ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 14.04.2025
Просмотров: 629
Скачиваний: 0
x2 + y2 - 2xy· y¢ |
=0, y(1) |
=2. |
Воспользуемся общим интегралом x2 - y2 -Cx = 0 данного уравнения. Подставляя |
||
в него x=1 (тогда y=2), будем иметь 1- 4 - C= |
0 Û C= |
-3. Следовательно, x2 - y2 + 3x = 0 |
– частный интеграл данного уравнения, задающий решение исходной задачи Коши неявным образом.
Перейдем теперь к обсуждению проблемы существования решения задачи Коши
(1.4).
При каких условиях на функцию f (x, y) эта задача будет разрешимой?
Теорема Коши. Пусть функция f (x, y) и ее частная производнаяf ¢(x, y) непрерывны в области D. Тогда какова бы ни была начальная точка(x0 , y0 ) , лежащая внутри области D, существует отрезок [x0 - h; x0 + h] такой, что задача Коши (1.4) с
начальной точкой (x0 , y0 ) имеет решение y = y(x) на этом отрезке и это решение единственно.
Геометрически |
это означает, что |
в некоторой окрестности |
точки(x , y ) |
|
0 |
0 |
|||
существует интегральная кривая уравнения (1.1), проходящая через точку (x0 , y0 ) , причем такая интегральная кривая единственна (см. рис. 1.2).
Рис. 1.2
Отметим локальный характер этой |
теоремы: существование решения y = y(x) и |
его единственность гарантируются лишь |
в достаточно малой окрестности точкиx = x0 |
(h>0 – достаточно мало). Обе теоремы носятдостаточный характер. Условия теорем могут быть не выполнены, но тем не менее решение соответствующей задачи Коши может
существовать. |
Например, |
задача Коши y¢ = |
y , y(0) = 0 имеет очевидное решение y º 0, |
|||||||||
определенное |
на всей |
оси-¥ < x < +¥, |
а |
частная производная f y¢ =1/ 2 |
ее |
правой |
||||||
y |
||||||||||||
части не существует |
в |
начальной точке(x0 , y0 ) = (0;0). |
В этом |
случае, однако, |
нельзя |
|||||||
гарантировать единственности решения. |
Для указанной |
задачи |
Коши, кроме решения |
|||||||||
y º 0, существует, например, еще такое решение |
||||||||||||
ì |
2 |
/ 4, x ³ 0, |
||||||||||
y = íx |
||||||||||||
î |
0, |
x < 0. |
||||||||||
Определение 1.5. |
Решение y = j( x) |
уравнения (1.1) называется |
его особым |
|||||||||
решением, если каждая |
точка (x0 ,j(x0 )) |
интегральной кривой y = j( x) является точкой |
||||||||||
7 |
||||||||||||
неединственности решения уравнения (1.1), т.е. существует (по крайней мере, еще одна) интегральная кривая y = y(x) уравнения (1.1), проходящая через точку (x0 ,j(x0 )) , не совпадающая с интегральной кривой y = j( x) .
Имеет место следующее утверждение: если функция f (x, y) непрерывна всюду в области D и ее частная производная f y¢ существует всюду в D, за исключением некоторых
точек (x, y) Î D , причем в |
этих точках f y¢ = ¥, то |
особыми решениями уравнения(1.1) |
||||||||||||||||||||
могут быть только такие кривые y = j( x) , во всех точках которых f y¢ = ¥. |
||||||||||||||||||||||
Пример 1.4. Найти особые решения уравнения y¢ = 2 |
. |
|||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||
Здесь f (x, y) = 2 |
, |
f y¢ =1/ |
. |
Частная |
производная f y¢ существует |
всюду в |
||||||||||||||||
y |
y |
|||||||||||||||||||||
D = {(x, y) : y ³ 0}, |
