Файл: Маткад лекции. ВМ-2.pdf

Лекция 15. Системы дифференциальных уравнений. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Структура общих решений однородных и неоднородных

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

y'1 = f1(x, y1, y2 , ..., yn), y'2 = f2 (x, y1, y2 , ..., yn),

..............................

y'n = fn (x, y1, y2 , ..., yn),

где x — независимая переменная, а

y1(x), y2(x), ..., yn(x) — неизвестные функции, n — порядок системы.

Обозначив

запишем систему в векторной форме

`Y '=`F(x,`Y ).

Решением системы называется вектор-функция `Y , которая определена и нерерывно дифференцируема на интервале (a, b) и удовлетворяет системе, т.е. для всех x0О (a, b) справедливо

`Y '(x) =`F(x,`Y (x)).

Задачей Коши (задачей с начальными условиями) называется следующая задача: найти такое решение`Y (x) системы `Y '=`F(x,`Y ), что `Y (x0) =`Y 0,

где x0 — заданное число, а `Y 0 — заданный вектор.

Интегральной кривой системы называется кривая в (n+1) -мерном пространстве Rn+1x,y, заданная уравнением `Y =`Y (x), где `Y (x) - решение системы.Таким образом, решить задачу Коши — это значит найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку пространства Rn+1x,y.

·Система ОДУ первого порядка, разрешённая относительно производных

(нормальная система -го порядка)

·ОДУ -го порядка, разрешённое относительно старшей производной

86

Для нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений справедлива следующая

Теорема 15.1(теорема существования и единственности решения задачи Коши.)

Если вектор-функция `F(x,`Y (x)) и ее частные производные по переменным yi , i = 1, 2, ..., n, непрерывны в области G пространства Rn+1x,y, то на некотором интервале (x0 -h, x0+h) существует единственное решение системы

`Y '(x) =`F(x,`Y (x)) ,

удовлетворяющее начальному условию

`Y (x0) =`Y 0,

т.е. через каждую точку области G проходит единственная интегральная кривая системы.

Подробнее геометрическая интерпретация систем обыкновенных дифференциальных уравнений и их решений рассмотрена в разделе, посвященном изучению автономных систем.

Опишем алгоритм решения задачи Коши для уравнения второго порядка y'' + a1 y' + a2 y = f(x), y(x0)=y0, (y)'(x0)=y0,1.

Будем искать решение задачи в виде y(x)= c1(x) y1(x) + c2(x) y2(x),

где y1(x), y2(x) — линейно независимые решения однородного уравнения y'' + a1 y' + a2 y = 0.

Вычислим y'(x), y''(x) и подставим полученные выражения в уравнение. Вычислим первую производную

y'(x)= (c1'(x) y1(x) + c2(x)' y2(x)) + (c1(x) y1'(x) + c2(x) y2'(x)), положим c1'(x) y1(x) + c2(x)' y2(x) = 0

и тогда y'(x)= c1(x) y1'(x) + c2(x) y2'(x), y''(x)= (y'(x))'= (c1(x) y1'(x) + c2(x) y2'(x))'=

=c1'(x) y1'(x) + c2(x)' y2'(x) + c1(x) y1''(x) + c2(x) y2''(x).

Подставив y(x) и ее производные в уравнение, получим: y'' + a1 y' + a2 y =

=c1'(x) y1'(x) + c2(x)' y2'(x) + c1(x) y1''(x) + c2(x) y2''(x) +

+a1(c1(x) y1'(x)+c2(x) y2'(x)) + a2(c1(x) y1(x)+c2(x) y2(x)) =

=c1(x)( y1''(x)+a1 y1'(x)+a2 y1(x)) + c2(x)( y2''(x)+a1 y2'(x)+a2 y2(x)) +

+c1'(x) y1'(x) + c2(x)' y2'(x) = 0 + 0 + c1'(x) y1'(x) + c2(x)' y2'(x) = f(x), при условии c1'(x) y1(x) + c2(x)' y2(x) = 0.

Тогда неизвестные функции c1(x) и c2(x) являются решениями системы линейных дифференциальных уравнений c1'(x) y1'(x) + c2(x)' y2'(x) = f(x),

c1'(x) y1(x) + c2(x)' y2(x) = 0

с известными y1(x) и y2(x).

Эта система легко разрешима относительно c1(x) и c2(x):

87

c1'(x) = f(x)y2(x)/(y1'(x)y2(x)-y1(x)y2'(x)), c1'(x)= f(x)y1(x)/(y1(x)y2'(x)-y1'(x)y2(x)).

