Файл: со страницы 216 ответ на 5 задачу.pdf

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 1. Стационарная теплопроводность. Основные положения теплопроводности

Рис. 1.1

Изотермическая поверхность – геометрическое место точек, температура которых одинакова. Так как одна и та же точка пространства не может одновременно иметь разные значения температуры, то изотермические поверхности не могут пересекаться. Они либо оканчиваются на поверхности тела, либо целиком лежат внутри тела (не могут обрываться внутри тела). Пересечение изотермических поверхностей плоскостью дает семейство изотерм, которые обладают свойствами изотермических поверхностей.

На рис. 1.1 изображено семейство изотерм, отличающихся на t. Температура в теле может изменяться только в направлениях, пересекающих изотермические поверхности. Наибольший перепад температуры на единицу длины происходит в направлении нормали к изотермической поверхности.

Градиент температуры grad t – вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной от температуры по этому направлению. Необходимым условием распространения тепла является неравномерность распределения температуры в рассматриваемой среде, поэтому для передачи тепла теплопроводностью необходимо неравенство нулю температурного градиента в различных точках тела.

Тепловой поток Q – количество теплоты, передаваемое в единицу времени через произвольную поверхность.

Плотность теплового потока (удельный тепловой поток) q – тепловой поток, отнесенный к единице поверхности. Это вектор, совпадающий с направлением распространения тепла, т.е. направлен в сторону убывания температуры и ортогонален изотермам.

ЗаконФурье, коэффициенттеплопроводности

Исследуя процесс теплопроводности в твердых телах, Фурье экспериментально установил (1822 г.), что количество переданного тепла пропорционально времени, площади сечения, перпендикулярного направлению распространения тепла, и градиенту температуры:

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 1. Стационарная теплопроводность. Основные положения теплопроводности

где – множитель пропорциональности, называемый коэффициентом теплопроводности, который является физическим параметром, характеризует способность данного вещества проводить тепло и численно равен количеству теплоты, переданному в единицу времени через единицу поверхности при градиенте температуры, равном единице.

Разделив правую и левую части уравнения (1.1) на время и площадь поверхности, получим наиболее распространенную формулировку закона Фурье: плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры.

Коэффициент теплопроводности, характеризующий способность данного вещества проводить тепло, в общем случае зависит от структуры, плотности, влажности, давления и температуры. В технических расчетах значения коэффициента теплопроводности берутся из справочных таблиц, в которых, как правило, учитывается зависимость коэффициента теплопроводности от температуры [23, 24]. Большинство этих табличных данных получено в результате измерения теплового потока и градиента температуры в заданном веществе из определения коэффициента теплопроводности:

gradq t .

Перенос тепла теплопроводностью в газах при обычных давлениях и температурах определяется переносом кинетической энергии теплового движения в результате хаотического движения и столкновения отдельных молекул газа. С изменением давления коэффициент теплопроводности меняется незначительно, а с ростом температуры он увеличивается. Исключением является водяной пар, теплопроводность которого падает с ростом температуры, для которого к тому же проявляется значительная зависимость от давления. Для смесей газов правило аддитивности не действует, коэффициент теплопроводности определяется опытным путем. Для газов значение коэффици-

ента теплопроводности лежит в диапазоне 0,005–0,5 Вт/(м К). Самые высо-

кие значения коэффициента теплопроводности имеют водород и гелий. Механизм распространения тепла в капельных жидкостях можно пред-

ставить как перенос энергии путем нестройных упругих колебаний. С повышением температуры убывает плотность жидкости и коэффициент теплопроводности (за исключением воды и глицерина), с повышением давления – увеличивается. Для жидкостей коэффициент теплопроводности не превышает 1 Вт/(м К) и лежит примерно в диапазоне 0,07–0,7 Вт/(м К).

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 1. Стационарная теплопроводность. Основные положения теплопроводности

В металлах переносчиками тепла являются электроны, которые можно уподобить идеальному одноатомному газу. Вследствие движения электронов происходит выравнивание температуры во всех точках нагревающегося или охлаждающегося металла. Свободные электроны движутся во всех направлениях – как из более нагретых областей в холодные, так и в обратном направлении. В первом случае они отдают энергию атомам, а во втором – отбирают. Так как в металлах носителями тепловой и электрической энергии являются электроны, то коэффициент теплопроводности и электропроводность пропорциональны друг другу. При повышении температуры вследствие усиления тепловых неоднородностей рассеивание электронов усиливается. Это влечет за собой уменьшение коэффициентов теплопроводности и электропроводности чистых металлов. Примеси значительно снижают коэффициент теплопроводности, так как структурные неоднородности сильно рассеивают электроны. Например, у чистой меди 395 Вт/(м К), а у меди с примесями

мышьяка = 142 Вт/(м К). Для сплавов, в отличие от чистых металлов, ко-

эффициент теплопроводности увеличивается с ростом температуры. В целом коэффициент теплопроводности убывает с уменьшением плотности. Наибольшим коэффициентом теплопроводности обладают чистые серебро и

медь (около 400 Вт/(м К)), затем идут золото (300 Вт/(м К)) и алюминий (210 Вт/(м К)). В среднем коэффициент теплопроводности металлов лежит

вдиапазоне 20–400 Вт/(м К).