кроме точек (x, y), лежащих на оси абсцисс y º 0. |
При этом |
f y¢ |
= ¥. |
||||||||||||||||||
Значит, прямая y = 0 может быть особым решением уравнения y¢ = 2 |
y=0 |
|||||||||||||||||||||
. Проверим, будет |
||||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||
ли это на самом деле так. |
Функция |
y = j(x) º 0 , |
очевидно, |
удовлетворяет |
уравнению |
|||||||||||||||||
y¢ = 2 |
. Кроме того, в каждой точке (x0 ,j(x0 )) = (x0 ; 0) прямой y = j(x) = 0 |
задача Коши |
||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||
y¢ = 2 |
ì(x - x0 )2 , x ³ x0 , |
|||||||||||||||||||||
y , y(x0 ) = 0 |
имеет |
два |
различных |
решения: y º 0 |
и |
|||||||||||||||||
y = í |
0, |
x < x0 . |
||||||||||||||||||||
î |
||||||||||||||||||||||
Следовательно, |
y º 0 – особое решение данного уравнения. Других особых решений это |
||||||||||||||||||
уравнение не имеет, так как |
в D нет других точек(x, y) кроме |
точек (x, 0) , в которых |
|||||||||||||||||
f y¢ = ¥. Итак, окончательный ответ: |
y = 0 . |
||||||||||||||||||
Укажем еще на один признак существования особых решений. Напомним сначала |
|||||||||||||||||||
следующее понятие. |
|||||||||||||||||||
Определение 1.6. |
Кривая y = j( x) |
называется огибающей |
семейства |
кривых |
|||||||||||||||
y = y(x, C) (С – параметр, произвольная постоянная), если в каждой своей точке (x,j( x)) |
|||||||||||||||||||
кривая |
y = j( x) |
касается, по |
крайней |
мере, одной из кривых |
семействаy = y(x, C) и |
||||||||||||||
каждого отрезка кривой y = j( x) |
касается бесконечное множество кривых y = y(x, C) . |
||||||||||||||||||
Кривую, подозрительную на огибающую |
семейства |
кривыхy = y(x, C) , |
можно |
||||||||||||||||
найти, исключая постоянную С из системы уравнений |
|||||||||||||||||||
ì y = y(x,C), |
|||||||||||||||||||
ï |
¶y(x, C) |
||||||||||||||||||
í |
|||||||||||||||||||
ï0 |
= |
. |
|||||||||||||||||
¶C |
|||||||||||||||||||
î |
|||||||||||||||||||
Однако при этом надо доказать, что найденная кривая является огибающей. |
|||||||||||||||||||
Теорема |
1.1. |
Огибающая |
семейства y = y(x, C) |
интегральных |
кривых |
||||||||||||||
дифференциального уравнения (1.1) является особым решением этого уравнения. |
|||||||||||||||||||
Действительно, |
если |
y = j( x) |
огибающая |
семейства y = y(x, C) интегральных |
|||||||||||||||
кривых |
уравнения (1.1), |
то |
в |
каждой |
своей точке(x0 ,j(x0 )) |
она |
касается |
некоторой |
|||||||||||
интегральной |
кривой y = y(x, C) , |
значит |
j¢(x0 ) = y¢(x0 , C), |
или |
|||||||||||||||
j¢(x0 ) = f (x0 , y(x0 ,C)) º f (x0 ,j(x0 )). |
Это означает, |
что y = j( x) |
– |
решение |
уравнения |
||||||||||||||
(1.1). Кроме того, в любой точке (x0 ,j(x0 )) |
задача Коши (1.4) (где y0 = j(x0 ) ) имеет, по |
||||||||||||||||||
8
крайней мере, два решения: y = j( x) и y = y(x, C) , где y = y(x, C) – решение уравнения (1.1), касающееся кривой y = j( x) в точке (x0 ,j(x0 )) .
Например, для уравнения y¢ = 2 y (см. пример 1.3) семейство y = (x -C)2 (x > C) интегральных кривых имеет огибающую y = j(x) º 0 и эта огибающая, как было показано в примере 1.4, является особым решением уравнения y¢ = 2 y .
