Файл: Егоров, Казаков Мет. по лин. програм..pdf

7

дов 1,2 и 3 составляет 3 , 2 и 5 у.е. соответственно.

Каков наиболее выгодный суточный объем производства каждого вида продукции?

Анализ словесной формулировки

Цель – максимизировать прибыль от продажи.

Ограничения – пределы времени использования операций.

Математическая формулировка задачи

Так как и прибыль, и продолжительность операций зависят от числа изделий каждого вида, в качестве искомых переменных выбираем:

x1 - количество изделий вида 1, x2 - количество изделий вида 2, x3 - количество изделий вида 3.

Тогда целевая функция будет выражать величину прибыли за сутки

z3x1 2 x2 5 x3 ,

аее максимизация обозначается

z3x1 2 x2 5 x3 max.

Заданное предельное время использования операций в течение суток выражается огра-

ничениями

аусловие неотрицательности количества изделий ограничениями

x1 0 , x2 0 , x3 0 .

Математическая модель задачи z 3x1 2 x2 5 x3 max

при ограничениях

8

1.1.2. Задача составления смеси (о диете)

Словесная формулировка задачи

Для испытания двигателей составляют смесь горючего объемом не менее 200 литров из

трех компонентов, каждый из которых имеет свою цену за один литр и содержит доли трех необходимых веществ. Известны предельные доли этих веществ, которые могут содержаться в итоговой смеси и определяют ее качество.

Необходимо составить требуемую смесь минимальной стоимости.

Анализ словесной формулировки

Цель – минимизировать стоимость смеси.

Ограничения – объем смеси горючего и ее качество.

Математическая формулировка задачи

И стоимость, и объем, и качество смеси зависят от объема каждого из трех компонентов.

Поэтому в качестве искомых переменных выбираем: x1 - объем в литрах первого компонента в смеси, x 2 - объем в литрах второго компонента в смеси, x3 - объем в литрах третьего компонента в смеси.

Целевая функция будет представлять стоимость полученного объема смеси

z0.04 x1 0.15 x2 0.4 x3 ,

аее минимизация обозначается

z0.04 x1 0.15 x2 0.4 x3 min.

Необходимый объем смеси выражается ограничением x1 x2 x3 200 .

Качество смеси, зависящее от содержания в ней первого вещества, выражается ограни-

чениями

9

0.38 x1 0.001x2 0.002 x3 0.008 x1 x2 x3 , 0.38 x1 0.001x2 0.002 x3 0.012 x1 x2 x3 .

Качество смеси, зависящее от содержания в ней второго вещества, выражается ограни-

чением

0.09 x2 0.5 x3 0.22 x1 x2 x3 .

Качество смеси, зависящее от содержания в ней третьего вещества, выражается ограни-

чением

0.02 x2 0.08 x3 0.05 x1 x2 x3 .

Условие неотрицательности объемов компонентов выражается ограничениями x1 0 , x2 0 , x3 0 .

Математическая модель задачи

После приведения неравенств к стандартному виду окончательная математическая фор-

мулировка задачи представляется следующим образом: z 0.04 x1 0.15 x2 0.4 x3 min

1.1.3. Задача о раскрое

Словесная формулировка задачи

Производятся исходные рулоны шириной 20 единиц. Поступил заказ, выполнение кото-

рого требует разрезания этих рулонов. Объем заказа, ширина заказываемых рулонов, воз-

можные варианты разрезания производимого рулона, количество получаемых при этом ру-

лонов заказываемой ширины и остающиеся потери приведены в таблице.

Требуется найти потребные количества исходных рулонов, разрезаемых по каждому из

6-ти вариантов, при которых удовлетворяются поступившие заказы с минимальными по-

терями.

Математическая модель

Идентификация переменных:

x j - количество исходных рулонов, разрезаемых по варианту j , j 1,2,...,6 ;

x7 , x8 и x9 - избыточное количество рулонов соответственно шириной 5, 7 и 9 единиц.

Избыточное количество рулонов шириной 5, 7 и 9 единиц, получаемое при разрезании исходных рулонов и превышающее заказанное количество, обозначим соответствующими переменными:

Целевая функция выражает суммарные потери:

z 4 x1 3x2 1x3 0 x4 1x5 2 x6 5 x7 7 x8 9 x9 .

В итоге, математическая модель имеет вид:

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 0.