Файл: Вводый курс цифровой электроники (К.Фрике, 2003).pdf

Глава 2. Кодирование и системы счисления

эквивалента числа 7 и дополнение двоичного эквивалента числа 3 равняется:

-1 0 1 0 0

-1 0 0 0 0

=0100 tio

Вычитание числа 10000^, проведенное в соответствии с уравне­ нием (2.10), дает правильный результат 0100^. Это может произой­ ти в 4-битовом компьютере просто потому, что высший результат игнорируется. Итак, при проведении вычитания с помош;ью точно­ го дополнения нет необходимости учитывать высший перенос С4. Но необходимо соблюдать осторожность в связи с переполнением числового диапазона. Исследуем это ниже.

2.3.6. Переполнение числового диапазона

Исходя из вышесказанного возникает необходимость рассмотрения проблемы переполнения числового диапазона (overflow) в связи с представлением на основе точного дополнения. Переполнение число­ вого диапазона может происходить только в двух случаях. А имен­ но, когда суммируются два положительных числа либо суммируют­ ся два отрицательных числа. В связи с этим рассмотрим несколько примеров, относяш;ихся к 4-битовому представлению.

•Пример переполнения числового диапазона при сложении двух положительных чисел:

Очевидно, что результат является неправильным. Ошибка воз­ никает за счет переноса 3-го разряда на место 4-го разряда, что приводит к симуляции отрицательного числа. Этот пере­ нос сз в представлении, используюш;ем п бит, обычно обозна­ чается как Сп-1- Перенос с^ (в обш;ем случае с^) из разряда 4 в разряд 5 называется Carry {Су). В этом примере данный перенос не имеет места.

2,3. Арифметические операции с фиксированной запятой

•Пример переполнения численного диапазона при сложении от­ рицательных чисел:

В этом примере также появляется неправильный результат. Имел место не перенос Cn-i из разряда 3 в разряд 4, а перенос Сп ИЗ разряда 4 в разряд 5.

•Для сравнения проведем сложение двух отрицательных чисел без переполнения числового диапазона:

+11111101 —3io

=(1)1100 -4io- l i o

Имели место переносы Сп и c^-i.

Сведем эти результаты вместе с другими, здесь не показанны­ ми случаями, в таблицу. На основе результатов, представленных в табл. 2.3, для двух двоичных чисел Л и Б, которые лежат в чи­ словом диапазоне, определяемом п-битовом представлением на базе точного дополнения, можно установить перенос переполнения при сложении.

Таблица 2.3. Перенос переполнения при сложении в случае п-битового представления на основе точного дополнения.

Следовательно, правильный результат имеет место тогда, когда Сп = c^i-i, неправильный результат — когда Сп ф Cn-i-

2.3.7. Умножение

Умножение выполняется так же, как и для десятичной системы. Рас­ смотрим пример умножения на основе двоичной системы для чисел

2.4' Шестнадцатеричный код 29

после запятой. Так в соответствии с верхним примером имеем:

10,10-101,1 = 1101,110

Деление чисел с точным дополнением также можно свести к умножению и сложению [20].

2.4. Шестнадцатеричный код

На практике наряду с двоичным кодом внедрился шестнадцатерич­ ный код, поскольку он обеспечивает лучшее обозрение длинных дво­ ичных чисел. Шестнадцать шестнадцатеричных цифр определены в табл. 2.4. Шестнадцатеричные цифры больше девяти представлены буквами A-F. Для преобразования двоичных в шестнадцатеричные числа объединяют по четыре цифры двоичного числа, которые ин­ терпретируются как шестнадцатеричный разряд. Благодаря этому шестнадцатеричное число занимает только четверть разрядов, за­ нимаемых двоичным числом одинаковой величины.

Например:

ОНО 1100 1111

G С

Итак, справедливо выражение 0110011001III2 = GCFi^.

В качестве обозначения шестнадцатеричного числа использует­ ся индекс Н, Преобразование шестнадцатеричного числа в десятич­ ное число и обратно проще всего производить через соответствую­ щее двоичное число. Также возможно производить преобразование с помощью алгоритма, как при преобразовании двоичного числа в

30 Глава 2. Кодирование и системы счисления

десятичное число. Обратное преобразование производится анало­ гично представленному уравнением (2.2).

2.5. Восьмеричный код

Восьмеричный код применяется аналогично шестнадцатеричному, только объединяются лишь по 3 разряда двоичного числа. Для вось­ меричного кода применяются цифры десятичного кода от О до 7, он обозначается индексом 0.

Например:

110 101 100 011

Следовательно, справедливо 110101000112 = 65438-

2.6, Код Грея

Часто в цифровой технике требуется для числового кода схема ко­ дирования, в соответствии с которой при переходе от одного числа к следующему изменялась бы только одна цифра. Выполнение это­ го условия необходимо, когда вследствие технических неточностей момент переключения не может быть точно выдержан. При пере­ ключении двух цифр из-за этого могут возникнуть неправильные коммутационные операции. В качестве примера подобной ошибки рассмотрим переключение от lio к 2io в двоичном коде:

0001 — ^ — ^

При этом переключении изменяются биты О и 1 при одновремен­ ном переключении непосредственно достигается новое число. Если вначале изменяется бит О, то появляется число 0000, и только когда изменяется бит 1, получаем правильное число 0010. Если же снача­ ла изменяется бит 1 и потом изменяется бит О, то в промежутке возникает число ООН. Коды Грея позволяют избежать этой очень серьезной ошибки за счет того, что при переходе от одного кодово­ го слова к следуюш;ему изменяется только один разряд. В табл. 2.5 представлен 4-разрядный код Грея. В дополнение к вышесказанно­ му показанный код имеет свойство, которое заключается в его ци­ кличности, так как также и при переходе от высшего числа (15D)

Глава 2. Кодирование и системы счисления

2.8. Алфавитно - цифровые коды

Существует большое количество кодов, осуществляющих предста­ вление алфавитно-цифровых символов с помощью двоичных цифр. Известным примером подобных символов является код ASCII (Ame­ rican Standard Code for Information Interchange), который содержит также ряд управляющих символов.

Таблица 2.7. Код ASCII (чЛ, управляющие символы)

2.9. Упражнения

Задача 2.1. Преобразуйте следующие двоичные числа в десятич­ ные числа:

а) 1110,101 б) 10011,1101

Задача 2.2. Преобразуйте следующие десятичные числа в двоич­ ные числа:

а) 22,125 б) 45,33

2.9. Упраэюнения

Задача 2.3. Рассчитайте приведенные ниже примеры с использо­ ванием точных дополнений при длине слова в 6 бит. Укажите, имеет ли место переполнение числового диапазона.

а) 010101 - 001010 б) -010111-011011

Задача 2.4. Рассчитайте в двоичной системе: а) 110101-010101 б) 1101110 : 110

Задача 2.5. Разработайте циклический код Грея с длиной периода 6.

Таблица 2.8. Код ASCII (ч.2).