Уравнения с разделяющимися переменными
Если в уравнении
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 |
(1.6) |
функции M ( x, y) и N (x, y) допускают разложение на множители
M (x, y) = M1 (x)·M 2 ( y), N ( x, y) = N1 ( x)·N2 ( y),
каждый из которых является функцией только одной переменной(или x, или y), то говорят, что (1.6) – уравнение с разделяющимися переменными. Будем предполагать, что все функции M i (x), N j (x) непрерывны в своих областях определения. Перепишем
уравнение (1.6) в виде
M1 (x)M 2 ( y)dx = -N1 (x)N2 ( y)dy |
|||||||||||
и |
разделим |
обе |
части |
на |
произведениеM (y ) N |
(x), |
предполагая |
||||
2 |
1 |
||||||||||
M 2 ( y)N1 (x) ¹ 0. Получим уравнение с разделенными переменными |
|||||||||||
M1 (x) |
dx = - |
N2 ( y) |
dy. |
||||||||
N1 (x) |
|||||||||||
M 2 ( y) |
|||||||||||
Интегрируя его, получаем oбщий интеграл уравнения (1.7):
M |
(x) |
N |
( y) |
|||||
ò |
1 |
dx = -ò |
2 |
dy + C |
||||
N |
(x) |
M |
( y) |
|||||
1 |
2 |
|||||||
(1.7)
пока, что
(1.8)
в случае M 2 ( y)N1(x) ¹ 0 (здесь: x Î D(M1 ) Ç D(N1 ), y Î D(N2 ) Ç D(M 2 )). |
Если |
же |
|
M 2 ( y)N1(x) = 0 , то (1.8) нельзя считать |
общим интегралом уравнения(1.7), |
так |
как |
деление на нуль невозможно. Пусть совокупность уравнений |
|||
éM2 (y) = 0, |
|||
ê |
(x) = 0 |
||
ë N1 |
|||
имеет решение (т.е. |
M 2 (b) = 0 |
или N1 (a) = 0, |
где a и b |
постоянные). Тогда |
|||||
непосредственной |
подстановкой x = a |
и |
y = b (1.7) |
убеждаемся, что |
функции x = a и |
||||
y = b являются решениями этого уравнения (при этом точку M (a; b ) |
следует исключить |
||||||||
из прямых x = a |
и |
y = b , так |
как |
в |
этой точке |
уравнение(1.7) не |
задает |
никакого |
|
направления). Решения x = a и |
y = b |
могут быть особыми(это |
нужно |
проверить |
|||||
отдельно); их нужно присовокупить к интегралу (1.8). |
|||||||||
Пример 1.5. Проинтегрировать уравнение
(x + 2) ydx - 3xdy = 0.
Имеет ли это уравнение особые решения?
Разделим обе части уравнения на произведение x y , предполагая пока, что оно не равно нулю. Будем иметь
x + 2 |
dy |
x + 2 |
dy |
||||||||||
dx = 3 |
Û ò |
x= |
dx 3ò |
Û x + 2 ln | x=| 6 y + C. |
|||||||||
x |
|||||||||||||
y |
y |
||||||||||||
9
Рассмотрим теперь случай, когда x |
y = 0. Получаем |
еще |
два решенияx=0 |
и |
y=0 |
|||||||
уравнения (1.13) (при |
этом |
из указанных |
прямых |
надо |
исключить точкуM (0; 0)). |
|||||||
Проверим, будет ли решение x = 0 ( y > 0) особым. Оно удовлетворяет уравнению |
||||||||||||
dx |
= |
3x |
. |
(1.9) |
||||||||
dy |
(x + 2) |
|||||||||||
y |
||||||||||||
Частная производная |
fx¢ = 6 / |
(x + 2)2 |
правой |
части(1.9) существует в каждой |
точке |
|||||||
y |
||||||||||||
прямой x = 0 ( y > 0) |
(и некоторой |
ее |
окрестности), поэтому |
уравнение (1.9) |
имеет |
|||||||
единственное решение в окрестности этой точки (см. теорему Коши). Отсюда следует, что прямая x = 0 ( y > 0) не может быть особым решением(1.9). Проверим, будет ли решение y = 0 (x ¹ 0) особым. Это решение является также и решением эквивалентного уравнения
dy |
= |
(x + 2) y |
. |
(1.10) |
|||
dx |
3x |
||||||
Частная производная f y¢ = (x + 2) / (6x |
y |
) |
правой части(1.10) равна |
¥ в каждой точке |
|||
прямой y = 0 (x ¹ 0) , и значит последняя может быть особым решением уравнения(1.10). Пусть (x0 ; y0 ) = (x0 ; 0) – фиксированная точка этой прямой. Задача Коши с начальной точкой (x0 ; 0), x0 ¹ 0, как нетрудно видеть, имеет решение, определяемое интегралом
(x - x ) + 2 ln |
x |
= 6 |
. |
|||
y |
||||||
0 |
x0 |
|||||
Это решение не совпадает с решениемy = 0 (x ¹ 0) , и значит последнее является особым решением исходного уравнения (1.13). Нетрудно видеть, что другие решения, определяемые интегралом x + 2ln | x=| 6 y + C являются неособыми. Окончательный ответ: общее решение имеет вид
é |
|||
x + 2 ln | x=| 6 y + C, |
|||
ê |
|||
ëx = 0( y > 0), y= 0( x ¹ 0); |
|||
функция y = 0 (x ¹ 0) |
– особое решение. |
|||||
Уравнение |
dy |
|||||
= f (ax + by + c), |
(1.11) |
|||||
dx |
||||||
где a,b,c – постоянные, причем b ¹ 0, заменой |
||||||
ax + by + c = z |
||||||
приводится |
к |
уравнению |
с |
разделяющимися |
перем. Деннымийствительно, |
|
дифференцируя указанную замену, найдем, что y¢ = 1 (z¢ - a), и уравнение (1.11) примет
вид |
b |
||||||
¢ |
|||||||
z |
- a |
= f (z) |
Û |
dz |
=bf (z) + a. |
||
b |
dx |
||||||
При x ¹ const его можно переписать в эквивалентной форме dz = [bf (z) + a]dx.
