ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 14.04.2025
Просмотров: 628
Скачиваний: 0
6 |
chat |
p |
14 |
t n f (t) |
(-1)n |
d |
n |
F ( p) |
|||||||||||||||||
p |
2 |
- a |
2 |
||||||||||||||||||||||
dp n |
|||||||||||||||||||||||||
7 |
e |
-at |
sin at |
a |
15 |
t |
|||||||||||||||||||
ò |
f |
1 (t) f2 (t - t)dt |
|||||||||||||||||||||||
( p + a) |
2 |
+ a |
2 |
||||||||||||||||||||||
F1 ( p)F2 ( p) |
|||||||||||||||||||||||||
0 |
|||||||||||||||||||||||||
8 |
e-at |
cos at |
p + a |
16 |
f (n) (t) |
p n F ( p) * |
|||||||||||||||||||
( p + a)2 |
+ a 2 |
||||||||||||||||||||||||
* - при условии, что |
f (0) = |
¢ |
= ... = f |
(n-1) |
(0) |
= 0 |
|||||||||||||||||||
f (0) |
|||||||||||||||||||||||||
77
Лекция 14. Обращение преобразования Лапласа (формула Меллина). Восстановление оригиналов по известным изображениям. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
Теорема 13.5 (Меллина).} Пусть F ( p) ÎC ¥ (Re p > a) и
1) | F ( p) |= 0 |
при| p |® ¥ , Re p > a относительно аргумента; |
|||||||||||||||||
2) для "x > a интеграл |
||||||||||||||||||
x+i¥ |
||||||||||||||||||
ò | F( p) | dy |
x . |
|||||||||||||||||
x-i¥ |
||||||||||||||||||
Тогда существует |
f (t)ÎA(a): f (t) B F ( p) и |
|||||||||||||||||
1 |
x+i¥ |
|||||||||||||||||
f (t) = |
ò e pt F ( p)dp для любого x > a . } |
|||||||||||||||||
2pi x-i¥ |
||||||||||||||||||
Замечание. Несобственный интеграл |
||||||||||||||||||
1 |
x+i¥ |
|||||||||||||||||
ò e pt F ( p)dp вычисляется вдоль прямой Re p = x > a и понимается в смысле |
||||||||||||||||||
2pi x-i¥ |
||||||||||||||||||
главного значения: |
||||||||||||||||||
x+i¥ |
x+iA |
|||||||||||||||||
ò |
e pt F ( p)dp = limA®¥ ò e pt F ( p)dp. |
|||||||||||||||||
x-i¥ |
x-iA |
|||||||||||||||||
Изображение произведения |
||||||||||||||||||
Пусть |
f1 (t) Î A(a1 ): f1 (t) B F1 ( p) ÎC ¥ (Re p > a1 ), f2 (t) Î A(a2 ): f2 (t) B F2 ( p) ÎC¥ (Re p > a2 ). |
|||||||||||||||||
Функция |
f (t) = f1 (t) f2 (t) Î A(a1 + a2 ) |
удовлетворяет всем условиям существования |
||||||||||||||||
изображения. |
||||||||||||||||||
¥ |
||||||||||||||||||
f (t) B F( p) = òe- pt f1 (t) f2 (t)dt = |
||||||||||||||||||
0 |
||||||||||||||||||
= á f=(t) |
1 |
x+i¥ e pt |
F ( p)dp для "x > a ñ = |
|||||||||||||||
1 |
2pi |
ò |
1 |
1 |
||||||||||||||
x-i¥ |
||||||||||||||||||
1 |
¥ |
x+i¥ |
1 |
x+i¥ |
¥ |
|||||||||||||
= |
òe- pt f2 (t) ò eqt F1 (q)dqdt = |
ò F1 (q)òe-( p-q)t f2 (t)dtdq = |
||||||||||||||||
2pi |
2pi |
|||||||||||||||||
0 |
x-i¥ |
x-i¥ |
0 |
|||||||||||||||
1 |
x+i¥ |
|||||||||||||||||
= |
ò F1 (q)F2 ( p - q)dq. |
|||||||||||||||||
2pi |
||||||||||||||||||
x-i¥ |
||||||||||||||||||
1 |
x+i¥ |
|||||||||||||||||
a1 < x Req < Re=p - a2 |
ò F=1 ( p - q)F2 (q)dq; |
|||||||||||||||||
2pi |
||||||||||||||||||
x-i¥ |
||||||||||||||||||
a |
< x =Req < Re p - a ; |
F ( p) ÎC¥ (Re p > a + a |
. |
|||||||||||||||
2 |
1 |
1 |
2 |
|||||||||||||||
Пример 13.2.
