Файл: МЭИ(ТУ) Физика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.04.2025

Просмотров: 18046

Скачиваний: 6

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

F(ε)

S1

S1 = S2

S2

kT << εF

εF

ε

2kT

4рV

3 2

ε

F(ε)=

(2m)

.

h

3

e

εi −εF

kT

+1

Если же kT ≈ εF (как это имеет место для идеального газа), то функция распределения превращается в функцию Максвелла-Больцмана. Отсюда может ввести ещё один критерий вырождения газа.

F(ε)

ε

2kT

Вырожденный газ

Невырожденный газ

kT << εF

kT ≈ εF

Температура вырождения Tв ≈ εkF ≈ 50000 К.

§ 6. Квантовая теория электропроводности проводников

I. Общие положения

В отсутствии электрического поля электронный газ в проводнике находится в равновесном состоянии и описывается функцией Ферми-Дирака, которая симметрична относительно px, py, pz. Это указывает на то, что число электронов, движущихся в противоположных направлениях одинаково и вектор их средней скорости в любом направлении равен нулю. Поэтому несмотря на огромное число свободных электронов тока в металле нет.

При наложении на проводник электрического поля, напряжённость которого E, возникает электрический ток. Под действием поля электроны приобретают упорядо-

ченное движение, которое называется дрейфом электро-

E

нов. Средняя скорость этого движения называется скоро- vдр

e

S

I

стью дрейфа. С квантовой точки зрения электроны, на-

ходящиеся вблизи уровня Ферми, под действием электрического поля переходят на вышележащие энергетические уровни, если там есть вакантные места, при этом их импульс меняется с –px до +px. Функция распределения при этом становится несимметричной.

E = 0

f(px)

E ≠ 0

εF

εF

–px

+px

px

Из опыта известен закон Ома

j =σE

– закон Ома в дифференциальной форме. Здесь σ =

1

– удельная проводимость веще-

ρ

ства, ρ – удельное сопротивление, j – плотность тока. Величина σ для разных веществ лежит в очень широких пределах:

107 Ом−1 м−1дляпроводников,

σ≈ 10−12 Ом−1 м−1для диэлектриков.

vдр∆t

Найдём связь между скоростью дрейфа vдр и плотно-

I

e

стью тока. Если взять цилиндр площадью основания S и

e

длиной vдр∆t, то в нём будет находиться ∆N = n·vдр∆t·S

электронов, где n – концентрация электронов. За время ∆t через сечение S пройдут все электроны, находящиеся в выбранном цилиндре, т. е. протечёт заряд ∆Q = ∆N·e. Следовательно, плотность тока

j = ∆Q = nvдр∆t S e ,

S∆t S∆t

j = n e vдр .

Кроме дрейфового движения электроны участвуют в тепловом движении, причём vдр ≈1 ммс , а средняя квадратичная скорость теплового движения u ≈ 100 км/с! (Дейст-

вительно,

mu2

=

3

kT

(классическая формула), где m – масса электрона.) Итак,

2

2

u >> vдр.

Очевидно, что дрейфовая скорость определяется полем E. Найдём эту связь. Для этого рассмотрим процесс резкого «включения» и «выключения» поля. После мгновенного «включения» поля электроны не сразу разгоняются, а после «выключения» не сразу останавливаются. Поэтому изменение тока запаздывает по отношению к изменению поля.

E

Вкл.

Выкл.

поля

поля

tвкл

tвыкл

v

vдр

τ

Пусть τ – время релаксации, т. е. время, по истечении которого скорость электрона уменьшается в e раз.

Для того чтобы описать этот процесс за-

tпаздывания, запишем второй закон Ньютона для электрона:

m*

dv

=

e

E − F .

dt

торм

Здесь m* – эффективная масса электрона

t(её значение связано с квантовыми особенностями движения электрона внутри

кристаллической решётки); Fторм – тормозящая сила, описывающая влияние соударений электрона с колеблющимися узлами кристаллической решётки и с другими неоднородностями (дислокациями). Положим, что Fторм ~ αv.

Решим полученное дифференциальное уравнение

m*

dv

=

e

E −αv .

dt

Для этого разделим переменные:

αdv

= αdt .

e

E −αv

m*

Проинтегрируем левую и правую часть:

ln(

e

E −αv)= −

αt

+ const .

m*

Пропотенциируем это выражение:

−

αt

e

E −αv = Ce

m* .

Константу С найдём из начальных условий:

t =

0

e

E .

C =

v = 0

В результате получим

e

E

−

αt

*

v =

1

− e

m

.

α

График этой функции описывает процесс разгона электронов v

после включения поля. Тогда процесс остановки описывается

t

e

E

αt

формулой v =

e

−

. Очевидно, что дрейфовая скорость опре-

*

m

α

деляется формулой

vдр =

e

E

.

α

Время релаксации

τ = m* .

α

Тогда

Смотрите также файлы