Файл: ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ ПЛОСКИХ ФИГУР (А.Ю. Горячкина, И.А. Горюнова) (книга).pdf

радиусами R − R1 и R + R2. Для всех случаев точки сопряжения K и M лежат на линиях, соединяющих центры сопрягаемых окружностей.

4.7. Построение касательной к окружности, проведенной через заданную точку, лежащую вне окружности

Способ 1 (рис. 40). Точки сопряжения K и K1 расположены на окружности при ее пересечении со вспомогательной окружностью, диаметр которой равен AO (вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, следовательно, угол OKA прямой, AK — касательная).

Способ 2 (рис. 41). Точка сопряжения К расположена на окружности при ее пересечении с отрезком OC. Точка C — точка пересечения первой вспомогательной окружности с центром в точке O, радиус которой в 2 раза больше радиуса заданной окружности, и второй вспомогательной окружности с центром в точке A радиуса AO (точка K является серединой отрезка OC основания равнобедренного треугольника CAO, следовательно, угол OKA прямой, AK — касательная).

Способ 3 (рис. 42). Точка сопряжения K расположена на окружности при ее пересечении с отрезком OC. Точка C — точка пересечения вспомогательной окружности с центром в точке O радиуса OA с касательной t (треугольники OPC и OKA конгруэнтны, так как имеют общий угол при вершине O, заключенный между равными сторонами OP = OK, OC = OA, но треугольник OPC прямоугольный (угол при вершине P = 90◦), поэтому угол К = 90◦, AK — касательная).

Рис. 42 Рис. 43

Способ 4 (рис. 43). Точка сопряжения K получена вращением вокруг точки O касательной t в произвольной точке С заданной окружности до совмещения точки N с точкой A. Точка С займет положение точки K; AK — касательная.

18

4.8. Построение касательной к двум окружностям

Эта задача сводится к задаче на построение касательной к окружности, проведенной через заданную точку, лежащую вне окружности (см. разд. 4.7).

Внешнее касание (рис. 44). Из центра O1 большей окружности построить вспомогательную окружность радиуса R1 − R2. Разделить отрезок O1O2 пополам в точке O и провести вторую вспомогательную окружность радиуса R = OO1. Точка B пересечения вспомогательных окружностей определяет направление радиуса O1K1, где K1 — искомая точка сопряжения для окружности радиуса R1. Для построения точки сопряжения K2 для окружности радиуса R2 достаточно из центра O2 провести радиус O2K2 параллельно радиусу O1K1 до пересечения с окружностью радиуса R2.

Внутреннее касание (рис. 45). Из центра O1 большей окружности построить вспомогательную окружность радиуса R1 +R2. Далее выполнить построения в соответствии

срис. 44.

4.9.Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга сопряжения

проходит через заданную точку на окружности

Центр дуги сопряжения O1 (рис. 46, а — внешнее касание; рис. 46, б — внутреннее касание) определяется точкой пересечения прямой OA, проведенной через точку сопряжения A и центр O заданной окружности, и биссектрисы угла ABK, образованного касательной AB в точке сопряжения A и заданной прямой t. Радиус сопрягающей дуги равен расстоянию O1A; O1K t, где точка K — точка сопряжения на прямой t.

Рис. 46

19

4.10. Сопряжение окружности и прямой при условии, что дуга сопряжения проходит через точку на прямой

Центр дуги сопряжения O1 (рис. 47, а — внешнее касание; рис. 47, б — внутреннее касание) определяется точкой пересечения перпендикуляров m и n; m — перпендикуляр к прямой t, проведенный через точку A; n — серединный перпендикуляр к отрезку OB (отрезок AB равен радиусу R заданной окружности). Поскольку точка касания двух окружностей находится на линии, соединяющей их центры, то точка K — точка сопряжения; O1K — радиус дуги сопряжения.

Рис. 47

4.11. Сопряжение двух неконцентрических дуг окружностей третьей дугой заданного радиуса R

Даны две дуги, описанные из центров O1 и O2 радиусами R1 и R2. Для сопряжения их дугой заданного радиуса R (рис. 48) проведем из тех же центров две вспомогательные дуги радиусов R1 + R и R2 − R. Пересечение этих дуг позволяет определить искомый центр сопряжения — точку O. Точки сопряжения K и M лежат на линиях, соединяющих центр сопряжения и соответствующие центры дуг.

Рис. 48

4.12. Сопряжение окружности в заданной точке с окружностью, проходящей через заданную точку

Центр О1 дуги сопряжения (рис. 49, а — внешнее касание; рис. 49, б — внутреннее касание) определяется точкой пересечения прямой, проведенной через центр O и заданную точку сопряжения B, с перпендикуляром, восстановленным из середины хорды AB; O1B — радиус искомой окружности.

20

Рис. 49

4.13. Сопряжение двух параллельных прямых двумя дугами при заданных точках сопряжения

Для построения центров сопряжения O1 и O2 (рис. 50) заданные точки сопряжения A и B соединены отрезком AB. На отрезке AB выбрана произвольная точка M. Восстановлены серединные перпендикуляры к отрезкам AM и MB. Искомые центры сопряжения O1 и O2 находятся в точках пересечения серединных перпендикуляров с соответствующими перпендикулярами, проведенными к заданным прямым из точек сопряжения A и B. Радиусы сопрягаемых дуг: R1 = O1A; R2 = O2B. Касание дуг происходит в точке M, находящейся на линии центров O1O2. Если AM = MB, то

R1 = R2.

Рис. 50

Примеры использования сопряжений в инженерной практике представлены на рис. 51 и 52.

Рис. 51

21

Рис. 52

5.УКЛОНЫ И КОНУСНОСТЬ

5.1.Уклоны. Обозначение, построение

Уклоном прямой по отношению к какой-либо другой прямой называется величина ее наклона к этой прямой, выраженная через тангенс угла между ними (рис. 53).

Рис. 53

Обозначение уклонов на чертеже выполняют в соответствии с ГОСТ 2.307–2011 «Нанесение размеров и предельных отклонений». Уклон указывают с помощью линиивыноски, на ее полке наносят знак уклона и его значение. Знак уклона должен соответствовать уклону определяемой линии: одна из прямых знака уклона должна быть горизонтальной, а другая — наклоненной в ту же сторону, что и определяемая линия уклона. Угол уклона линии знака составляет примерно 30◦. На чертеже уклоны указывают либо в процентах (рис. 54), либо дробью в виде отношения двух чисел (рис. 55). Незначительный уклон допускается изображать на чертеже с увеличением.

Прямую заданного уклона b : a (по отношению к горизонтальной линии) проводят через точку А следующим образом (рис. 56). Из данной точки А проводят горизонтальный луч и на нем от точки А откладывают длину a (равную числовому значению делителя в выражении данного уклона) — получают точку В, через которую проводят вертикальную линию, и на ней от точки В откладывают длину b (численно равную значению делимого в выражении данного уклона) — получают точку С. Прямая, проведенная через точки А и С, будет иметь требуемый уклон.

22

Рис. 56

5.2. Конусность. Обозначение, построение

Конус вращения определяется двумя размерами; усеченный конус определяется тремя размерами (рис. 57), задаваемыми в зависимости от условий различным образом: углом α или α/2, одним из диаметров и размером L.

Рис. 57

Конусностью C называется отношение разности диаметров двух поперечных сечений конуса вращения к расстоянию между ними (см. рис. 57). Это отношение равно удвоенному тангенсу половины угла при вершине конуса, т. е. конусность равна удвоенному уклону образующей конуса к его оси.

23