78
f (t) = t B |
1 |
; |
f |
(t) = sin(wt) B |
w |
. |
||||||||||||||||||||
p2 |
+w2 |
|||||||||||||||||||||||||
1 |
p2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||
w |
x+i¥ |
dq |
||||||||||||||||||||||||
f (t) = f1 (t) f2 (t) = t sin(wt) |
B |
ò |
; |
|||||||||||||||||||||||
( p |
- q) |
2 |
(q |
2 |
+w |
2 |
) |
|||||||||||||||||||
2pi x-i¥ |
||||||||||||||||||||||||||
= -w Выч= |
é |
= |
1 |
, q |
p |
ù |
(при помощи вычетов, с учетом того что контур |
|||||||||||||||||||
ê |
2 |
(q |
2 |
2 |
) |
ú |
||||||||||||||||||||
ë |
( p - q) |
+w |
û |
|||||||||||||||||||||||
интегрирования замыкается вправо и обходится по часовой стрелке --- в отрицательном направлении)
= -w Выч= |
é |
= |
1 |
, q |
|||||
ê |
2 |
(q |
2 |
+w |
2 |
) |
|||
ë |
( p - q) |
||||||||
p |
ù |
wd |
é |
1= |
, q |
||||
ú |
= - |
= |
|||||||
2 |
2 |
||||||||
dq |
ê |
+w |
|||||||
û |
ë q |
||||||||
ù |
2w p |
||||
pú |
. |
||||
p |
2 |
+w |
2 |
||
û |
|||||
Указание: можно считать контур интегрирования замкнутым налево и суммировать вычеты в ±iw.
Теоремы свертки и запаздывания.
Теорема. (теорема запаздывания) Если f(t) = 0 при t < 0, то справедлива формула
L[ f (t - t0 )] = e - pt0 L[ f (t)]
где t0 – некоторая точка.
t
Определение. Выражение ò f1 (t) f2 (t - t)dt называется сверткой функций f1(t) и f2(t) и
0
обозначается f1* f2.
Теорема. (теорема свертки) Преобразование Лапласа от свертки равно произведению преобразований Лапласа от функций f1(t) и f2(t) .
· t
F1 ( p)F2 ( p) =· ò f1 (t) f 2 (t - t)dt
0
Теорема. (Интеграл Дюамеля (Дюамель (1797 – 1872) – французский математик)). Если
··
F ( p) = f (t); G( p) = g(t) , то верно равенство
··
· |
t |
¢ |
|||||||||
· |
ò |
||||||||||
pF ( p)G( p) = f (t)g(0) + |
f (t)g (t - t)dt |
||||||||||
0 |
|||||||||||
Для |
нахождения |
изображений |
различных |
функций |
наряду |
с |
непосредственн |
||||
интегрированием применяются приведенные выще теоремы и свойства. |
|||||||||||
Пример. Найти изображение функции sin t . t
79
· |
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Из таблицы изображений получаем: sin t = |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
· |
p 2 +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
f (t) |
· ¥ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
По свойству интегрирования изображения получаем: |
=· òF(q)dq |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
p |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin t · ¥ |
1 |
¥ |
p |
||||||||||||||||||||||||||||||||
=· ò |
dq = arctgq |
= |
- arctgp; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
q |
2 |
+1 |
p |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
p |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример. Найти изображение функции sin 2 t . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Из тригонометрии известна формула sin 2 t |
= |
1 - cos 2t |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
· |
1 |
1 |
1 |
1 |
p |
p |
2 |
+ 4 - p |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
Тогда sin 2 t = |
L[1 - cos 2t] = |
L[1] - |
L[cos 2t] = |
- |
= |
= |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
p( p 2 |
+ 4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
· 2 |
2 |
2 p 2( p 2 |
+ 4) 2 p( p 2 + 4) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Операционное исчисление используется как для нахождения значений интегралов, так и для решение дифференциальных уравнений.
Пусть дано линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
an x (n) (t) + ... + a1 x¢(t) + a0 x(t) = f (t) |
||
Требуется найти |
решение этого дифференциального уравнения, удовлетворяющее |
|
начальным условиям: |
||
x(0) = x0 ; x¢(0) = x0¢ ; ... |
x (n-1) (0) = x0(n -1) . |
|
Если функция x(t) |
является решением этого |
дифференциального уравнения, то оно |
обращает исходное уравнение в тождество, значит функция, стоящая в левой части уравнения и функция f(t) имеет (по теореме единственности) одно и то же изображение Лапласа.
é n |
d |
k |
x |
ù |
|
Lêåak |
ú |
= L[ f (t)] |
|||
dt |
k |
||||
ëk =0 |
û |
||||
. |
|||||||
Из теоремы |
о |
¢ |
|||||
дифференцировании оригинала{ pF ( p) - f (0) = f (t) } можно сделать |
|||||||
. |
|||||||
é |
d |
k |
ù |
||||
вывод, что Lê |
x |
ú |
= p k L[x] - p k -1 x(0) -... - px(k -2) (0) - x (k -1) (0). |
||||
k |
|||||||
ë dt |
û |
||||||
é |
d |
n |
ù |
||||
Тогда an Lê |
x |
ú |
+ ... + a0 L[x] = L[ f ]. |
||||
n |
|||||||
ë dt |
û |
||||||
80