Файл: математика все лекции.docx

Теорема Коши для многосвязной области. Пусть область связна,причемеё внешняя граница, аеё внутренние границы, обходимые все против часовой стрелки. Пусть функцияаналитична вТогда имеет место равенство

Доказательство проведём для двухсвязной областиСделаем разрезсоединяющий внутреннюю и внешнюю границыиТогда областьбудет односвязной, а замкнутый контурлежит вЗначит, для этого контура справедлива предыдущая теорема:Применяя свойство аддитивности интеграла, будем иметь

Рис. 10Учитывая, чтоприходим к равенству

Остаётся учесть что здесь контуры иобходятся против часовой стрелки. Теорема доказана.

И, наконец, сформулируем без доказательство следующее важное утверждение.

Интегральная теорема Коши.Пусть функция аналитична в односвязной областиТогда какова бы ни была точкалежащая внутри областии замкнутый кусочно-гладкий контур, охватывающий точкуи обходимый против часовой стрелки, справедливаинтегральная формула Коши

При этом функция имеет всюду впроизводные любого порядка, для которых справедлива формула

Замечание.Если функция аналитична в замкнутой ограниченной областис кусочно гладкой границейто в качестве контурав (6) можно взять границуТогда из (5) вытекает, чтоаналитическая в функцияполностью определяется своими значениями на границеТаким свойством действительные функции не обладают.

Интегральная формула Коши имеет многочисленные применения, о которых будет сказано в дальнейшим. Рассмотрим несколько примеровⁱ.

Пример 1. Вычислить

Решение.Внутри окружностизнаменатель дроби обращается в нуль в точке. Для удобства применения формулы (5) перепишем интеграл в виде

Здесь ианалитична в круге. Тогда.

Пример 2. Вычислить: по

а) контуру ; б).

Решение. а) В кругефункцияаналитична. Следовательно, по теореме Коши для односвязной области получаем, что.

Рис. 11

б) Так как внутри контура интегрирования знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль в точках и, то для того, чтобы стало возможным применить формулу (5), рассмотрим многосвязную область(рис. 11), ограниченную окружностьюи внутренними контурамии.

Тогда в области функцияявляется аналитической, и по теореме Коши для многосвязной области можно записать:

Для вычисления интегралов справа применим формулу (5):

Таким образом, .

3. Первообразная функции комплексных переменных

Функция называетсяпервообразнойфункции в областив областиеслидифференцируема ви

Из теоремы Коши для односвязной области следует, что интеграл не зависит от формы путиПоэтому можно сформулировать следующее утверждение.

Теорема 1. Если однозначная функция дифференцируема в односвязной областито она имеет первообразную в этой области. Одной из первообразных является интегралгделюбой кусочно-гладкий путь, соединяющий фиксированную точкус текущей точкой. Все остальные первообразные имеют видгдепроизвольная комплексная постоянная.

Доказательство этой теоремы проводится так же, как и в действительном анализе. Используя эту теорему, нетрудно доказать следующие утверждения.

1. Если функция аналитична в односвязной областииеё первообразная в, то справедлива формула Ньютона-Лейбница

2. Если функция аналитична в односвязной областииеё первообразная в, то справедлива формула интегрирования по частям

Замена переменных в интегралах от функции комплексного переменного аналогична случаю функции действительного переменного. Пусть аналитическая функция отображает взаимно однозначно кусочно-гладкий контурв плоскостина контурв плоскости.Тогда

Замечание 2. Интегралы от элементарных однозначных функций в односвязных областях вычисляются по тем же формулам, что и в действительном анализе. Если же областьнеодносвязна, то это правило может нарушаться. Для вычисления интеграла от многозначной функции указывается, какая именно однозначная ветвь ее берется (см. ниже пример 7). Это достигается заданием значения многозначной функции в некоторой точке контура интегрирования. Если контур интегрированиязамкнут, то начальной точкойпути интегрирования считается та, в которой задано значение подынтегральной функции. Рассмотрим примеры.