Файл: со страницы 216 ответ на 5 задачу.pdf

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 1. Стационарная теплопроводность. Основные положения теплопроводности

Таким образом, дифференциальное уравнение совместно с условиями однозначности дают полную математическую формулировку конкретной задачи теплопроводности, которая может быть решена аналитически, численно, экспериментально.

Контрольныевопросы

1.Каким методом: феноменологическим или статистическим – описываются процессы теплопроводности?

2.В чем отличие между феноменологическим и статистическим методами описания тепловых процессов?

3.Что называют температурным полем, градиентом температуры?

4.Дайте определение изотермической поверхности и изотермы.

5.Дайте определение и назовите единицы измерения следующих физических величин: тепловой поток, плотность теплового потока, коэффициент теплопроводности.

6.Cформулируйте законы Фурье и Ньютона – Рихмана.

7.Перечислите диапазон значений коэффициента теплопроводности металлов, неметаллов, жидкостей и газов.

8.Перечислите допущения, необходимые для вывода дифференциального уравнения теплопроводности.

9.Какой закон положен в основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности?

10.Дайте определение и запишите единицы измерения объемной мощности внутренних источников тепла, коэффициентов температуропроводности и теплоотдачи.

11.Запишите дифференциальное уравнение теплопроводности.

12.Поясните, почему необходимо дополнять дифференциальные уравнения краевыми условиями.

13.Перечислите состав краевых условий (условий однозначности).

14.Что определяют геометрические и физические условия?

15.Что задают и в каком случае отсутствуют начальные условия?

16.Перечислите виды граничных условий. Что они выражают с точки зрения математической физики и при решении задач теплопроводности?

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция2. Теплопроводностьплоскойстенки безвнутреннихисточниковтепла

Температурное поле в плоской стенке при граничных условиях первого рода. Приведение уравнений к безразмерному виду. Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры. Теплопроводность через многослойную стенку. Эквивалентный коэффициент теплопроводности плоской стенки. Передача тепла при граничных условиях третьего рода (теплопередача). Коэффициент теплопередачи. Термическое сопротивление теплопроводности, теплоотдачи, теплопередачи. Граничные условия второго и третьего рода.

Температурноеполевплоскойстенке приграничныхусловияхпервогорода.

Приведениеуравненийкбезразмерномувиду. Зависимостькоэффициентатеплопроводностиоттемпературы

При установившемся, или стационарном, тепловом режиме температура тела не зависит от времени. Рассмотрим однородную и изотропную стенку (рис. 2.1) толщиной с постоянным коэффициентом теплопроводности . На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянными температуры tc1 и tc2. Дифференциальное уравнение теплопроводности для рассматриваемого случая запишется в виде

Закон распределения температуры по толщине стенки найдем, дважды проинтегрировав уравнение (2.1) и найдя константы интегрирования из граничных условий, заданных уравнениями (2.2).

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 2. Теплопроводность плоской стенки без внутренних источников тепла

Для определения количества тепла, проходящего через единицу поверхности стенки в единицу времени в направлении оси Ох, воспользуемся законом Фурье, согласно которому q t / x .

Из уравнения (2.4) следует, что количество тепла, проходящее через единицу поверхности в единицу времени прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности и температурному напору и обратно пропорционально толщине стенки.

Отношение / называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина / – тепловым или термическим сопротивлением стенки.

Последнее представляет собой падение температуры в стенке на единицу плотности теплового потока. Зная удельный тепловой поток, легко вычислить общее количество тепла, которое передается через поверхность стенки

величиной F за промежуток времени :

Q q F (tc1 tc2 ) F .

Из уравнения (2.4) найдем величину перепада температуры на длину стенки tc1 tc2 q и подставим ее в уравнение (2.3):

Из уравнения (2.5) следует, что при прочих равных условиях температура в стенке убывает тем быстрее, чем больше плотность теплового потока.

Если отсчет избыточной температуры в стенке вести от наименьшей заданной температуры tc2, то уравнение (2.3) можно привести к безразмерному виду. Обозначим:

t t tc 2 – текущий температурный напор или избыточная темпера-

тура;

t0 tc1 tc2 – полный температурный напор или наибольшая избы-

точная температура.

После введения этих обозначений уравнение (2.3) запишется как

t t0 t0 x

или

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 2. Теплопроводность плоской стенки без внутренних источников тепла

t 1 x .

t0

Обозначим

t / t0 – безразмерный температурный напор или безразмерная из-

быточная температура;

x / X – безразмерная координата, тогда получим:

Уравнение температурного поля (2.6) является универсальным, так как распределение температуры в стенке можно представить единой прямой для любых заданных значений температур стенки tc1, tc2 и ее толщины (рис. 2.2).

Выражения (2.3) и (2.6) получены в предположении, что коэффициент теплопроводности является постоянной величиной. В действительности это не всегда бывает так. Рассмотрим зависимость коэффициента теплопроводности только от температуры, которая для многих материалов близка к линейной0 (1 bt) , где 0 – значение коэффициента теп-

Из этого уравнения следует, что температура в стенке изменяется не линейно, а по кривой. Характер температурной кривой определяется знаком и численным значением коэффициента b.

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 2. Теплопроводность плоской стенки без внутренних источников тепла

Теплопроводностьчерезмногослойнуюстенку. Эквивалентныйкоэффициенттеплопроводностиплоскойстенки

Рассмотрим теплопроводность многослойной стенки (рис. 2.3), состоящей из n однородных слоев. Примем, что контакт между слоями совершенный и температура на соприкасающихся поверхностях двух слоев одинакова. При стационарном режиме тепловой поток, проходящий через любую изотер-

мическую поверхность неоднородной стенки, один и тот же, т. е. qx 0 .

Рис. 2.3

При заданных температурах внешних поверхностей такой стенки, размерах слоев и, соответственно, коэффициентах теплопроводности можно составить систему уравнений для плотности теплового потока каждого из слоев, из которых выразим температурные напоры:

tc1 tc2 q 1 / 1,

tc2 tc3 q 2 / 2 ,

…

tcn tcn 1 q n / n .

Сложив левые и правые части уравнений, получим:

tc1 tcn 1 q 1 / 1 2 / 2 ... n / n .

МОДУЛЬ 1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Лекция 2. Теплопроводность плоской стенки без внутренних источников тепла

Отсюда плотность теплового потока

n

Величина i / i , равная сумме тепловых сопротивлений всех n сло-

i 1

ев, называется полным тепловым или термическим сопротивлением теплопроводности многослойной стенки.

Температуры на границе соприкосновения двух соседних слоев равны:

tc2 tc1 q 1 / 1 ,

…

tcn 1 tcn q n / n .

Внутри каждого из слоев температура изменяется согласно уравнениям (2.3), (2.5) или (2.7), а для многослойной стенки в целом температурная кривая представляет ломаную линию.

При сравнении переноса тепла через многослойную стенку и стенку из однородного материала удобно ввести в рассмотрение эквивалентный коэффициент теплопроводности для многослойной стенки экв. Он равен коэффициенту теплопроводности однородной стенки, толщина которой равна

n

толщине многослойной стенки i , а тепловое сопротивление равно тер-

i 1

мическому сопротивлению рассматриваемой многослойной стенки, т. е.

Отсюда получаем:

Таким образом, эквивалентный коэффициент теплопроводности экв зависит не только от теплофизических свойств слоев, но и от их толщины.