ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 14.04.2025
Просмотров: 1195
Скачиваний: 0
y (z)
f (z) = (z - z0 )m ; y (z0 ) ¹ 0.
Теорема 11.2. Если f (z) ÎC ¥ (0 <| z - z |
0 |
|< r(z |
0 |
)) , |
z --- изолированная особая точка f (z) |
0 |
и | f ( z) |® ¥ при z ® z0 (независимо от способа стремления z к z0 ), то z0 --- полюс f ( z).
3. Существенно особая точка.
Определение 11.2. z0 называется существенно особой точкой функции f (z) , если ряд Лорана функции f (z) в окрестности ее изолированной особой точки z0 содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями разности (z - z0 ) (бесконечное число коэффициентов c-n ¹ 0 ).
Поведение аналитической функции в окрестности существенно особой точки описывается теоремой 11.3.
Теорема 11.3 (Сохоцкого--Вейерштрасса). Для любого комплексного числа
B и любого e > 0 в любой h -окрестности существенно особой точки z0 {0<| z - z0 | Определение 11.3. z = ¥ является изолированной особой точкой однозначно аналитической функции, если существует R > 0 такое, что для любой точки z: | z |> R функция не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от точки z = 0. ¥ Ряд Лорана в окрестности z = ¥:= f (z) å cn zn , R <| z |< ¥. Тогда: n=-¥ a) z = ¥ называется устранимой особой точкой f (z) , если все cn =0 при n > 0 для ¥ функции f (z) = å cn z n , или существует конечный предел f (z) при z ® ¥; n=-¥ б) z = ¥ называется полюсом f (z) , если ряд Лорана функции f (z) в окрестности z = ¥ ¥ содержит конечное число членов с положительными степенями f (z) = å cn zn (m > 0) или | f ( z) |® ¥ при z ® ¥; n=-¥ в) z = ¥ называется существенно особой точкой функции f (z) , если ряд Лорана функции f (z) в окрестности z = ¥ содержит бесконечно много членов с ¥ положительными степенями z: f (z) = å cn zn , или при z ® ¥ у f (z) нет конечного или n=-¥ бесконечного предела. Вычет аналитической функции в изолированной особой точке
68
Пусть z0 --- изолированная особая точка аналитической функции
¥
f (z) = å cn ( z - z0 )n ; 0 <| z - z0 |< r ,
n=-¥ |
f (x) |
||||||||||||||
c |
= |
1 |
dx. |
||||||||||||
2pi ò+ |
|||||||||||||||
n |
(x - z |
)n+1 |
|||||||||||||
C |
0 |
||||||||||||||
Определение 11.4. Комплексное число Re s [ f (z), z0 ] = |
1 |
f (x)dx, где C + |
--- |
||||||||||||
2pi |
|||||||||||||||
ò+ |
|||||||||||||||
C |
|||||||||||||||
замкнутый контур, который можно стянуть к z0 , оставаясь в кольце аналитичности |
|||||||||||||||
функции f (z) , называется вычетом f (z) в точке z0 . Очевидно, Re s [ f (z), z0 ] = c-1. |
|||||||||||||||
Теорема 10.4 (основная теорема теории вычетов). |
|z , z |
,..., z |
) за |
||||||||||||
Пусть f (z) ÎC¥ (G |
2 |
N |
|||||||||||||
1 |
|||||||||||||||
исключением конечного числа N изолированных особых точек. Тогда |
|||||||||||||||
N |
|||||||||||||||
ò f (z)dz = 2piå Re s[ f (z), zn ]. |
|||||||||||||||
¶G |
n=1 |
||||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о. Если f (z) ÎC¥ (G) , то все точки ¶G --- правильные точки f (z) . Выделим каждую из изолированных особых точек zn функции f (z) замкнутым контуром gn , не содержащих внутри других особых точек, кроме zn . В замкнутой многосвязной области, ограниченной ¶G и всеми контурами gn , функция f (z) является всюду аналитической. По теореме Коши для многосвязной области
N
ò f (z)dz + å ò f (z)dz = 0.
¶G |
n=1 r- |
n |
Перенеся второе слагаемое направо, поменяв направление обхода контуров, использовав определение вычета, получим искомое
N
ò f (z)dz = 2piåRe s[ f ( z), z ].
n
¶G n=1
Формулы вычисления вычетов
1.z0 --- устранимая особая точка. Вычет равен Res[ f (z), z0 ] = 0.
2.z0 --- полюс порядка m > 0 .
