Файл: Маткад лекции. ВМ-2.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 14.04.2025

Просмотров: 589

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Обозначим L[x] =

x

( p),

L[ f ] = F ( p).

Получаем:

x

( p)[an p n + an-1 p n-1 + ... + a1 p + a0 ] = an [ p n-1 x0 + p n-2 x¢0 + ... + x0(n-1) ] +

+ an-1[ p n -2 x0 + p n-3 x0¢ + ... + x0(n -2 ) ] + .... + a2 [ px0 + x0¢ ] + a1 x0

+ F ( p).

Это уравнение

называетсявспомогательным (изображающим)

или операторным

уравнением.

Отсюда получаем изображение

x

( p) , а по нему и искомую функцию x(t).

Изображение получаем в виде:

x

( p) =

F ( p)

+

Yn-1 ( p)

Rn ( p)

Rn ( p)

Где R

n

( p) = a

n

p n

+ a

n-1

p n -1 + ... + a p + a

0

;

1

Yn-1 ( p) = a1 x0

+ a2 ( px0

+ x0¢ ) + a3 ( p 2 x0

+ px0¢ + x0¢¢) + ... + an ( p n-1 x0 + p n-2 x0¢ + ... + px0(n-2) + x0(n-1) )

Этот многочлен зависит от начальных условий. Если эти условия нулевые, то многочлен равен нулю, и формула принимает вид:

x( p) = F ( p) Rn ( p)

Рассмотрим применение этого метода на примерах.

Пример. Решить уравнение y

¢¢

+ 4 y = 2;

¢

= 0.

y(0) = y (0)

Изображение искомой функции будем искать в виде:

y

=

F ( p)

Rn ( p)

F ( p) = L[ f ] = L[2] =

2

;

Rn ( p) = 1× p 2 + 0 × p

p

y

=

2

=

1

é 1

-

p

ù

ê

ú

p( p

2

+ 4)

2

p

2

+ 4

ë p

û

·

1

Находим оригинал, т.е. искомую функцию:

y

= y =

(1 - cos 2

2

·

+ 4 = p 2 + 4.

x)

Пример. Решить уравнение y¢ - 2 y = 0;

y(0) = 1.

F ( p) = L[ f ] = L[0] = 0;

Rn ( p) = p - 2; Yn-1 = a1 y0 = 1;

y

=

1

;

p - 2

81

·

y = y = e2 x ;

·

Пример. Решить уравнение:

y

¢¢¢

- 6 y

¢¢

+

11y

¢

- 6 y = 0;

y(0) = 0;

¢

= 1;

¢¢

y (0)

y (0) = 0;

F ( p) = L[ f ] = L[0] = 0;

Rn ( p) = p3 - 6 p 2

+11p - 6;

Yn-1 ( p) = a1 y0 + a2 ( py0 + y0¢ ) + a3 ( p 2 y0 + py0¢ + y0¢¢) = -6 + p.

Изображение искомой функции

y

=

- 6 + p

p3 - 6 p 2 +11p - 6

Для нахождения

оригинала

необходимо

разложить полученную дробь

элементарные дроби. Воспользуемся делением многочленов(знаменатель делится без остатка на p – 1):

p3 – 6p2 + 11p – 6

p - 1

p3 – p2

p2 – 5p + 6

-5p2

+

11p

-5p2

+

5p

6p - 6

6p - 6

0

В свою очередь p 2 - 5 p + 6 = ( p - 2)( p - 3)

Получаем: p3 - 6 p 2 +11p - 6 = ( p -1)( p - 2)( p - 3).

Тогда:

y

=

- 6 + p

=

A

+

B

+

C

;

p3 - 6 p 2 +11p - 6 p -1 p - 2 p - 3

Определим коэффициенты А, В и С.

