ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 26.04.2025
Просмотров: 214
Скачиваний: 2
Аналитически сформулированное выше условие идеальности для системы материальных точек может быть сформулировано[1] так:
,
где 
—
число точек, входящих в систему, 
—
равнодействующая реакций связей,
приложенных к 
-й
точке, 
—
возможное перемещение данной точки
(круглыми скобками обозначено скалярное
произведение векторов).
Примеры идеальных связей:
1. Наложенная на материальную точку связь в виде гладкой поверхности (неподвижной или деформирующейся с течением времени), по которой должна двигаться точка (здесь возможные перемещения лежат в касательной плоскости к данной поверхности, а реакция связи этой плоскости ортогональна, так что скалярное произведение равно нулю).
2. Внутренние связи в абсолютно твёрдом теле, обеспечивающие постоянство расстояний между текущими положениями точек тела.
3. Контакт двух абсолютно твёрдых тел, соприкасающихся при движении гладкими поверхностями.
4. Контакт двух абсолютно твёрдых тел, соприкасающихся при движении абсолютно шероховатыми поверхностями.
Принцип виртуальных перемещений: в положении равновесия работа активных сил на виртуальных перемещениях равна нулю.
Принцип
виртуальных перемещений является
основным принципом, применяемым в
решении задач статики в механике.
Проведенные для статики рассуждения
обобщаются и на случай динамики. Для
этого необходимо в уравнении (2.5)
перенести 
направо
и проделать те же операции, что и в
статике. В результате получается
уравнение: 
(2.9)
Если
формально ввести силы инерции 
, то
его можно записать в таком же виде, как
уравнение принципа виртуальных
перемещений:
.
(2.10)
Уравнение (2.10) формулируется как Принцип Даламбера: Работа активных сил вместе с силами инерции на виртуальных перемещениях равна нулю.
Принцип
Даламбера является основным принципом
динамики систем материальных точек со
связями. В отсутствие связей
все 
независимы,
и из принципа Даламбера получаются
уравнения второго закона Ньютона.
Виртуальные
перемещения 
можно
выразить через изменения обобщенных
координат, которые обозначим 
.
Эти бесконечно малые изменения обобщенных
координат рассматриваются для
фиксированного момента времени и
называются Вариациями
обобщенных координат. Посчитаем
дифференциал от выражений (2.2Преобразование
от декартовых координат к обобщенным
координатам в векторной форме: 
) при
фиксированном 
.
Так как время фиксировано и любое
изменение обобщенных координат приводит
к изменению 
, совместимых
со связями, то полученные бесконечно
малые изменения 
Являются
виртуальными перемещениями. В результате
виртуальные перемещения выражаются
через вариации обобщенных координат:
(2.11)
Подставляя
выражения для 
из
(2.11) в уравнение (2.9), получим еще одно
выражение для Принципа
Даламбера: 
.
(2.12)
Поскольку
вариации обобщенных координат 
Независимы,
то из (2.12) получается система уравнений
(2.13)
Общее уравнениее динамики или принцип Лагранжа-Даламбера.
В любой момент движения механической системы с идеальными связями сумма виртуальных работ активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю.
№14 Обобщенные координаты
Обобщенные координаты, обобщенные силы и их вычисление
Обобщенная координата qi - независимая величина, заданием которой однозначно определяется положение всех точек механической системы.
Обобщенная сила - Qi - соответствующая обобщенной координате qi - скалярная величина, равная отношению элементарной работы сил, действующих на систему на перемещении, вызванном элементарным приращением обобщенной координаты к величине этого приращения:
.
Уравнение Лагранжа второго рода
Пускай
q - обобщенная координата, зависящая от
времени. Производная по времени от
обобщенной координаты - обобщенная
скорость, тогда:
.
Кинетическая энергия механической
системы:
.
Частная производная кинетической
энергии по обобщенной координате:
,
частная производная кинетической
энергии по обобщенной скорости:
.
Продифференцируем последнее выражение
по времени:
;
учитывая, что:
и
получим:
или
.
Размещено на Allbest.ru