизации расходов потребителя при заданном уровне полезности есть значение функции компенсированного спроса при определённой цене этого блага.

Вывод уравнения Слуцкого.

В §1 второй главы мы решили задачу максимизации полезности при заданном бюджетном ограничении и получили функции некомпенсированного спроса потребителя на все блага из товарного набора. Поскольку здесь мы будем рассматривать изменение цены первого блага, то проанализируем некомпенсированный спрос на него:

(3.28) x1 ( p1,..., pn , I )

В §2 второй главы мы решили задачу минимизации расходов потребителя при заданном уровне полезности и получили функции компенсированного спроса потребителя. Функция компенсированного спроса на первое благо:

(3.29) h1 ( p1,..., pn ,U )

Затем мы вывели функцию расходов потребителя:

(3.30) E( p1,..., pn ,U )

69

и сформулировали принцип двойственности между выше указанными задачами потребительского выбора. Из этого принципа вытекало несколько важных тождеств, два их которых мы используем при выводе уравнения Слуцкого:

(3.31)

E( p1,..., pn ,V ( p1,..., pn , I )) ≡ I

(3.32)

 

 

 

 

 

h1 ( p1,..., pn ,U

) ≡ x1 ( p1,..., pn , E( p1,..., pn ,U ))

Теперь мы можем продифференцировать уравнение (3.32) по p1, помня, что p1

дважды включается в функцию некомпенсированного спроса:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂h1 ( p1,..., pn ,U

) = ∂x1 ( p1,..., pn , E( p1,..., pn ,U )) +

(3.33)

∂p1

 

 

 

 

 

 

 

∂p1

 

 

 

 

 

 

 

))

 

 

 

 

∂x ( p ,..., p , E( p ,..., p ,U

 

∂E( p ,..., p ,U )

+

1 1

n

1

n

1

n

 

 

 

∂E

 

 

 

 

 

∂p1

Использовав тождество (3.31), мы можем переписать уравнение (3.33) следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.34)

∂h1 ( p1,..., pn ,U

)

=

∂x1 ( p1,..., pn , I ) +

∂x1 ( p1,..., pn , I )

 

∂E( p1,..., pn ,U )

 

∂p1

 

∂p1

∂I

 

∂p1

Использовав лемму Шепарда (3.27) и поменяв местами члены уравнения (3.34), получаем уравнение Слуцкого:

 

∂x1 ( p1,..., pn , I )

 

 

 

 

 

 

(3.35)

=

∂h1 ( p1,..., pn ,U

) −

∂x1 ( p1,..., pn , I )

x1

 

∂p1

 

∂p1

∂I

 

Проанализируем его.

Выражение в левой части уравнения Слуцкого

(3.36)

∂x1 ( p1,..., pn , I )

∂p1

 

отражает изменение в некомпенсированном спросе потребителя на первое благо при бесконечно малом изменении цены этого блага. Как было сказано в предыдущем параграфе, это изменение есть сумма двух эффектов – замещения и дохода. Они представлены в правой части уравнения Слуцкого.

 

 

 

 

(3.37)

∂h1 ( p1,..., pn ,U

)

∂p1

 

представляет собой изменение в компенсированном спросе потребителя на первое благо при бесконечно малом изменении цены этого блага. Как известно, в компенсированном спросе элиминирован эффект дохода, следовательно, это слагаемое

70

Смотрите также файлы