Файл: LABORATORNAYa_RABOTA_3.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 04.07.2025

Просмотров: 86

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия»

Кафедра физики

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА С ПОМОЩЬЮ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

Методические указания к лабораторной работе № 3 по разделу "Механика и молекулярная физика" курса общей физики

для студентов всех специальностей дневной и заочной формы обучения

Могилев 2011

1

УДК 532.516

Рассмотрены и рекомендованы к изданию

на заседании кафедры физики Протокол № 9 от 12 мая 2011 г.

Составители старший преподаватель Светлова Т.В.,

ассистент Пусовская Т.И.

Рецензент кандидат физико математических наук, доцент УО МГУП

В.Л.Малышев.

УДК 532.516 ©Учреждение образования «Могилевский государственный университет продовольствия», 2011

2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА С ПОМОЩЬЮ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение вращательного движения твердого тела, определение моментов инерции подвеса, цилиндра и проверка на опыте теоремы Штейнера.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: трифилярный подвес, секундомер, линейка, набор грузов.

1 ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

1.1 Вращательное движение. Момент силы

Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения.

Моментом силы F относительно неподвижной точки О

называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r , проведенного из точки О в точку приложения силы А, на вектор силы F .

M r , F .

Направление момента силы определяется по правилу правого винта.

В

M

l

F

А r

О

Рисунок 1 – Направление момента силы

Модуль момента силы M Fr sin Fl , где l r sin - плечо силы – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О; - угол между векторами r и F .

3

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Мz, равная проекции на эту ось вектора M момента

силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z. Значение момента не зависит от выбора положения точки О на оси z.

1.2 Момент инерции

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называется скалярная величина равная произведению массы этой точки на квадрат расстояния до оси

J mr 2 .

Момент инерции подобно массе при поступательном движении является мерой инертности.

Моментом инерции системы материальных точек (тела)

относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси

n

J

m r 2 .

i i

i 1

В случае непрерывного распределения масс (при определении момента инерции однородного твердого тела) эта сумма сводится к интегралу

m

J r 2 dm, где интегрирование производится по объему тела.

0

m

J

r 2 dm

r 2 d ( V )

r 2 dV

r 2 dV .

0

V

V

V

Главный момент инерции – момент инерции относительно главной оси, проходящей через центр масс.

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса по объему.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера.

1.3Теорема Штейнера

Теорема Штейнера. Момент инерции тела J относительно произвольной оси вращения равен сумме момента его инерции Jc относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс С тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями.

J J c ma 2 .

4

A

R1

R2

a

h

m1

C

m2

r1

x

r2

Рисунок 2 − Система, состоящая из двух материальных точек

Рассмотрим систему, состоящую из двух материальных точек массами m1 и m2 (рисунок 2). Рассчитаем момент инерции этой системы, относительно оси проходящей через центр масс, расположенной нормально к плоскости чертежа.

J

c

m r 2

m r 2

(1)

1 1

2 2

Определим центр масс С этой

системы. Моменты сил F r

материальных точек m1 и m2 относительно С должны быть равны

m1 gr1

m2 gr2

Следовательно

m1 r1

m2 r2

0

(2)

Определим момент инерции этой системы относительно любой другой оси (в частности, оси, проходящей через точку А), параллельной оси, проходящей через центр масс С.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку А

J

m R 2

m R

2

А

1 1

2 2

(3)

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку С определяется по формуле 1.

Используя рисунок и теорему Пифагора, получим:

R12

h2

(r1

x)2

(4)

R22

h2

(r2

x)2

(5)

Подставив полученные выражения (4),(5) в (1), получим

J

A

m r2

m r2

(m m )(h2

x2 ) 2x(m r m r )

J

c

ma2

1 1

2

2

1

2

1 1

2

2

т.к. h2 x2

a2 ,

для центра масс

m1r1 m2 r2

0

,

5

где m1+m2

− масса всей системы.

R2

h2

r2

2r x

x2

1

1

1

R2

h2

r2

2r x

x2

2

2

2

J

A

m h2

m r2

2m r x m x2

m h2

m r2

2m r x m x2

1

1 1

1 1

1

2

2

2

2

2

2

m (h2

x2 ) m (h2 x2 ) (m r2

m r2 ) 2x(m r m r )

1

2

1

1

2

2

1

1

2

2

J

C

(m m )(h2

x2 )

J

C

ma2

1

2

Для центра тяжести m1 gr1

m2 gr2

m1 r1

m2 r2

0

Таким образом, получили

J

J c

ma 2

1.4 Кинетическая энергия

Абсолютно твердое тело вращается около неподвижной оси z проходящей через него. Все точки движутся с одинаковой угловой скоростью сonst . Кинетическая энергия тела

n

m

2

n m

( r ) 2

2 n

m r 2

J

z

2

K

i i

i

i

,

вр

2

2

2 i 1

i i

2

i 1

i 1

где J z - момент инерции тела относительно оси z.

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий.

K

m 2

J z

2

.

2

2

1.5 Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

При повороте тела под действием силы F

на бесконечно малый угол

d точка приложения силы А проходит путь dS

rd и работа равна

dA

F sin

rd

M z d .

Работа вращения идет на увеличение его кинетической энергии

dA dK d(J

z

2 / 2) J

z

d .

Тогда M z d J z d , или

M z

d

J z

d

,

откуда следует уравнение

dt

dt

динамики вращательного движения твердого тела

M z

J z .

Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство

6

M z J ,

где J – главный момент инерции тела (момент инерции относительно главной оси).

1.6 Момент импульса и закон его сохранения

Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется векторная физическая величина, определяемая векторным произведением L r , pr , m .

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси.

Значение момента импульса не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка тела движется по окружности постоянного радиуса ri со

скоростью

i

перпендикулярной радиусу. Момент импульса отдельной

частицы равен

Liz mi i ri и направлен по оси в сторону, определяемую

правилом правого винта (совпадает с направлением вектора угловой скорости ).

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

n

n

L

z

m

i

r

m

i

i

r 2

J

z

.

i i

i

i 1

i 1

Продифференцируем по времени

dLz

J z

d

J z

M z .

dt

dt

В векторной форме M

dL

L

- еще одна форма записи уравнения

dt

динамики вращательного движения твердого тела.

В замкнутой системе момент всех сил M

0 , следовательно, и

dL

0 .

dt

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой

системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

При равномерном вращении твердого тела относительно некоторой оси

z закон сохранения момента импульса L const

равносилен:

J z

const .

7

Смотрите также файлы