Вычислив интегралы в правой части системы, получим

Произвольные константы C1 и C2 определяются из начальных условий.

ПРИМЕР 1. Решение методом вариации задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Заметим, что разрешимость системы дифференциальных уравнений для

c1'(x) и c2'(x) и однозначная разрешимость системы начальных условий для произвольных констант C1 и C2 гарантированы линейной независимостью y1(x) и y2(x), (y1'(x)y2(x)-y1(x)y2'(x))№0 для линейно независимых y1(x) и y2(x).

Для того чтобы решить задачу Коши для уравнения более высокого порядка действуем аналогично.

Решение задачи Коши ищем в виде

y(x)= c1(x) y1(x) + c2(x) y2(x) + ... + cn(x) yn(x),

где y1(x), y2(x), ..., yn(x) — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения.

Неизвестные функции c1(x) , c2(x), ..., cn(x)

находим как решения линейной системы дифференциальных уравнений c1'(x) y1(x) + c2(x)' y2(x) + ... + cn'(x) yn(x) = 0

c1'(x) y1'(x) + c2'(x) y2'(x) + ... + cn'(x) yn'(x) = 0, c1'(x) y1''(x) + c2'(x) y2''(x) + ... + cn'(x) yn''(x) = 0,

.................

c1'(x) y1(n-1)(x) + c2'(x) y2(n-1)(x) + ... + cn'(x) yn(n-1)(x) = f(x),

которая в силу линейной независимости y1(x), y2(x), ..., yn(x) разрешима относительно ci'(x). Вычислив ci(x) = Fi(x) + Ci находим произвольные постоянные Ci из начальных условий и тогда искомое решение уравнения имеет вид

y(x)= F1(x) y1(x) + F2(x) y2(x) + ...+ Fn(x) yn(x) + C1y1(x) + C2 y2(x) +...+ Cnyn(x).

Решение методом вариации произвольных постоянных задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения 3-го порядка с постоянными коэффициентами.

Таким образом, для того чтобы решить методом вариации произвольных постоянных решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует:

записать характеристическое уравнение;

найти все корни характеристического уравнения l1, l2, ... , ln; найти фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x));

представить искомое решение задачи Коши в виде линейной комбинации

88

y(x)= c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x) + ... + cn(x)yn(x),

с неизвестными функциями c1(x), c2(x), ..., cn(x); составить и решить систему для c1 (x), c2(x), ..., cn(x);

подставить вычисленные ci(x) = Fi(x) + Ci в выражение для решения и записать для него начальные условия;

найти из начальных условий значения констант Ci и записать искомое решение.

Решение методом вариации произвольных постоянных задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения 4-го порядка с постоянными коэффициентами.

Для отыскания общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует

найти общее решение соответствующего однородного уравнения (записать характеристическое уравнение, найти все корни характеристического уравнения l1, l2, ... , ln, записать фундаментальную систему решений y1(x), y2(x), ..., yn(x));

найти методом вариации произвольных постоянных любое частное решение неоднородного уравнения yч(x);

записать выражение для общего решения y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x).

Доказательство формулы Лиувилля-Остроградского для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть вектор-функции — решения линейной системы ОДУ. Введем матрицу следующим образом

Тогда . Воспользуемся тем, что - решения системы ОДУ, то есть .

В матричном виде последнее представимо в виде

или вводя производную от матрицы как матрицу из производных каждого элемента

Пусть - -я строка матрицы . Тогда

Последнее означает, что производная от -й строки матрицы есть линейная комбинация всех строк этой матрицы с коэффициентами из -й строки матрицы .

89

Рассмотрим определитель матрицы , в которой -я строка продифференцирована. Определитель не изменится, если из -й строки этой матрицы вычесть линейную комбинацию всех остальных строк.

Пользуясь формулой дифференцирования определителя, получаем

Последнее обыкновенное дифференциальное уравнение имеет решение

Доказательство для линейного дифференциального уравнения произвольного порядка

Линейное дифференциальное уравнение -го порядка

эквивалентно следующей системе

с матрицей следующего вида

Вронскианы исходного уравнения и системы совпадают, а след матрицы равен

. Подстановкой в формулу для системы получаем

90

Применение формулы Лиувилля-Остроградского

Пусть известно решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Используя формулу Лиувилля-Остроградского возможно найти линейно

независимое от него решение той же системы.

Распишем вронскиан:

поэтому

Так как для линейной независимости и достаточно , приняв

получим

91