A( p - 2)( p - 3) + B( p -1)( p - 3) + C( p -1)( p - 2) = -6 + p

Ap 2 - 5Ap + 6 A + Bp2 - 4Bp + 3B + Cp 2 - 3Cp + 2C = -6 + p

82

p 2 ( A + B + C) - p(5A + 4B + 3C) + 6 A + 3B + 2C = -6 + p

ì

5

ìA + B + C = 0

ìC = -A - B

ìC = -A - B

ïA

= -

2

ï

+ 4B + 3C

= -1

ï

ï

ï

= 4

í5A

í2A + B = -1

íB = -1 - 2A

íB

ï

+ 3B + 2C

= -6

ï

ï

ï

3

î6A

î4A + B = -6

î2A -1 = -6

ï

= -

C

2

î

11 - 6 p

-

5

4

-

3

Тогда

y

=

=

2

+

+

2

;

p3 - 6 p 2 +11p - 6 p -1 p - 2 p - 3

y = y = - 5 e x + 4e 2 x - 3 e3x ;

·

·

2

2

Приемы операционного исчисления можно также использовать для решения систем дифференциальных уравнений.

Пример. Решить систему уравнений:

ìx¢ = 3x + 4 y

;

x(0) = y(0) = 1

í

îy¢ = 4x - 3y

Обозначим

x

( p),

y

( p) - изображения

искомых функций и решим вспомогательные

уравнения:

¢

ìL[x ] = 3L[x] + 4L[ y]

í ¢

;

îL[ y ] = 4L[x] - 3L[ y]

ìpx( p) - x(0) = 3x( p) + 4 y( p)

í

îpy( p) - y(0) = 4x( p) - 3y( p)

Решим полученную систему алгебраических уравнений.

ì

x

( p) =

4

y

( p) +1

ï

p - 3

ï

í

;

ïpy

( p) -1 = 4

4

y

( p) +1

- 3

y

( p)

ï

p - 3

î

ì

ïy( p)

ï

í

ïïx( p)

î

= p +1 p 2 - 25

=

;

p 2 + 4 p - 21

( p 2 - 25)( p - 3)

x

( p) =

( p + 7)( p - 3)

=

p + 7

=

p

+

7

;

p 2 - 25

p 2 - 25

( p 2 - 25)( p - 3)

p 2 - 25

83

x( p) = x(t) = ch5t + 7 sh5t;

·

·

5

y

( p) =

p

+

1

;

p 2 - 25

p 2 - 25

y( p) = y(t) = ch5t + 1 sh5t;

·

·

5

Если применить к полученным результатам формулы

chz =

e z

+ e- z

;

shz =

e z - e- z

;

2

2

то ответ можно представить в виде:

ì

6

5t

1

-5t

ïx =

e

-

e

5

5

ï

;

í

3

2

ï

5t

-5t

ïy =

e

+

e

5

5

î

Как видно, гиперболические функции

в

ответе

могут быть легко заменены

показательные.

Пример. Решить систему уравнений

ìx¢ = 5x + 2 y

при x(0) = y(0) = 1

í

îy¢ = 2x + 2 y

Составим систему вспомогательных уравнений:

¢

ìL[x ] = 5L[x] + 2L[ y]

;

í ¢

îL[ y ] = 2L[x] + 2L[ y]

ìpx

( p) - x(0)

= 5

x

( p) + 2

y

( p)

í

;

îpy

( p) - y(0)

= 2

x

( p) + 2

y

( p)

ì

ïx( p) =

ï

í

ïïpy( p)

î

2 y( p) +1

p - 5

;

= 4 y( p) + 2 + 2 y( p) +1 p - 5

ì

ïy( p)

ï

í

ïïx( p)

î

p - 3

=

( p -1)( p - 6);

p

=

( p -1)( p - 6)

y( p) =

A + B = 2 1 + 3 1 = 2 et + 3 e6t ;

·

p -1 p - 6 5 p -1 5 p - 6 · 5

5

x( p) =

C + D = -

1 1 + 6 1 =- 1 et + 6 e6t ;

·

p -1 p - 6

5 p -1 5 p - 6 · 5

5

84

Если обозначить C = -

1

;

C

=

3

; то из полученного частного решения системы можно

2

1

5

5

записать и общее решение:

ì

t

+ 2C2 e

6t

ïx = C1e

í

t

6t

ï

+ C2 e

îy = -2C1e

При рассмотрении нормальных систем дифференциальных уравнений этот пример был решен традиционным способом(См. Другой способ решения.). Как видно, результаты совпадают.

Отметим, что операторный способ решения систем дифференциальных уравнений применим к системам порядка выше первого, что очень важно, т.к. в этом случае применение других способов крайне затруднительно.

85

Смотрите также файлы