Если f (z) = |
c-m |
+... + |
c-1 |
+ c |
+ ..., то |
(z - z |
0 |
)m f =(z) |
c |
-m |
+ ... + c |
-1 |
(z - z |
0 |
)m-1 |
+ .... |
|||||||
(z - z0 )m |
z - z0 |
||||||||||||||||||||||
Вычет равен |
0 |
||||||||||||||||||||||
Res[ f (z), z |
] = c |
1 |
lim |
d m-1 |
[(z - z |
) |
m |
f (z)]. |
|||||||||||||||
= |
|||||||||||||||||||||||
0 |
-1 |
(m -1)! z®z0 |
dzm-1 |
0 |
|||||||||||||||||||
Частный случай m =1: |
|||||||||||||||||||||||
Res[ f (z), z0 ] = c-1 |
lim[(= z - z0 ) f (z)]. |
||||||||||||||||||||||
z®z0 |
|||||||||||||||||||||||
69
Если f (z) = |
j(z) |
, j(z0 ) |
¹ |
¢ |
¢ |
||||||||||
y (z) |
0,y ( z) =(z - z0 )y (z0 ) |
+...,y ( z0 ) ¹ 0, |
|||||||||||||
j(z0 ) |
|||||||||||||||
Тогда Res[ f (z), z |
] = c |
= |
. |
||||||||||||
0 |
-1 |
y ¢(z0 ) |
|||||||||||||
3. z0 --- существенно особая точка. Вычет равен |
|||||||||||||||
Res[ f (z), z |
] = c |
= |
1 |
f (x )dx. |
|||||||||||
-1 |
2pi ò+ |
||||||||||||||
0 |
|||||||||||||||
C |
|||||||||||||||
Вычет функции |
f (z) в точке z = ¥ равен |
||||||||||||||
Res[ f (z), z = ¥]= -c= |
- |
1 |
f (x)dx. |
||||||||||||
-1 |
2pi |
ò+ |
|||||||||||||
C |
|||||||||||||||
Сумма всех вычетов функции, аналитической на полной комплексной плоскости,
за исключением конечного числа изолированных особых точек, включая вычет в z = ¥ , равна 0.
70
Лекция 12. Вычисление контурных интегралов с помощью вычетов
Определение 12.1. Функция комплексной переменной f (z) называется мероморфной, если она определена на всей комплексной плоскости и не имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.
Лемма 12.1. Пусть f (z) ÎC ¥ (| z |> R0 Ç Im z > 0)
за исключением конечного числа изолированных особых точек, и
M |
¢ |
|||||||||||
| f (z) |< |
1+d , d > 0. Тогда Rlim®¥ ò |
Ç Im z > 0 ). |
||||||||||
f (x ) = 0 ( CR --- полуокружность| z |= R |
||||||||||||
| z | |
¢ |
|||||||||||
CR |
||||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . При R > R0 : |
||||||||||||
ò f (x )dx |
£ ò |
Mp R |
Mp |
|||||||||
| f (x) | ds < |
= 1+d |
® 0 при R ® ¥. |
||||||||||
R |
d |
|||||||||||
C¢ |
C¢ |
R |
||||||||||
R |
R |
|||||||||||
Замечание.12.1. Если выполнены условия леммы 12.1 при j1 |
то |
|||||||||||
Rlim®¥ ò f (x)dx = |
¢ |
|||||||||||
0, где CR --- дуга окружности, лежащая в секторе | z |= R Ç (j1 |
||||||||||||
CR¢
Замечание.12.2. Условия леммы 12.1 будут выполнены, если функция f (z) является аналитической в окрестности точки z = ¥ , которая является нулем не ниже второго порядка для f ( z).
Теорема 12.1. Пусть функция f (x) задана при -¥ < x < ¥ , и существует аналитическое продолжение f (z) на Im z ³ 0 , имеющее конечное число изолированных особых точек zn ,
не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям леммы { 12.1.}
Тогда существует несобственный интеграл I-го рода
¥ |
N |
||||
ò f (x)dx = 2piåRe s [ f (z), zn ]. |
|||||
-¥ |
n=1 |
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о. При R > R0 |
рассмотрим замкнутый контур |
||||
¢ |
R Ç Im z > 0}. |
||||
(-R < x < R) ÈCR {|=z | |
|||||
R |
N |
||||
По основной теореме теории вычетов |
ò f (x)dx + ò f (x)dx = 2piåRes[ f (z), zn ]. |
||||
-R |
C¢ |
n=1 |
|||
R |
|||||
Но по лемме 12.1 правая часть у предела Rlim®¥ ò |
f (x)dx = 0 |
не зависит от R . |
|||
¢ |
|||||
Следовательно: |
CR |
||||
¥ |
N |
||||
ò f (x)dx = 2piåRes[ f (z), zn ]. |
|||||
-¥ |
n=1 |
||||
Замечание 12.3. Если |
f (x) --- четная функция ( f (-x) = f (x) ) и удовлетворяет условиям |
||||
¥ |
N |
||||
теоремы 12.1, то ò f (x)dx = piåRes[ f (z), zn ]. |
|||||
0 |
n=1 |
||||
71