Файл: ПОСОБИЕ_ВычМат.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.06.2025

Просмотров: 1065

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

9

3. Если e>0 – погрешность приближенного корня и |f( x )|< e, то не следует считать, что x является хорошим приближенным точного корня x, и, наоборот, если |f( x )|>e – полагать, что x есть грубое значение точного корня x. Более того, если уравнение f(x) = 0 умножить на произвольное число N ¹ 0, то получается равносильное уравнение Nf(x) = 0, причем число |Nf(x)| можно сделать сколь угодно большим или сколь угодно малым за счет выбора множителя N. На рис. 2 демонстрируется это утверждение.

y

y

ε

ε

f ( x )

ξ

x

x

ξ

x

x

|f( x )| >e и |x –

x | < e

|f( x )| < e и |x – x | >e

Рис. 2

1.2.3 Метод половинного деления

Для нахождения корня уравнения (1), принадлежащего отрезку [a; b], делим этот отрезок пополам. Если

æ a + b ö

fç

÷ = 0,

2

то по определению

è

ø

æ a + b ö

x

= ç

÷

2

является корнем уравнения (1). Если

è

ø

æ a + b ö

fç

÷

¹ 0,

2

то выбираем ту из половин

è

ø

é

a + bù

éa + b

êa;

ú

или

ê

2

2

ë

û

ë

;bùú ,

û

исходного отрезка, на концах которых функция f(x) имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок [a1; b1] снова делим пополам и проводим то же рас-

10

смотрение. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень x уравнения (1) или бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков

[a1; b1], [a2; b2], ..., [an; bn], ...

таких, что

sgn f(an)× sgn f(bn) < 0

и

1

bn – an =

(b – a).

(4)

2n

Число x = liman = limbn является корнем уравнения (1).

n→∞

n→∞

Оценку погрешности на n-м шаге вычисления можно получить из следующих рассуждений: так как и точный корень x и срединная точка xn лежит на интервале [an; bn], то расстояние между ними не может быть больше половины длины этого интервала. Поэтому

|x – xn| £

bn − an

для всех n.

2

Объединив последний результат с результатом (4), получим

|x – xn| £

b − a

для всех n.

(5)

2n +1

Достоинством метода деления пополам является то, что формула (5)

дает

предопределенную оценку точности вычисляемого решения. Например, если начальная длина интервала изоляции корня равна b – a = 2 и число повторяемых делений пополам равно 31, то в силу (5) ошибка ограничена значением

2

1

–10

|e31| =

=

» 4,656613×10 .

232

231

Можно показать, что n повторяемых делений пополам, необходимых для гарантии того, что n-я срединная точка xn является приближением к нулю функции и ошибка приближения меньше, чем наперед заданное значение e, равно

éln( b - a ) - ln(e )ù

n = ê

ú

,

(6)

ln( 2 )

ë

û

где [ ] – операция взятия целой части числа.

1.2.3.1Алгоритм метода половинного деления

1.Ввести исходные данные: a, b – границы интервала изоляции корня уравнения (1); e – погрешность приближенного корня, . e >0; b > a.

2.Выполнить проверку применимости метода: если sgn f(a)×sgn f(b) > 0, то метод не применим; конец вычислений. Иначе выполнить 3.

3.Выполнить цикл пока b – a > e, т. е. длина отрезка изоляции корня больше заданной точности e.

3.1. Вычислить x = (a + b)/2; x – срединная точка интервала [a;b] есть приближение нуля f(x).

11

3.2. Если sgn f(x) = 0, то получено решение; выполнить выход из цикла.

Иначе

3.3. Если sgn f(x)= sgnf(a), то

принимаем a = x

иначе принимаем b = x.

4.

Конец цикла.

5.

Вывод x – приближенного значения корня.

6.

Конец алгоритма.

1.2.4 Метод итераций

Заменим уравнение (1) равносильным уравнением

x = ϕ(x).

(8)

Если любая точка x0 интервала [a; b] изоляции корня есть приближение нуля функции f(x), то следующее приближение получается так:

x1 = ϕ(x0).

Подставляя теперь в правую часть последнего равенства вместо x0 число x1, получим новое число

x2 = ϕ(x1).

Повторяя этот процесс, будем иметь последовательность чисел

xn = ϕ(xn–1) n = 1, 2, …

(9)

Если эта последовательность сходящаяся, т.е.

lim xn = ξ,

(10)

n →∞

то, переходя к пределу в равенстве (9) и предполагая функцию ϕ(x)

непрерыв-

ной, найдем:

lim xn = ϕ( lim xn–1).

n→∞

n→∞

В силу (10) получаем

ξ = ϕ(ξ),

т.е. в пределе значения аргумента и функции совпадают. Таким образом, предел ξ является корнем уравнения (1) и может быть вычислен по формуле (9) с любой степенью точности.

Достаточные условия сходимости итерационного процесса дает теорема 3.

Теорема 3. Пусть функция ϕ(x) определена и дифференцируема на отрезке [a; b], причем все ее значения ϕ(x) [a; b]. Тогда, если существует правильная дробь q такая, что

|ϕ ' (x) | ≤ q < 1

(11)

при a < x < b, то:

1) процесс итерации (9) сходится независимо от

начального значения

x0 [a; b];

12

2) предельное значение

ξ = lim xn является единственным корнем уравне-

ния (1) на отрезке [a; b].

n→∞

Для оценки приближения используется формула

ξ − x

≤

qn

x − x

.

(12)

n

1 − q

1

0

Если f(x) = x – ϕ(x), то оценку приближения можно выполнить по формуле

ξ − x

n

≤

q

x

n

− x

n-1

,

1

− q

откуда, в частности, при q = 1

, получаем

2

|ξ – xn| ≤ |xn – xn–1|.

Из последнего неравенства следует, что, если |xn – xn–1| < ε, то и |ξ – xn| < ε. Метод итераций геометрически может быть пояснен следующим образом.

Построим на плоскости xOy графики функций y = x и y = ϕ( x ) . Каждый дейст-

вительный корень ξ уравнения (8) является абсциссой точки М пересечения кривой y = ϕ( x ) с прямой y = x (рис. 3).

Для ϕ ′(x) > 0 и ϕ′( x ) < 1 кривая y = ϕ( x ) пересекает биссектрису y = x (рис. 3а) слева направо и лежит под биссектрисой. Итерационный процесс, начиная с точки x0 монотонно сходится, приближаясь справа к ξ.

′

кривая y = ϕ( x ) находится над биссектрисой y = x , пе-

В случае ϕ ( x ) > 1

ресекая ее слева направо, и процесс монотонно расходится (рис. 3б).

y

y

y=x

y=ϕ(x)

y=ϕ(x)

y=x

M

M

α ξ x2 x1 x0=β

x

α ξ x0=β x1 x2

x

а

б

Рис. 3. Геометрическая интерпретация итерационного процесса для уравнения x = ϕ( x ) при ϕ′( x ) > 0 .

В случае ϕ′(x) < 0 кривые для ϕ′(x) < 1 и ϕ′(x) > 1 приведены на рис. 4 и

представляют соответственно сходящийся и расходящийся процессы с колебаниями вокруг истинного значения корня.

Смотрите также файлы