Внеметаллических твердых телах коэффициент теплопроводности растет с увеличением температуры, а также с ростом плотности вещества. Здесь на величину коэффициента теплопроводности оказывают влияние структура, пористость и влажность материала. Многие строительные материалы являются пористыми, а применение закона Фурье к пористым материалам условно. Его следует понимать следующим образом: такой коэффициент теплопроводности имело бы сплошное тело таких же формы и размеров, а также температурах на границе при прохождении через него такого же количества тепла. Для порошкообразных и пористых тел коэффициент теплопроводности сильно зависит от их объемной плотности – растет с ее увеличением, так как теплопроводность заполняющего поры воздуха существенно меньше теплопроводности твердых компонентов пористого материала С ростом влажности коэффициент теплопроводности пористых материалов увеличивается в первую очередь за счет конвективного переноса тепла из-за капиллярного движения воды. Для неметаллических твердых материалов коэффициент те-

плопроводности обычно ниже 10 Вт/(м К), для строительных и теплоизоляционных материалов составляет 0,02–3,0 Вт/(м К).

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 1. Стационарная теплопроводность. Основные положения теплопроводности

Математическаяформулировказадачтеплопроводности. Дифференциальноеуравнениетеплопроводности

Изучение любого физического явления сводится к установлению зависимости между величинами, характеризующими это явление. При решении задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности.

В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии: количество тепла dQ, введенное в элементарный объем dv извне за время d вследствие теплопроводности, а также от внутренних источников тепла, равно изменению внутренней энергии вещества, содержащегося в этом объеме:

dQ1 + dQ2 = dQ,

где dQ1 – количество тела, введенное в элементарный объем dv путем теплопроводности за время d ; dQ2 – количество тепла, которое за время d выделилось в элементарном объеме dv за счет внутренних источников тепла; dQ – изменение внутренней энергии вещества, содержащегося в элементарном объеме dv за время d . Тогда

Выразим частную производную от температуры по времени:

Плотность теплового потока в соответствии с законом Фурье равна q grad t . Проекции вектора плотности теплового потока на соответст-

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 1. Стационарная теплопроводность. Основные положения теплопроводности

a /(c ) – коэффициент температуропроводности, то дифференциальное уравнение теплопроводности (1.3) можно записать как

Коэффициент температуропроводности характеризует скорость изменения температуры в нестационарных процессах, является мерой теплоинерционных свойств тела. Скорость изменения температуры будет тем выше, чем больше коэффициент температуропроводности, т.е. при прочих равных условиях выравнивание температуры будет происходить быстрее. Также коэффициент температуропроводности зависит от природы вещества: для металлов больше, чем для жидкостей и газов.

В цилиндрической системе координат выражение 2t имеет вид

Краевыеусловиязадачтеплопроводности, различныеспособызаданияграничныхусловий. ЗаконНьютона– Рихмана

Дифференциальное уравнение теплопроводности (1.3) выведено на основе общих законов физики и описывает процесс теплопроводности в самом общем виде. Любое дифференциальное уравнение описывает целый класс явлений. Для того, чтобы выделить конкретный рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальным уравнениям надо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми условиями и включают [15]:

1)геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела,

вкотором протекает процесс;

2)физические условия, характеризующие физические свойства тела (теплопроводность, теплоемкость, плотность, мощность внутренних источников тепла и т.д.);

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 1. Стационарная теплопроводность. Основные положения теплопроводности

3) временные или начальные условия, характеризующие распределение температуры в изучаемом теле в начальный момент времени: при = 0 t = f(x,y,z);

4) граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами. Граничные условия первого рода, в которых задается распределение тем-

пературы на поверхности тела для каждого момента времени: tc = f(x, y, z, ); частный случай tc = const.

Граничные условия второго рода, в которых задается величина теплового потока для каждой точки поверхности тела и для любого момента времени: qc = f(x, y, z, ); частный случай qc = const. Например, нагревание металлических изделий в высокотемпературных печах.

Граничные условия третьего рода, в которых задается температура окружающей среды tж и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой в процессе охлаждения и нагревания. Для его описания используется закон Ньютона – Рихмана: плотность теплового потока пропорциональна разности температур поверхности тела tc и окружающей среды tж:

q = (tc – tж).

Здесь – коэффициент теплоотдачи, характеризующий интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно равен количеству тепла, отдаваемому (воспринимаемому) единицей поверхности

вединицу времени при разности температур между поверхностью и средой

водин градус.

По закону сохранения энергии количество тепла, отводимое с единицы поверхности вследствие теплоотдачи, должно равняться теплу, подводимому к единице поверхности вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела, тогда

или

Граничные условия четвертого рода характеризуют теплообмен систе-

мы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности (идеальный контакт):