Файл: математика все лекции.docx

Лекция 5. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера и метод подбора вычисления частных решений неоднородных уравнений

На предыдушей лекции были приведены примеры линейно независимых систем функций. Сделано это было не случайно, так как именно такие функции образуют фундаментальные системы решений дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнения такого типа могут быть изучены полностью, если будут найдены корни соответствующих характеристических многочленов (см. ни же ). Построению корней этих многочленов (их называют характеристическими числами) и связи характеристических чисел с решениями дифференциальных уравнений уделяется основное внимание в настоящей лекции.

1. Метод Эйлера построения общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения

Рассмотрим уравнение

с постоянными коэффициентами Построим по нему алгебраическое уравнение

заменив в (1) производные на степени().

Определение 1. Многочлен называется характерис-

тическим многочленом уравнения (1), а само уравнение – характеристическим уравнением, соответствующим уравнению (1).

Имеет место очевидное тождество

если – постоянная, так как

Теорема Эйлера. Для того чтобы экспонента (– постоянная) была решением уравнения (1), необходимо и достаточно, чтобыбыло корнем характеристического многочлена(или, что то же самое, корнем характеристического уравнения).

Доказательство. Действительно, если то из (2) следует тождествопоказывающее, что экспонентаявляется решением уравнения (1). Обратно: если– решение уравнения (1), тои из (2) следует, чтот.е.– корень характеристического многочленаТеорема доказана.

Из теоремы Эйлера сразу же вытекает следующий результат.

Теорема 1. Если все корни характеристического уравненияразличны (т.е.), то система функций

образует фундаментальную систему решений уравнения (1). В этом случае общее решение (на любом отрезке [a,b]) уравнения (1) имеет вид

где – произвольные постоянные.

Доказательство следует сразу из теоремы Эйлера и утверждения предыдущей лекции.

Общее решение (4) уравнения (1) может быть комплексным, если хотя бы один из корней характеристического полиномакомплексный. Для уравнений (1) с действительными коэффициентамипринято записывать общее решение в действительной форме. Это нетрудно сделать, если воспользоваться утверждениемлекции 4 и отделив в комплексном решении мнимую и действительную части:иСогласнодействительные функцииитакже являются решениями однородного уравнения (1) с действительными коэффициентами. Поступив так с каждой комплексной экспонентой в, получим следующий результат.

Теорема 2. Пусть корни характеристического уравненияразличны, а коэффициентыуравнения (1) действительны. Пусть, далее, корни–действительны, а остальные корникомплексны:

Тогда фундаментальную систему решений уравнения (1) можно выбрать в виде действительных функций

а общее решение уравнения (1) записать в виде

где – произвольные постоянные.

Доказательство следует из того, что функции (5) являются решениями уравнения (1) (лекция 4, утверждение ) и образуют линейно независимую систему на любом отрезке(лекция 4, утверждение). Остаётся заметить, что в силу действительности всех коэффициентовуравнения (1) его характеристическое уравнениенаряду с корнемимеет и комплексно-сопряженный корень

Пример 1.Найти общее решение уравнения

Решение. Составим характеристическое уравнение :

Разлагая его левую часть на множители, будем иметь

Итак, все корни характеристического уравнения различны. Согласно теореме 1 соответствующая фундаментальная система решений будет иметь вид

а значит общее решение исходного уравнения запишется в форме

2. Построение общего решения однородного дифференциального уравнения в случае кратных корней характеристического уравнения

Напомним сначала, что корень характеристического многочленаназывается корнем кратности если

Полезно заметить, что если полином имеетразличных корней(– степень многочлена), то все они имеют кратностьОднократные корни называют еще простыми корнями .

Записав для многочлена формулу Тейлора

(остаточный член его равен тождественно нулю), получим с учетом равенств (6), что если – корень кратности, топредставляется в виде

где – многочлен степенитакой, чтоОчевидно, верно и обратное: еслипредставляется в виде (7) , где то–- корень кратностимногочлена

Построению фундаментальной системы решений в случае кратных корней характеристического уравнения предпошлем несколько вспомогательных утверждений.

Если – дифференциальный оператор с постоянными коэффициентамито имеет место формула

Действительно, по (2) имеем Дифференцируя это тождество пои учитывая, что операторыиперестановочны при применении их к бесконечно дифференцируемой поифункции, будем иметь

Таким образом, справедливо тождество (8).

Пусть– корень кратностихарактеристического многочленауравнения (21.26) с постоянными коэффициентамиТогдафункций

линейно независимы на любом отрезке и являются решениями уравнения (1).

Доказательство.Пусть–- любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству. Согласноимеет место тождество

где (см.). Имеем

Полагая в последнем тождестве , будем иметь

Это означает, что функции (9) являются решениями уравнения (1). Эти функции линейно независимы на любом отрезке (см. утверждениепредыдущей лекции). Свойстводоказано.