Например,

а11	а12’ + а12’’	а13		а11	а12’	а13		а11	а12’’	а13
а21	а22’ + а22’’	а23	=	а21	а22’	а23	+	а21	а22’’	а23
а31	а32’ + а32’’	а33		а31	а32’	а33		а31	а32’’	а33

Особое внимание прошу обратить на следующее свойство, имеющее важное значение для вычисления определителей.

Свойство 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится.

Это свойство вытекает из свойств 7 и 6. Действительно, пусть, например, к элементам первого столбца прибавлены элементы второго столбца, умноженные на некоторое число k. Тогда, согласно свойству 7, имеем:

а11+kа12	а12	а13		а11	а12	а13		kа12	а12	а13
а21+kа22	а22	а23	=	а21	а22	а23	+	kа22	а22	а23
а31+kа32	а32	а33		а31	а32	а33		kа32	а32	а33

---

Второй из полученных определителей равен нулю. Приходим к равенству:

а11+kа12	а12	а13		а11	а12	а13
а21+kа22	а22	а23	=	а21	а22	а23
а31+kа32	а32	а33		а31	а32	а33

Используя свойство 8, можно получить треугольный опреде-литель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали, - нули. Он равен произведению элементов главной диагонали:

а11	0	0		а11	а12	а13
а21	а22	0	=	0	а22	а23	=
а31	а32	а33		0	0	а33

---

= a₁₁ ^. a₂₂ ^. a₃₃

Для формулировки следующих свойств определителя познакомимся с понятием минора и алгебраического дополнения.

Пусть а_ij, где индекс i и j меняются от 1 до n - элемент определителя n-го порядка D= |а_ij|.

Минором М_ij элемента а_ij называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Например, минор М₁₂, соответствующий элементу а₁₂ определителя (2), получается, если вычеркнуть первую строку и второй столбец, т.е.

	а11	а12	а13
М12 =	а21	а22	а23	=	а21	а23
	а31	а32	а33		а31	а33

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятого со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число - нечетное. Более кратко можно сказать, что алгебраическим дополнением элемента а_ij определителя D называется минор М_ij этого элемента, взятый со знаком (-1) в степени i + j. Его принято обозначать А_ij. Таким образом,

Аij = (-1) i+j . Mij

(3)

---

Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, следует рассмотреть алгебраические дополнения всех элементов определителя и сравнить их с минорами.

Пример 3. Найти алгебраические дополнения элементов а₁₃, а₂₁, а₃₁ определителя

			-1	2	3
		D=	2	0	-3
			3	2	5
А13 = (-1)1+3 .		2	0	=	2	0	= 4 - 0 = 4
		3	2		3	2
А21 = (-1)2+1 .		2	3	= -	2	3	=- (10 - 6) =-4
		2	5		2	5
А31 = (-1)3+1 .		2	3	=	2	3	= -6 - 0 = - 6
		0	-3		0	-3

---

Смотрите также файлы

• Лекции по основам интегрального исчисления функций одной переменной и обыкновенным дифференциальным уравнениям.doc

• otvety_v_2003m.doc

• Vvedenie_v_psihologiu_Karandashev_.doc

• Конспект по МСС.doc

• КР СОЦ,АНТРОПОЛ.docx