Файл: Лекция 1 матан.docx

Иначе говоря, для того чтобы функция была бесконечно малой при необходимо и достаточно, чтобы обратная к ней по величине функция была бесконечно большой при

Используя эту теорему, можно доказать истинность следующих операций над бесконечно большими функциями:

Таблица 2

И, наконец, отметим ещё ряд свойств, связанных с пределами функций.

Теорема 8 (о пределе промежуточной функции). Пусть в некоторой окрестности точки выполняются неравенства и пусть, кроме того, крайние функции имеют пределы в точке и эти пределы равны друг другу, т.е.

Тогда существует предел промежуточной функции и он равен т. е. Теорема 9. Пусть в некоторой окрестности точки выполняются неравенства и пусть существуют пределы

Тогда (докажите это утверждение самостоятельно).

Теорема 10 (о знаке предела). Если в некоторой проколотой окрестности функция неотрицательна (неположительна) и существует предел то (соответственно).

В тех случаях, когда при вычислении того или иного предела непосредственный переход к пределу при приводит к одному из символов типа

возникает ситуация, в которой становятся неприменимы теоремы об арифметических действиях над пределами. В таких случаях возникает неопределённость при решении вопроса о существовании предела или его величины. Эта неопределённость может быть снята после некоторых тождественных преобразований. В этом случае говорят, что тождественные преобразования приводят к раскрытию неопределённости. Поясним сказанное примером.

Пусть требуется вычислить предел Если в указанном отношении мы сразу же перейдём к пределу, то получим неопределённость типа Что скрывается под этим символом, мы пока не знаем. Попрубуем избавиться от неопределённости. Применим для этого таблицу 1 стандартных асимптотических разложений и теорему 5. Получим