Файл: Маткад лекции. ВМ-2.pdf

1

Лекция 14. Обращение преобразования Лапласа (формула Меллина). Восстановление оригиналов по известным изображениям. Решение дифференциальных уравнений операционным методом 78

Лекция 15. Системы дифференциальных уравнений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Структура общих решений однородных и неоднородных 86

2

Лекция 1. Основные понятия: решение и интегральная кривая, порядок уравнения, общее решение (множество всех решений) и частное решение. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные уравнения

Основные понятия.

Совокупность двух или более дифференциальных уравнений, рассматриваемых совместно, называется системой дифференциальных уравнений. Такова, например, система

ì&&x = F1 (x, y, x&, y&, t),

í

î&&y = F2 (x, y, x&, y&,t),

являющаяся математическим выражением второго закона Ньютона, описывающая движение материальной точки массыm в плоскости ХОУ под действием внешней силы F = {F1 , F2 }. Здесь неизвестные функцииx(t) и y(t) являются соответственно абсциссой и

уравнения имеют широкие приложения в прикладных науках, поэтому их изучение весьма актуально. Начнем это изучение с уравнений первого порядка.

если обозначить f (x, y) = -M ( x, y) / N (x, y). И та и другая форма записи равноправны и часто встречаются в конкретных примерах.

Определение 1.1. Областью определения уравнения (1.1) называется множество D пар (x, y) , при которых его правая часть f (x, y) имеет смысл(т.е. может быть вычислена).

Например, областью определения уравнения

(1.1) на отрезке [a, b] , если выполняются следующие условия:

1)точкa (x, y(x)) Î D при всех x Î[a, b] ;

2)функция y = y(x) дифференцируема на отрезке [a, b] и для всех x Î[a, b] имеет место тождество

3

Иногда кратко говорят, что решением уравнения(1.1) (или другого дифференциального уравнения) называется функция, обращающая его в тождество(см. (1.3)). На нестрогом научном уровне такое определение решения приемлемо. Однако в тонких математических исследованиях оно не пригодно, поэтому рекомендуем с самого начала придерживаться понятия решения, данного в определении 1.3.

Замечание. Иногда вместо решения на отрезке[a, b] рассматривают решение на

4

y¢ = y на промежутке [0, +¥) (проверьте условия 1) и 2) определения 1.3).

График решения y = y(x) , т.е. множество

Г = {(x, y) : x Î[a, b], y = y(x)}

на плоскости R2 , называется интегральной кривой дифференциального уравнения (1.1), поэтому часто вместо слов«решить дифференциальное уравнение» говорят «проинтегрировать дифференциальное уравнение».

Рис. 1.1

Поясним геометрический смысл уравнения(1.1). Если y = y(x) интегральная кривая дифференциального уравнения (1.1), то в каждой своей точке (x, y(x)) она имеет касательную, угловой коэффициент которой равенk = f (x, y(x)) (см. тождество (1.3)).

Однако не всегда удается найти решение y = y(x) дифференциального уравнения (1.1), а значит построить его интегральную кривую. Тем не менее по уравнению(1.1) в любом случае можно построить вектор{1; f (x, y)} с началом в точке(x, y) области D определения этого уравнения. Сделав это для произвольной точки (x, y) Î D , мы заполним область D соответствующими векторами{1; f (x, y)}. Полученное множество векторов (или просто отрезков, имеющих направления этих векторов) называют полем направлений дифференциального уравнения (см. рис. 1.1). Заметим, что поле направлений не связано с

4

Интегрируя простейшее дифференциальное уравнение y¢ = 1, можно заметить, что оно имеет бесчисленное множество решений y = x + C , где С – произвольная постоянная. Графики этих решений(интегральные кривые) являются прямыми, параллельными биссектрисе первого координатного угла. Эти прямые заполняют всю плоскость ХOУ. Для выделения вполне конкретной прямой, надо задать хотя бы одну точку, через которую

начальной задачей (или задачей Коши) для дифференциального уравнения (1.1). При этом точка (x0 , y0 ) называется начальной точкой. Ясно, что эта точка должна принадлежать области D определения уравнения (1.1).

И здесь начальное условие y(x0 ) = y0 позволяет (при определенных условиях на функцию f (x, y) (см. ниже теорему Коши)) выделить вполне определенное решение уравнения (1.1).

d (Ce3x ) º 3·(Ce3x ) ("x Î(-¥, +¥)). dx

Это тождество имеет место при любом значении постояннойС. Пусть теперь (x0 , y0 ) –

произвольная (но фиксированная) точка на плоскости R2 . Посмотрим, можно ли найти C = C 0 так, чтобы выполнялось условие y(x0 ) = y0 . Имеем

Ce3 x = y0 Û C =C0 =y0e-3 x0 .

5

решением задачи Коши y ' = 3y, y (x0 ) = y0 . Итак, условия 1) и 2) определения 1.4 общего решения выполнены, и значит y = Ce3x – общее решение уравнения y¢ = 3y .

Однако не всегда удается найти решение уравнения(1.1) в виде функции y = y(x) ,

заданной явно. Если в результате интегрирования уравнения(1.1) получено некоторое соотношение между x и y (алгебраическое, т.е. не содержащее производной y'), то говорят, что найден интеграл уравнения (1.1). Уточним это понятие.

определяющее общее решение вQ этого уравнения неявным образом. Аналогичный смысл имеет частный интеграл F (x, y) = 0 уравнения (1.1).

Используя теорию неявных функций, можно дать следующий алгоритм проверки того, что соотношение (1.5) является общим интегралом уравнения (1.1).

Алгоритм 1.1. а) Продифференцируем соотношение (1.5) по x, считая, что у есть функция x:

¶F + ¶F ·dy = 0.

¶x ¶y dx

б) Присоединим к соотношению(1.5) полученное равенство и из системы двух уравнений

ì F (x, y, C) = 0,

ï

í¶F ¶F dy (1.6)

ïî ¶x + ¶y ·dx = 0

исключим постоянную С. Если при этом будет получено исходное дифференциальное уравнение (1.1) (или эквивалентное ему уравнение), то (1.5) – общий интеграл этого уравнения.

Пример 1.2. Проверить, что соотношение x2 - y2 -Cx = 0 является общим интегралом уравнения x2 + y2 - 2xy·y¢ = 0.

В нашем случае F (x, y,C) º x2 - y2 - Cx. Составляем систему (1.6):

ì2x - 2 y· y¢-C = 0, íî x2 - y2 -Cx = 0.

Исключаем из этих равенств постояннуюС. Для этого из первого уравнения находим С и подставляем ее во второе уравнение:

Общий интеграл (1.5) также позволяет решить любую задачу Коши для уравнения (1.1) (если, конечно, она имеет решение).

Пример 1.3. Найти решение задачи Коши

6