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 1.6. Найти общий интеграл уравнения y¢ = (3x + 2 y -1)2 .
10
Делаем |
замену z = 3x + 2 y -1. |
Тогда z |
¢ |
¢ |
и |
значитy ' = (z '-3) / 2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 3 + 2 y , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставляя это в исходное уравнение, будем иметь |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z |
¢ |
-3 |
= z2 Û |
dz |
= 2z |
2 + 3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Разделяя в последнем уравнении переменные, получаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dz |
dz |
1 |
dz |
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= dx Û |
ò=2z2 + 3 |
òdx |
+ C Û |
2=ò |
x + C Û |
= |
arctg |
x + C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2z2 + 3 |
z2 + ( |
)2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 / 2 |
3 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставляя сюда z = 3x + 2 y -1, получаем общий интеграл исходного уравнения: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
é |
ù |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
arctg |
2 |
(3x + 2 y -1) |
x + C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ê |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 3 |
3 |
ú |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ë |
û |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Линейные уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Уравнения вида |
dy |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= a(x) y + b(x), |
(1.12) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где a(x) и b(x) |
dx |
линейными |
дифференциальными |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
– известные |
функции, |
называются |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнениями (первого порядка). При этом функция |
b(x) |
называется неоднородностью |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения (1.12). |
Если неоднородность |
отсутствует, |
то |
уравнение (1.12) |
называется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
однородным; в противном |
случае (т.е. |
когда b(x) º/ 0 ) |
уравнение |
(1.12) |
называется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неоднородным. Уравнение z¢ = a(x) z называется однородным уравнение, соответствующим уравнению (1.12).
Докажем следующее замечательное утверждение. Отметим, что этo утверждение называют глобальной теоремой существования решения, так как она гарантирует разрешимость задачи Коши в области непрерывности коэффициентов a(x) и b(x) (т.е. на всем отрезке [a;b] ). В нелинейном случае гарантируется лишь локальная разрешимость, т.е. разрешимость в достаточно малой окрестности точки x = x0.
Теорема 1.1. Если в уравнении (1.12) коэффициенты a(x) и b(x) непрерывны на отрезке [a;b] , то какова бы ни была начальная точка (x0 , y0 ) (x0 Î[a;b]), задача Коши
dy = a(x) y + b(x), y(x0 ) = y0 dx
с этой начальной точкой имеет решение на отрезке[a;b] и оно единственно. Это
решение можно записать в форме
y(x) = y(x; x0 , y0 )=
x
ò
ex0
é |
s |
||
a (t )dt |
x - ò |
||
ê |
+ òe |
x0 |
|
êy0 |
|||
ê |
x0 |
||
ë |
|||
a(t )dt ù
b(s)dsúú. (1.13)
ú
û
Доказательство. |
Подставляя |
в(1.13) |
значение |
x = x0 , будем иметь y(x0 ) = y0 . |
|||||||||
Значит функция (1.13) |
удовлетворяет начальному |
условию. Далее, функция (1.13) |
|||||||||||
определена на отрезке [a;b] |
и даже |
дифференцируема на нем(так как функции a(x) и |
|||||||||||
b(x) непрерывны на [a;b] ). Дифференцируя (1.13) по х, будем иметь |
|||||||||||||
x |
é |
s |
ù |
x |
x |
||||||||
dy(x) |
ò a(t )dt |
x - ò a(t )dt |
ò a(t )dt |
- ò a(t )dt |
|||||||||
ê |
ú |
||||||||||||
x0 |
+ ò e |
x0 |
x0 |
x0 |
|||||||||
= e |
·a(x) |
êy0 |
b(s)dsú |
+ e |
·e |
= ·b(x) a(x)·y(x) + b(x). |
|||||||
dx |
|||||||||||||
ê |
x0 |
ú |
|||||||||||
ë |
û |
||||||||||||
11