Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.04.2025

Просмотров: 18130

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ω02 = mgbI .

Получим уравнение

d 2α

2

dt2

+ω0α = 0 ,

решение которого имеет вид

α =α0 cos(ω0t +γ 0 ),

где ω0 – собственная частота системы, γ0 – начальная фаза, α0 – амплитуда колебаний. Тогда период колебаний физического маятника выразится формулой

Т

физ

=

2π = 2π

I .

(1)

ω0

mgb

Математический маятник представляет собой систему, состоящую из невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которую подвешен точечный груз массы m (рис. 4). Так как момент инерции такой системы I = ml2, то из формулы (1) легко получить период колебаний математического маятника

Т мат = 2π

l .

(1′)

g

Период колебаний такой системы не зависит от массы груза m.

Рис. 4

Измерив период Т колебаний математического маятника и его длину l, можно из

формулы (1′) найти ускорение силы тяжести g по формуле

g =

4π

2 l

.

(2)

T

2

Величина периода колебаний Т определяется экспериментально по формуле

Т =

t

,

(3)

n

где n – количество полных колебаний, t – время n полных колебаний. Согласно формуле (1) период колебаний физического маятника равен

Т = 2π

I

,

(4)

mgb

где I – момент инерции физического маятника относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса O, m – масса физического маятника, b – расстояние ОС от точки подвеса до центра масс.

Из формул (1′) и (4) следует, что математический маятник, длина которого

lпр =

I

,

(5)

mb

будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Величину lпр называют приведенной длиной физического маятника. Если точку подвеса физического маятника перенести вдоль прямой ОС на расстояние lпр (см. рис. 3), то приведенная длина маятника в новом положении, а, следовательно, и период колебаний, останутся теми же, что и вначале.

Преимущество оборотного маятника состоит в том, что его приведенную длину можно найти, не пользуясь формулой (5), т. е. не зная его массы и момента инерции.

Точка K (рис. 3), лежащая на прямой, соединяющей точку подвеса 0 с центром масс С на расстоянии ОK = lпр, называется центром качаний. Можно показать, что приведен-

ная длина lпр > b, так что точка подвеса и центр качаний лежат по разные стороны от центра масс.

Точка подвеса и центр качаний K обладают свойством взаимности. Если перенести точку подвеса в центр качаний, то новый центр качаний совпадает со старой точкой подвеса. Таким образом, при переносе точки подвеса в центр качаний приведенная длина физического маятника не меняется, и поэтому период колебаний сохраняет свое значение. Это свойство, установленное Гюйгенсом, доказывается следующим образом.

Обозначим через I′, l′пр, b′ момент инерции, приведенную длину и расстояние от точки подвеса до центра масс для новой точки подвеса. Приведенная длина равна соответственно

′

I ′

.

lпр =

mb′

По теореме Штейнера I = IС + mb2, I′ = IС + m(b′)2, и поэтому I′ = I – mb2 + m(b′)2 =

=I + m(b′ + b)(b′ – b). Используя (5) и геометрически очевидное соотношение b′ + b =

=lпр, находим

lпр = m1b′[I + m(b′+ b)b′− m(b′+ b)b]= m1b′ (mlпрb + mlпрb′− mlпрb)= lпр .

Таким образом, если у физического маятника найдены две точки подвеса, лежащие несимметрично по разные стороны от центра масс, и период колебаний маятника при подвесе в этих точках одинаков, то расстояние между ними равно приведенной длине физического маятника. Ускорение силы тяжести в этом случае может быть найдено по формуле

g =

4π 2 l

пр

,

(6)

T

2

где lпр – приведенная длина оборотного маятника, понимаемая как расстояние между призмами; Т – период колебаний оборотного маятника.

Величина периода определяется на основании полученных результатов эксперимента по формуле (3). Таким образом, измерения сводятся к измерению периода колебаний оборотного маятника для расстояния между призмами, равном lпр.

2. Порядок выполнения работы

I. ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ПРИ ПОМОЩИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

1.Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком установить в нижней части колонки, обращая внимание на то, чтобы верхняя грань кронштейна показывала на шкале длину не менее 50 см. Затянуть винт ворота, фиксируя фотоэлектрический датчик в избранном положении.

2.Поворачивая верхний кронштейн, поместить над датчиком математический ма-

ятник.

3.Вращая ворот 9 на верхнем кронштейне, установить длину математического ма-

ятника l > 50 см, обращая внимание на то, чтобы черта на шарике была продолжением черты на корпусе фотоэлектрического датчика.

4.Вывести математический маятник из положения равновесия, отклонив нить на угол 4-5° от вертикали (≈ 5 см).

5.Нажать клавишу СБРОС.

6.После подсчета измерителем 9 колебаний нажать кнопку «СТОП». При этом совершится 10 полных колебаний и счетчик времени покажет их время.

7.Не останавливая маятник, повторить измерения пп. 5, 6 не менее 5 раз.

8.Результаты измерений записать в табл. 1.

Таблица 1 l = …

Математический маятник

№ п/п

n

t, c

∆ti, c

∆ti2, c2

T, c

g, м/с2

1

10

2

10

3

10

4

10

5

10

Среднее

9. Записать значение длины математического маятника l.

II. ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ПРИ ПОМОЩИ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

1.Повернуть верхний кронштейн на 180°.

2.Закрепить оборотный маятник на вкладыше верхнего кронштейна на неподвижной призме, находящейся вблизи конца стержня. Расположение грузов и подвижного ножа показано на рис. 2.

3.Нижний кронштейн вместе с фотоэлектрическим датчиком переместить таким образом, чтобы стержень маятника пересекал оптическую ось фотоэлемента.

4.Отклонить маятник на 4-5° от положения равновесия и отпустить.

5.Нажать клавишу СБРОС.

6.После подсчета измерителем 9 колебаний нажать клавишу СТОП. При этом миллисекундомер покажет время 10 полных колебаний.

7.Записать время 10 полных колебаний t1 в табл. 2.

8.Снять маятник и закрепить его на втором ноже (подвижном), поместив его пер-

воначально вблизи середины стержня (l ≈ 17 см, рис. 2).

9.Снять зависимость времени 10 полных колебаний оборотного маятника от расстояния l между концом стержня с грузом (точка O) до подвижного ножа, меняя это расстояние от 17 см до 10 см через каждый сантиметр.

10.Записать значения l и t2 в табл. 2.

Смотрите также файлы