Файл: Лекция 9. Вычисление пределов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.01.2025

Просмотров: 100

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1

Лекция 9. Свойства пределов и их вычисление

9.1.Основные теоремы о пределах

Не будем писать ни , ни , подразумевая то или другое.

Теорема 1. Функция не может иметь более одного предела.

Доказательство. Пусть функция

имеет два предела

и

, причем,

. Тогда по свойству 1

бесконечно малых будем

иметь, что

, где

и

,

где

. Вычитая эти

равенства одно из другого, получим:

, откуда

. Это равенство невозможно, так как по свойству 2 бесконечно малых

величина является бесконечно малой, а . Следовательно,

наше предположение о существовании двух разных пределов неверно.

Теорема 2. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций:

.

Теорема 3. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Действительно, если , - постоянная величина и, следовательно,

, то

, что и требовалось доказать.

2

Теорема 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля:

, если .

Пример 1.Найти lim(5x2 6x 7) .

x 1

Решение. Из приведенных выше теорем следует, что

и

Пример 2. Найти lim

x2 1

.

2x

2

x 1

x 0

Решение. Из приведенных выше теорем следует, что

; ;

.

5.2.Непрерывность функций

Определение. Функция

называется непрерывной в точке , если она

удовлетворяет следующим трем условиям:

1. Она определена в точке

;

3

2. Имеет конечный предел при ;

3.

lim f (x) f (x0 ) .

x x0

Пример 3. Функция

. Не является непрерывной в точке

, так как

она в этой точке не определена.

Определение непрерывности может быть записано в символическом

виде

lim f (x) f (lim x) .

x x0

x x0

То есть, для непрерывной функции возможна перестановка знаков предела и функции.

Теорема 5. Всякая элементарная функция непрерывна во всей своей области определения.

Таким образом, вычисление пределов элементарных функций сводится к простой подстановке предельного значения аргумента в

выражение функции.

Пример 4. Найти предел функции

√

√

при

.

Решение.

Так

как

функция

элементарна,

то

lim (t) (6) 6

36 20 lg( 6

36 20) 24 lg10 24 1 23

t 6

И в этом примере предел вычислен сразу. Однако чаще встречаются

случаи, когда для вычисления примера необходимо применять специальные

методы.

4

5.3.Методы раскрытия неопределенностей

5.3.1. Неопределенность вида

Пример 5. Найти lim

x2 1

.

2x

3

x

x 1

Решение. Если вместо переменной x подставить

, то в числителе и в

знаменателе получится

, то есть, будем иметь неопределенность

.

Числитель и знаменатель делим на выражение

,

где

максимальная

степень числителя и знаменателя. В данном примере

.

x2

1

1

1

1

1

x2 1

x3

x3

x3

lim

lim

lim

x

.

x 2x3 x 1

x 2x3

x

1

x

1 1

1 1

2

2

x2

x3

x3

x3

x3

По теореме о связи бесконечно малых и бесконечно больших, изложенной в

лекции 8, имеем:

и

. Тогда окончательно

lim

x2

1

0 0

0

0.

2 0

x 2x3 x 1

0 2

5.3.2. Неопределенность вида

А). Под пределом стоит отношение двух многочленов

В этом случае, многочлены необходимо разложить на простые множители и сократить на выражение , где предельное значение аргумента .

x2 1 Пример 6. . Найти lim 2x2 x 1.

x 1

5

Решение. Если вместо переменной x подставить 1, то в числителе и в знаменателе получится 0, то есть, будем иметь неопределенность .

Раскладываем числитель и знаменатель на простые множители:

lim

x2 1

. lim

(x 1)(x 1)

.

2x2 x 1

1

x 1

x 1

2(x 1)(x

)

2

Сократив на скобку

, окончательно имеем:

lim

x2 1

. lim

(x 1)

2

.

2x2 x 1

2x 1

3

x 1

x 1

Б). Под пределом стоит функция, содержащая иррациональное выражение

1. Метод введения новой переменной

Выражение, стоящее под корнем обозначают через выражение

, где

выбирают таким, чтобы все корни извлеклись нацело. После

этого

получаем предел как в пункте А.

x 1

Пример 7. Найти limx 1 3 x 1.

Решение. Если вместо переменной x подставить 1, то в числителе и в

знаменателе получится 0, то есть, будем иметь неопределенность

. Вводим

√

новую переменную

. Как видим, если

, то

и √

,

√√ . Тогда в новых переменных предел принимает вид:

t3

(t 1)(t 2 t

t 2

lim

x 1

. lim

1

lim

1)

lim

t 1

1 1 1

1,5

t 2

1

(t 1)(t 1)

t 1

1

3

x 1

1

x 1

t 1

t 1

t 1

6

2.Перевод иррациональности из знаменателя в числитель, а из числителя в знаменатель

Используя формулы сокращенного умножения

,

и

решим предыдущий пример.

Пример 8. Найти lim

x

1

.

3

x 1

x 1

Решение. Числитель и знаменатель

умножаем на выражение √

√

√

lim

x 1

. lim

(

x 1)(

x 1)(3

x2

3

x 1)

.

x 1

x 1 3

x 1 (

x 1)(3

x 1)(3

x2

3

x 1)

Учитываем, что

(√

)(√

)

и (√

)(√

√

)

. Получаем:

x 1 3

1

x2 3

x2

lim

x 1

lim

x

lim

3

3 x

1

1 1 1

1,5 .

3 x 1

x 1 x 1

x 1

1 1

x 1

x 1

x 1

В). Под пределом стоит выражение, содержащее тригонометрические

функции

Такие пределы вычисляются с помощью первого замечательного

предела lim

sin

lim

1.

0

0 sin

Пример 9. . Найти lim

1 cos x

.

x

2

x 0

Смотрите также файлы